Inverse und implizite Funktionen
|
|
|
- Birgit Egger
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21
2 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y = f(x). Eine Funktion f 1 : W f D f, y x = f 1 (y) heißt inverse Funktion zu f, falls f 1 f = f f 1 = id id ist die Einheitsfunktion oder identische Funktion: id(x) = x f 1 (f(x)) = f 1 (y) = x und f(f 1 (y)) = f(x) = y f 1 existiert genau dann, wenn f bijektiv ist. Wir erhalten f 1 (y) als eindeutige Lösung x der Gleichung y = f(x). Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 2 / 21
3 Lineare Funktion Sei f : R R, x y = f (x) = a x + b. y = a x + b a x = y b x = 1 a y b a Also: f 1 (y) = a 1 y a 1 b Vorausgesetzt: a = 0 [ a = f (x) ] Beachte: ( f 1 ) (y) = a 1 = 1 a = 1 f (x) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 3 / 21
4 Lineare Funktion Sei f : R n R m, x y = f(x) = A x + b mit m n-matrix A. y = A x + b x = A 1 y A 1 b Also: f 1 (y) = A 1 y A 1 b Vorausgesetzt: A ist invertierbar. [ A = Df(x) ] (Insbesondere: n = m) Beachte: D(f 1 )(y) = A 1 = (Df(x)) 1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 4 / 21
5 Lokal invertierbare Funktion Die Funktion ist nicht bijektiv: f : R [0, ), x f (x) = x 2 lokal invertierbar f 1 existiert daher nicht global. Für manche x 0 gibt es ein offenes Intervall (x 0 ε, x 0 + ε) über dem y = f (x) eindeutig nach x auflösbar ist. Wir sagen: f ist um x 0 lokal invertierbar. Für manche x 0 gibt kein derartiges (noch so kleines) Intervall. y nicht lokal invertierbar x ε x x + ε Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 5 / 21
6 Existenz und Ableitung 1. Für welche x 0 ist f lokal invertierbar? lokal invertierbar 2. Wie lautet die Ableitung von f 1 an der Stelle y 0 = f(x 0 ). Idee: Ersetze f durch das Differential: f(x 0 + h) f(x 0 ) + Df(x 0 ) h x 0 Daher: nicht lokal invertierbar 1. Df(x 0 ) muss invertierbar sein. 2. D(f 1 )(y 0 ) = (Df(x 0 )) 1 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 6 / 21
7 Satz über inverse Funktionen Sei f : D f R R eine Funktion und x 0 ein Punkt mit f (x 0 ) = 0. Dann existiert ein Intervall U um x 0, sodass f U bijektiv in ein Intervall V um y 0 = f (x 0 ) abbildet. Es existiert daher die inverse Funktion f 1 : V U. Für die Ableitung gilt: ( f 1 ) (y 0 ) = ( f (x 0 )) 1 Seien f : R R, x y = f (x) = x 2 und x 0 = 3, y 0 = f (x 0 ) = 9. Da f (x 0 ) = 6 = 0, ist f um x 0 = 3 lokal invertierbar und es gilt ( f 1 ) (9) = 1 f (3) = 1 6 Für x 0 = 0 liefert dieser Satz keine Aussage, da f (0) = 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 7 / 21
8 Satz über inverse Funktionen II Seien f : R n R n und x 0 ein Punkt mit Df(x 0 ) = 0. Dann existiert ein Rechteck U um x 0, sodass f U bijektiv in ein Rechteck V um y 0 = f(x 0 ) abbildet. Es existiert daher in V die inverse Funktion f 1 : V U. Für die Ableitung gilt: D(f 1 )(y 0 ) = (Df(x 0 )) 1 Die Determinante der Jacobischen Matrix wird auch als Funktionaldeterminate bezeichnet. Notation: ( f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) = Df(x 0) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 8 / 21
9 Beispiel ( ) Sei f : R 2 R 2, x f(x) = x1 2 x2 2 x 1 x 2. Dann gilt: ( ) 2x 1 2x 2 Df(x) = x 2 x 1 ( f 1, f 2 ) (x 1, x 2 ) = 2x 1 2x 2 x 2 x 1 = 2x x2 2 = 0 für alle x = 0. f ist um alle x 0 = 0 lokal invertierbar. ( ) 1 D(f 1 )(f(1,1)) = (Df(1,1)) = = 1 1 ( ) 0 f ist jedoch nicht bijektiv: f(1,1) = f( 1, 1) = 1 ( ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 9 / 21
10 Explizite und implizite Funktion Der Zusammenhang zwischen zwei Variablen x und y kann gegeben werden durch eine explizite Funktion: y = f (x) Beispiel: y = x 2 existiert nicht implizite Funktion: F(x, y) = 0 Beispiel: y x 2 = 0 x 2 + y 2 1 = 0 Fragen: Wann kann man eine implizite Funktion (lokal) auch als explizite Funktion darstellen? Wie lautet die Ableitung von y nach der Variable x? Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 10 / 21
11 Fall: Lineare Funktion Im Falle einer linearen Funktion F(x, y) = ax + by sind beide Fragen leicht zu beantworten: ax + by = 0 y = a b x (falls F y = b = 0) dy dx = a b = F x F y Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 11 / 21
12 Fall: Allgemeine Funktion Sei F(x, y) eine Funktion und (x 0, y 0 ) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) = 0. Wenn F nicht linear ist, dann können wir die Ableitung dy dx im Punkt x 0 berechnen, indem wir die Funktion lokal durch das totale Differential von F ersetzen. Daraus erhalten wir df = F x dx + F y dy = d0 = 0 dy dx = F x F y Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 12 / 21
13 Beispiel Gesucht ist die implizite Ableitung dy dx von F(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 dy dx = F x F y = 2x 2y = x y Wir können auch die Ableitung von x nach der Variable y ausrechnen: dx dy = F y F x = 2y 2x = y x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 13 / 21
14 Lokale Existenz einer expliziten Funktion explizite Funktion existiert lokal explizite Funktion existiert nicht y (x 0, y 0 ) x y = f (x) existiert lokal, wenn F y = 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 14 / 21
15 Satz über implizite Funktionen Sei F : R 2 R und sei (x 0, y 0 ) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) = 0 und F y (x 0, y 0 ) = 0. Dann existiert ein Rechteck um (x 0, y 0 ), sodass gilt: F(x, y) = 0 hat dort eine eindeutige Lösung y = f (x), und dy dx = F x F y Sei F(x, y) = x 2 + y 2 8 und (x 0, y 0 ) = (2,2). Da F(x 0, y 0 ) = 0 und F y (x 0, y 0 ) = 2 y 0 = 4 = 0, lässt sich y lokal als dy Funktion von x darstellen und dx (x 0) = F x(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ) = 2x 0 2y 0 = 1. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 15 / 21
16 Satz über implizite Funktionen II Sei F : R n+1 R, (x, y) F(x, y) = F(x 1,..., x n, y), und sei (x 0, y) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) = 0 und F y (x 0, y 0 ) = 0. Dann existiert ein Rechteck um (x 0, y 0 ), sodass gilt: F(x, y) = 0 hat dort eine eindeutige Lösung y = f (x), wobei f : R n R, und y x i = F x i F y y ist die von uns ausgewählte Variable und muss nicht notwendigerweise an letzter Position stehen. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 16 / 21
17 Beispiel Gesucht ist x 2 x 3 der impliziten Funktion F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x x 2 x 3 + x 2 3 x 3 x 4 1 = 0 an der Stelle (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1,0,1,1). Da F(1,0,1,1) = 0 und F x2 (1,0,1,1) = 1 = 0 können wir x 2 lokal als Funktion von (x 1, x 3, x 4 ) darstellen: x 2 = f (x 1, x 3, x 4 ). Für die partielle Ableitung nach x 3 erhalten wir x 2 x 3 = F x 3 F x2 = x x 3 x 4 x 3 = 1 An den Stellen (1,1,1,1) und (1,1,0,1) kann der Satz über implizite Funktionen nicht für x 2 angewendet werden: F(1,1,1,1) = 0 und F x2 (1,1,0,1) = 0. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 17 / 21
18 Jacobische Matrix Sei F(x, y) = F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ). = 0 F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) dann heißt F(x, y) y = F 1 F 1 y m y F m y 1... F m y m Jacobische Matrix von F(x, y) bezüglich y. Analog: F(x,y) x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 18 / 21
19 Satz über implizite Funktionen III Sei F : R n+m R m, (x, y) F(x, y) = und sei (x 0, y 0 ) ein Punkt mit F(x 0, y 0 ) = 0 und F(x, y) y Dann existiert ein Rechteck um (x 0, y 0 ), sodass gilt: F 1 (x 1,..., x n, y 1,..., y m ). F m (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0 für (x, y) = (x 0, y 0 ). F(x, y) = 0 hat dort eine eindeutige Lösung y = f(x), wobei f : R n R m, und y ( ) F 1 ( ) F x = y x Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 19 / 21
20 Beispiel Sei F(x, y) = ( ) F 1 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) F 2 (x 1, x 2, y 1, y 2 ) und (x 0, y 0 ) = (1,1, 1,2). F x = F y = ( F1 F 1 x 1 x 2 F 2 F 2 x 1 x 2 ( F1 F 1 y 1 y 2 F 2 F 2 y 1 y 2 ) ) = = ( ) 2x 1 2x 2 = ( 3x1 2 3x2 2 ( ) 2y1 2y 2 3y 2 1 3y 2 2 x x2 2 y2 1 y x x3 2 + y3 1 + y F (1,1, 1,2) = x F (1,1, 1,2) = y ) ( ) ( ) Da F(1,1, 1,2) = 0 und F(x,y) y = 12 = 0 können wir den Satz über implizite Funktionen anwenden und es gilt y x = ( F y ) 1 ( ) F x = 1 12 ( ) ( ) = ( ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 20 / 21
21 Zusammenfassung Lokale Existenz einer inversen Funktion Ableitung einer inversen Funktion Explizite und implizite Funktionen Lokale explizite Darstellung einer impliziten Funktion Ableitung einer impliziten Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 21 / 21
Inverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y f(x). Eine Funktion f 1 : W
Kapitel 7. Differentialrechnung. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x)
Kapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen
Kapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen Inhaltsverzeichnis FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN... 3 BEISPIELE UND DARSTELLUNGEN... 3 GRENZWERT UND STETIGKEIT (ABSTANDSBEGRIFF)...
Folgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
Musterlösung zu Blatt 1
Musterlösung zu Blatt Analysis III für Lehramt Gymnasium Wintersemester 0/4 Überprüfe zunächst die notwendige Bedingung Dfx y z = 0 für die Existenz lokaler Extrema Mit x fx y z = 8x und y fx y z = + z
Kuhn-Tucker Bedingung
Kapitel 13 Kuhn-Tucker Bedingung Josef Leydold Mathematik für VW WS 017/18 13 Kuhn-Tucker Bedingung 1 / Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne das Maximum der Funktion f (x, y) g(x, y) c,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 2013 Institut für Analysis 06.05.2013 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 4. Übungsblatt Aufgabe 1 Bestimmen
1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen
Mathematik für Physiker III WS 2012/2013 Freitag 211 $Id: implizittexv 18 2012/11/01 20:18:36 hk Exp $ $Id: lagrangetexv 13 2012/11/01 1:24:3 hk Exp hk $ 1 Umkehrfunktionen und implizite Funktionen 13
Differentialrechnung
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 75 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f
Differentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient
Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrechnung f = f 0 + f 0 = f 0 0 heißt Differenzenquotient an der Stelle 0., Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Auffrischungskurs
Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem
Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0,
Kapitel 12. Lagrange-Funktion. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28. f (x, y) g(x, y) = c. f (x, y) = x y 2
Kapitel 12 Lagrange-Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28 Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne die Extrema der Funktion unter der Nebenbedingung
Kapitel 3. Vektorräume. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41. : x i R, 1 i n x n
Kapitel Vektorräume Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Vektorräume / 4 Reeller Vektorraum Die Menge aller Vektoren x mit n Komponenten bezeichnen wir mit x R n =. : x i R, i n x n und wird als n-dimensionaler
Kapitel 3. Vektorräume. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41
Kapitel 3 Vektorräume Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41 Reeller Vektorraum Die Menge aller Vektoren x mit n Komponenten bezeichnen wir mit R n = x 1. x n : x i R, 1 i n und
Kapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen
Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.
Wenn man den Kreis mit Radius 1 um (0, 0) beschreiben möchte, dann ist. (x, y) ; x 2 + y 2 = 1 }
A Analsis, Woche Implizite Funktionen A Implizite Funktionen in D A3 Wenn man den Kreis mit Radius um, beschreiben möchte, dann ist { x, ; x + = } eine Möglichkeit Oft ist es bequemer, so eine Figur oder
Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
Monotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
Monotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
Übungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
Konvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,
Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis
Prof Dr H Garcke, D Depner SS 09 NWF I - Mathematik 080009 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis Aufgabe Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie
Wir wünschen viel Erfolg!
Dr. Felix Schwenninger WS 2018/2019 Bergische Universität Wuppertal Probeklausur Analysis II Name: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: Wichtige Hinweise: Sofern nicht anders angegeben, müssen alle Rechnungen,
3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)
3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) 31 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen einer Variablen Definition 31 Es sei M R, f : M R und a M Wenn der Funktionsgrenzwert f(x)
Probeklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 21717 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof N V Shcherbina Dr T P Pawlaschyk wwwkanauni-wuppertalde Probeklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Hinweis Die Lösungen
Implizite Funktionen
Implizite Funktionen Durch die Bedingung F (x, y) = C, C R wird eine bestimmte Teilmenge des R 2 festgelegt, zb durch die Bedingung x y = 4 Dabei können wir obda C = 0 annehmen, da wir stets zur Betrachtung
Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, 15.7.2014 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 gesamt erreichbare P. 10
TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017
TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1 Prof. Dr. K. Eppler Institut für Numerische Mathematik Dr. M. Herrich SS 2017 Aufgabe 1 Übungen zur Vorlesung Mathematik II 4. Übung,
ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung
18.2 Implizit definierte Funktionen
18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2019 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! = 1 2 3 4 (n 1) n Intervalle
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften
Musterl osung BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Analysis II Klausur WS 211/212 Prof. Dr. Hartmut Pecher 3.2.212, 9:15 Uhr Name Matr.Nr. Studienfach Fachsemester
Klausur Analysis II
WS 28/9 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis II 6.2.28 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
2.10 Lokale Funktionsanalyse
2.1 Lokale Funktionsanalyse Aufgabe Gegeben sei die Abbildung g : R 2 R 2 mit g(x, y) : (x 3 yx, y). Man bestimme alle Mengen M k : {(ξ, η) R 2 g 1 (ξ, η) hat genau k Elemente}. Wie verhält g sich in der
Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
Differentialrechnung
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt
1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler
Zusammenfassung Kapitel IV: Funktionen mehrerer Veränderlicher und vektorwertige Funktionen 1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler Definition vektorwertige
Musterlösung Klausur zu Analysis II. Verständnisteil
Technische Universität Berlin SS 009 Institut für Mathematik 060009 Prof Dr R Schneider Fritz Krüger Sebastian Holtz Musterlösung Klausur zu Analysis II Verständnisteil (a) Wie lauten die Voraussetzungen
f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}
9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen
Mathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 49 Zu einer reellwertigen Funktion Extrema auf einer offenen Menge G R n interessieren wir uns, wie schon bei einem eindimensionalen
Exakte Differentialgleichungen
Kapitel 4 Exakte Differentialgleichungen 4.1 Kurvenscharen Sei D R 2 ein offenes und zusammenhängendes Gebiet. Dann kann man zu jeder D einfach überdeckenden Kurvenschar eine Differentialgleichung erster
a,b,c a,b,d a,d,e b,c,e c,d,e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Klausur, Mathematik, Juli 2012, A 1 [ 1 ] Bestimmen Sie Y und C in dem makroökonomischen Modell Y = C + Ī C = a + by mit a = 300, b = 0.7 und Ī = 600. Y = C = [ 2 ] Die folgenden Aussagen befassen sich
MATHEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK 1
MATHEMATISCHE METHODEN DER PHYSIK 1 Helmuth Hüffel Fakultät für Physik der Universität Wien Vorlesungsskriptum Sommersemester 2012 Version vom 08-03-2012 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
Höhere Mathematik III. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III WiSe 04/05 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite
Mathematik für Anwender. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 4. Januar 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender Testklausur mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 0 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden
Der metrische Raum (X, d) ist gegeben. Zeigen Sie, dass auch
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 07 Institut für Mathematik Stand: 3. Juli 007 Ferus / Garcke Lösungsskizzen zur Klausur vom 6.07.07 Analysis II. Aufgabe (5 Punkte Der metrische Raum (X, d ist gegeben.
Analysis II 14. Übungsblatt
Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau
2 Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation
Satz 2. (Richtungsableitung) Für jede auf der offenen Menge D R n total differenzierbaren Funktion f (insbesondere für f C 1 (D, R) und für jeden Vektor v R n, v 0, gilt: n v f(x) = f(x) v = f xi (x)v
Kapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen Kapitel 8.3 Anwendungen der partiellen Differentiation (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
3. Mai Zusammenfassung. g x. x i (x).
3. Mai 2013 Zusammenfassung 1 Hauptsatz Satz 1.1 Sei F C 1 (D) für eine offene Teilmenge D von R q+1 = R q R. Für (x 0, u 0 ) D gelte F (x 0, u 0 ) = 0, (x 0, u 0 ) 0. Dann gibt es eine Umgebung V von
Klausur Mathematik, 1. Oktober 2012, A
Klausur, Mathematik, Oktober 2012, Lösungen, A 1 Klausur Mathematik, 1. Oktober 2012, A Die Klausureinsicht ist Do, 8.11.2012 um 18:00 in MZG 8.136. Die Klausur ist mit 30 Punkten bestanden. Falls Sie
Einleitung. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 Einleitung 1 / 11
Einleitung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 Einleitung 1 / 11 Vorkenntnisse Mathematische (und statistische) Vorkenntnisse der Studentinnen und Studenten des Masterprogramms Volkswirtschaft
12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
Satz. [x] B = die Koordinatenvektoren von x und y = F(x) bezüglich B respektive C. Dann gilt. [y] C = A[x] B. Hierbei ist
![Satz. [x] B = die Koordinatenvektoren von x und y = F(x) bezüglich B respektive C. Dann gilt. [y] C = A[x] B. Hierbei ist](/thumbs/78/77477288.jpg "Satz. [x] B = die Koordinatenvektoren von x und y = F(x) bezüglich B respektive C. Dann gilt. [y] C = A[x] B. Hierbei ist")
Satz Jede lineare Abbildung F : V n W m lässt sich durch eine m n-matrix darstellen. Dazu wählt man Basen B = (b 1,..., b n ) in V und C = (c 1,..., c m ) in W. Seien x 1 y 1 [x] B =. und [y]c =. x n y
Teil 6. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
Teil 6 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher 95 96 6.1 Topologie von Mengen Umgebung ε-umgebung eines Punktes x R n : B ε (x) = {y : y x < ε} Umgebung U von x: Menge, die eine ε-umgebung von x enthält
1 Funktionen. 1.1 Definitionen und Bezeichnungen
1 1 Funktionen 1.1 Definitionen und Bezeichnungen Eine Funktion f ist eine eindeutige Abbildung einer Menge X in eine andere Y. Ist x X, dann ist f(x) y Y das Bild des Elementes x. x heißt das Urbild des
0.1 Hauptsatz über implizite Funktionen
0.1 Hauptsatz über implizite Funktionen 0.1 Hauptsatz über implizite Funktionen Ein lineares homogenes Gleichungssystem von q Gleichungen in r + q Unbekannten kann bekanntlich verwendet werden um q Unbekannte
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 2 15. April 2010 Kapitel 6. Integralrechnung Einseitig unbeschränkter Definitionsberech Beidseitig unbeschränkter Definitionsberech Unbeschränkte
Lösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
Logik, Mengen und Abbildungen
Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Def.: eine Funktion n f :D mit D,x (x,...x
f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.
Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit
Gleichungsbasierte Modellierung
1 Gleichungsbasierte Modellierung Die Benutzung von Gleichungen zur Geometrischen Modellierung wurde bereits von Sutherland eingeführt. Fortgeführt wurde sie durch die Arbeiten von Light und Gossard. Wie
Nachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4
![Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4](/thumbs/65/53300283.jpg "Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4")
Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) 4.3.5 Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b)
Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
![Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:](/thumbs/63/49291408.jpg "Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:")
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
Kapitel 2. Mathematik für Mikroökonomie
Kapitel Mathematik für Mikroökonomie 1 Mathematik der Optimierung Ökonomische Theorien basieren auf der Annahme, dass die Agenten versuchen, den optimalen Wert einer Funktion zu wählen. Konsumenten maximieren
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Bemerkungen. f (x 1,..., x i + x i,..., x n ) f (x 1,..., x n ) lim. f xi (x 1,..., x n ) =
Bemerkungen Die Erweiterung der Definition von partiellen Ableitungen 1. Ordnung für Funktionen u = f (x 1,..., x n ) mit n > 2 Veränderlichen ist offensichtlich: f xi (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x i
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning WS /3 4.3.3 Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Aufgabe ((4+3+3 Punkte a Welche
Klausur zur Mathematik III. Variante A
Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis) Prof. Dr. Oliver Schaudt Aachen, den 21.02.2018 Klausur zur Mathematik III WS 2017/18 Variante A Name Matrikelnr. Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel
Klausur zur Mathematik III. Variante B
Lehrstuhl C für Mathematik (Analysis) Prof. Dr. Oliver Schaudt Aachen, den 21.02.2018 Klausur zur Mathematik III WS 2017/18 Variante B Name Matrikelnr. Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V1.40)
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V.40) Grundlagen n! = 2 3... n = 0! = n i für n N, n 0, i= pq-formel Lösung von x 2 + px + q = 0 x /2 = p p 2 ± 2 4 q abc-formel Lösung von ax 2 + bx + c = 0 Binomische
Mathematische Methoden
Mathematische Methoden Vorbesprechung Josef Leydold Institute for Statistics and Mathematics WU Wien Wintersemester 2016/17 Vorbesprechung Josef Leydold Mathematische Methoden WS 2016/2017 Vorbesprechung
Anwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min. cos(x), y(0) = 1.
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung.9.6, min Aufgabe ( Punkte) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: y = e y cos(x), y() =. Sei y : I R die maximale Lösung des gegebenen Anfangswertproblems (diese
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 2014
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr M Keyl M Kech TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) MA923 http://wwwm5matumde/allgemeines/ma923_26s Sommersem 26 Probeklausur (4726) Krümmung
Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung
TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen
Analysis II. Vorlesung 47
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Zu einer reellwertigen Funktion Vorlesung 47 interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima
Nachklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 18.9.17 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof. N. V. Shcherbina Dr. T. P. Pawlaschyk www.kana.uni-wuppertal.de Nachklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Aufgabe
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. D. Castrigiano Dr. M. Prähofer Zentralübung 63. Die multinomische Formel TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Man zeige für x R n, k N 0 Mathematik 3 für Physik (Analysis http://www-hm.ma.tum.de/ss0/ph/
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2
Kapitel 15. Kontrolltheorie. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 15 Kontrolltheorie 1 / 19. T (1 s(t)) f (k(t)) dt
Kapitel 15 Kontrolltheorie Josef Leydold Mathematik für VW WS 217/18 15 Kontrolltheorie 1 / 19 Wirtschaftswachstum Aufgabe: Maximiere Konsum im Zeitraum [, T]: max s(t) 1 (1 s(t)) f (k(t)) dt f (k)...
16 Vektorfelder und 1-Formen
45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
Analysis II. Aufgaben zum Stoff der Analysis I und II Lösungsvorschlag
Prof Dr H Garcke, D Depner SS 9 NWF I - Mathematik 1979 Universität Regensburg Aufgabe 1 Analysis II Aufgaben zum Stoff der Analysis I und II Lösungsvorschlag i Erinnern Sie sich an die Konvergenzkriterien
41 Der Satz über implizite Funktionen
41 Der Satz über implizite Funktionen 203 41 Der Satz über implizite Funktionen Lernziele: Resultate: Satz über implizite Funktionen Methode: Implizite Differentiation Kompetenzen: (Lokale) Auflösung von
Grundlagen der Mathematik 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben
Klausur Mathematik II
Technische Universität Dresden. Juli 8 Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. G. Matthies, Dr. M. Herrich Klausur Mathematik II Modul Dierentialgleichungen und Dierentialrechnung für Funktionen mehrerer
9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 89
9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 89 Beweis. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion. Angenommen wir hätten den Satz für k 1 gezeigt. Dann ist wegen auch Damit ist f(g(y), y) = 0 0 = D y
MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer