Übungen zu Physik I für Naturwissenschaftler Serie 1 Musterlösungen

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1 Übungen zu Physik I für Naturwissenschaftler Serie 1 Musterlösungen Denys Sutter, 25. September 217 Allgemeine Fragen 1. Dimensionsanalyse ist eine nützliche Methoe sich avon zu überzeugen, ass eine physikalische Gleichung Sinn macht. Wenn wir mit kg, m un s ie Dimensionen er Masse, Länge un Zeit bezeichnen, un ie Dimensionen von Kraft (F) un Energie (E), kg m/s 2 bzw. kg m 2 /s 2 sin, ann können wir von en folgenen Gleichungen einige als unphysikalisch aussonern (x, v, a, t un m bezeichnen Ort, Geschwinigkeit, Beschleunigung, Zeit un Masse). Welche? (a) F = ma (b) x = at 3 (c) E = 1 2 mv () E = max (e) v = Fx/m (f) a = v 2 /x (g) x = v/a (h) x = vt (i) x = vt sint (j) x = vt sinvt (k) x = (at 2 )sin(vt/x) (a) [kg m s 2 ] = [kg] [m s 2 ], korrekt (b) [m] = [m s 2 ] [s 3 ] = [m s], falsch (c) [kg m 2 s 2 ] = [kg] [m s 1 ], falsch () [kg m 2 s 2 ] = [kg] [m s 2 ] [m], korrekt (e) [m s 1 ] = ( [kg m s 2 ] [m] [kg 1 ] ) 1/2 = [m 2 s 2 ], korrekt (f) [m s 2 ] = [m 2 s 2 ] [m 1 ] = [m s 2 ], korrekt (g) [m] = [m s 1 ] [(m s 2 ) 1 ] = [s], falsch (h) [m] = [m s 1 ] [s] = [m], korrekt (i) Falsch, a as Argument er Sinusfunktion einheitslos zu sein hat. (j) Falsch, aus emselben Grun wie bei (i). (k) [m] = ( [m s 2 ] [s 2 ] ) [ ] = [m], korrekt 2. Kann ein Körper seine Bewegungsrichtung umkehren, obwohl auf ihn eine konstante Beschleunigung wirkt? Ja, z.b. ein nach oben geworfener Ball, nachem er ie Han verlassen hat: auf ihn wirkt ie konstante Erbeschleunigung, ie zunächst seine Geschwinigkeit nach oben kontinuierlich reuziert, bis sie am Umkehrpunkt Null wir un er ann im freien Fall nach unten fällt. 3. Geben Sie jeweils an, welche(s) Diagramm(e) in Abb. 1 folgene Bewegungen beschreiben: (a) A, B, D (a = ) (b) B (c) D () E 1

2 (a) gleichmässig beschleunigte Bewegung (b) gleichmässig beschleunigte Bewegung aus em Stan (c) unbeschleunigte Bewegung () beschleunigte Bewegung mit zunehmener Beschleunigung Abb. 1: v-t-diagramme Aufgaben 1. Kinematik I [2 Punkte] Ein Personenwagen soll aus em Stan einen 518 m entfernten Zielpunkt in kürzester Zeit erreichen un ort wieer zum Stillstan kommen. Die konstante Startbeschleunigung beträgt a 1 = 2.4 m/s 2, ie ebenfalls konstante Bremsverzögerung a 2 = 5. m/s 2. (a) Welche Höchstgeschwinigkeit v 1 erreicht as Fahrzeug? (b) Wie lang sin Beschleunigungsstrecke un Bremsweg? (c) Welche Zeit wir für ie gesamte Strecke minestens benötigt? () Was erhält man, wenn er PW nur maximal 13 km/h schafft? 2

3 Im Allgemeinen muss von einem Bewegungsablauf ausgegangen weren, wie in nebenstehenem v-t-diagramm, Abb. 2. Zuerst eine Beschleunigungsphase bis zur maximalen Geschwinigkeit v 1 von er Dauer t 1 = v 1 /a 1, am Ene eine Verzögerungsphase mit t 2 = v 1 /a 2, (a 2 < ) un ggf. einer azwischenliegenen Phase t 3 mit konstanter Geschwinigkeit v 1. Nach en Gesetzen er Kinematik ist er zurückgelegte Weg as Integral über ie Geschwinigkeit v(t), oer anschaulich, ie farbige Fläche in Abb. 2, also s = v 1 (t ges +t 3 )/2. (1) Abb. 2: v-t-diagramm zur grafischen Veranschaulichung es Bewegungsablaufs. Die farbige Fläche entspricht er zurückgelegten Strecke. (a) Nach er Aufgabenstellung ist ie Gesamtstrecke s = 518 m vorgegeben, v 1 un t sin variabel un zu bestimmen. Nach Gl. (1) folgt t 3 = 2s v t un somit t = t 1 +t 2 +t 3 = v 1 v ( ) 1 2s + t a 1 a 2 v 1 t = v 1 2a 1 v 1 2a 2 + s v 1. (2) Die kürzeste Fahrzeit erhält man aus Gl. (2) urch ifferenzieren nach v 1 un Nullsetzen: = 1 1 s v 1 2a 1 2a 2 2a1 a 2 s v 1 = v 2 1 = a 2 a 1 41 m/s km/h. (3) (b) Ausgehen von en kinematischen Grungleichungen bei konstanter Beschleunigung a v(t) = v + at (4) un s(t) = v t at2, (5) kann man in Gl. (5) ie Zeit t eliminieren un erhält ann nach ein paar einfachen Umformungen v 2 = 2sa + v 2. (6) 3

4 Setzt man zunächst v = un v = v 1 un löst Gl. (6) nach s auf, erhält man ie Beschleunigungsstrecke s 1 = v2 1 = a 2s 2a 1 a 2 a 1 = 35 m. Um en Bremsweg auszurechnen setzt man v = v 1 un v = : Wie zu erwarten war, ist somit s 3 = un natürlich auch t 3 =. s 2 = v2 1 = a 1s 2a 2 a 1 a 2 = 168 m. (7) (c) Mit em eben erhalten Ergebnis vereinfacht sich ie minimale Gesamtzeit nach Gl. (2) zu t min = v 1 a 1 v 1 a 2 un mit v 1 aus Gl. 3 un einigen einfachen Umformungen t min = 2s(a 2 a 1 ) a 1 a s. () Nun ist also ie maximale Geschwinigkeit begrenzt auf v 2 = 13 km/h = 13/3.6 m/s. Die Gesamtzeit erhält man, wenn man in Gl. (2) v 1 urch v 2 ersetzt: t s. Ausserem lassen sich ie Teilzeiten un Teilstrecken berechnen: 2. Kinematik II [2 Punkte] t 1 = v 2 a s s 1 = v2 2 2a m t2 = v s a 2 s 2 = v m 2a 2 t3 = 2s t 3.21 s v 2 s 3 = v 2 t m. Ein Teilchen bewege sich im Raum nach folgenen Gleichungen: x(t) = r cos(ωt) y(t) = r sin(ωt) z(t) = v z t. (a) Skizzieren Sie ie Bahn es Teilchens. Um was für eine Bewegung hanelt es sich? (b) Drücken Sie obige Gleichungen in Zylinerkoorinaten aus. (c) Berechnen Sie v, v, a un a (in kartesischen oer Zylinerkoorinaten) un tragen Sie ie Vektoren zu einer beliebigen Zeit t in Ihre Zeichnung ein. 4

5 (a) Schraubenlinie Abb. 3: Schraubenlinie (rot) un Projektionen (blau) in verschieenen Ebenen. (b) In Zylinerkoorinaten: r(t) = r (r = x 2 + y 2 ) ϕ(t) = ωt (ϕ = arctan y x ) z(t) = v z t. (c) kart. Koorinaten: v = r rω sinωt = rω cosωt ; v = r 2 ω 2 + v 2 z v z a = v rω 2 cosωt = rω 2 sinωt ; a = rω 2 Zylinerkoorinaten; beachte ass es sich abei um ein mitbewegtes Koorinatensystem hanelt, weshalb ie Richtungen er Einheitsvektoren e r un e ϕ zeitabhängig sin: v = r = a = v = r r ϕ z 2 r 2 r r 2 ϕ 2 = ( ) 2 ϕ + 2 r 2 z 2 ϕ rω v z = ; v = rω 2 r 2 ω 2 + v 2 z ; a = rω 2 5

6 3. Ungleichmässige Beschleunigung [3 Punkte] Ein Flugzeug wir nach em Aufsetzen auf er Lanebahn urch Bremsfallschirme abgebremst. Die urch en Luftwierstan hervorgerufene Bremsverzögerung ist em Quarat er Geschwinigkeit proportional: a = v = kv 2 mit k =.4 m 1. (a) In welcher Zeit t 1 verringert sich ie Geschwinigkeit es Flugzeuges von anfänglich v = 5 m/s auf v 1 = 1 m/s, wenn ausschliesslich mit Hilfe es Luftwierstanes gebremst wir? v (Löse ie Gl. = kv 2 mit em Ansatz v(t) = A(t +t ) n. Aus er Beingung, ass ie Gleichung für beliebiges t erfüllt sein muss, ergibt sich n un auch eine Beziehung zwischen A un k. Den Parameter t bestimmt man aus er Anfangsbeingung v(t = ) = v. Kennt man v(t) lässt sich ie Zeit t 1 berechnen.) (b) Welche Strecke s 1 legt as Flugzeug in ieser Zeit zurück? (Hinweis: Lösung es Integrals urch Substitution, x 1 x = lnx +C) (a) Um iese Bremszeit zu berechnen muss man zunächst as v(t) bestimmen. Eine Möglichkeit besteht arin, ie richte Lösung zu erraten. Der Ansatz hierzu ist in er Aufgabe schon gegeben. Dieses v(t) ist nach t zu ifferenzieren un in ie Gleichung für a einzusetzen: na(t +t ) n 1 = ka 2 (t +t ) 2n (8) Die Gl. 8 muss für alle Zeiten t gelten. Dies kann nur sein, wenn ie Exponenten bei (t +t ) auf beien Seiten gleich sin: n 1 = 2n n = 1. (9) Mit n = 1 fallen ie Terme mit t auf beien Seiten weg un es bleibt A = ka 2 A = 1 k. (1) Nun bleibt noch en Parameter t zu bestimmen. Dazu benutzt man ie Anfangsbeingung: v(t = ) = v 1 k ( +t ) 1 = v t = 1 kv. (11) Alle Ergebnisse in en Ansatz eingesetzt ergibt unser gesuchtes v(t): v(t) = v 1 + kv t (12) Nach er Zeit t aufgelöst un v(t 1 ) = v 1 = 1 m/s eingesetzt ergibt ie Bremszeit t 1 = 1 ( 1 1 ) k v 1 v = 24.5 s. 6

7 (b) Mit Gl. (12) ist er Bremsweg as Zeitintegral über t von t = bis t 1 : t1 s 1 = = t1 v(t) Dieses Integral lässt sich mit Hilfe er Substitution lösen: v 1 + kv t. Substitution z = 1 + kv t z = kv s 1 = 1 k z1 z z z = 1 k [lnz]z 1 z mit z = 1 (entsprechen t = ) un z 1 = 1 + kv t 1 oer Rücksubstitution 4. Schiefer Wurf [3 Punkte] s 1 = 1 k [ln(1 + kv t)] t 1 = 1 k ln v v m. (a) Von einem h = 25 m hohen Turm wir ein Stein mit v = 15 m/s unter em Winkel α = 3 gegenüber er Horizontalen geworfen. Nach welcher Zeit un in welcher Entfernung vom Turm trifft er Stein auf em Boen auf? (b) Unter welchem Winkel müsste er Stein unter sonst gleichen Beingungen geworfen weren, um ie grösstmögliche Weite vom Turm zu erreichen? (Wähle en Koorinatenursprung im Abwurfpunkt, ann gilt für en Auftreffpunkt y = h; ifferenziere ie Gleichung für en schiefen Wurf nach α, beachte abei, ass auch ie Wurfweite x von α abhängt, un verwene, ass für ie maximale Weite x α = gelten muss) (a) Aus er Vorlesung ist ie Gleichung für en schiefen Wurf bekannt: ( x ) 2 y(x) = x tanα g 2 v x, = x tanα g ( ) x 2. (13) 2 v cosα Gesucht ist x 1. Setze afür y(x 1 ) = h en Auftreffpunkt auf em Boen, wenn als Koorinatenursprung er Abwurfpunkt gewählt wure, un löse nach x auf: g 2v 2 cos2 α x 2 xtanα h = 7

8 Dies ist eine quaratische Gleichung in x für welche ie Lösungen sin: x 1,2 = tanα ± tan 2 α + 4 x m [x 2 < ]. gh 2v 2 cos2 α g (14) v 2 cos2 α Die Zeit bis zum Auftreffen lässt sich beispielsweise aus er Komponente in x-richtung berechnen: x(t) = v x t x 1 t 1 = v cosα 3.15 s. (b) Man geht wieer von Gl. (13) für en schiefen Wurf aus. Nur sin jetzt Wurfweite x un Abwurfwinkel α veränerlich. Glieweises Differenzieren nach α ergibt (beachte abei, ass x implizit von α abhängt) = x α tanα + x cos 2 g α 2v 2 [ 2x x ] cos 2 α 2cosα ( sinα )x 2 α 1 cos 4 α. Wir suchen ie grösste Weite x max, also muss ie Extremwertbeingung erfüllt sein. Man erhält x α α =α max = bzw. x max = = x max cos 2 α max gsinα max v 2 cos3 α max x 2 max v 2 gtanα max. Dies für x in ie Ausgangsgleichung (13) eingesetzt, ergibt sinα max = v 2 ( v 2 + gh) α max = Der Abwurfwinkel α = 3 aus Teil (a) ist also schon sehr nahe beim optimalen Winkel für maximale Weite. Entsprechen erhält man aus Gl. (14) auch ungefähr ieselbe Weite x max 4.9 m. 5. Vertiefung [2 Punkte] Berechne un vereinfache folgene Ausrücke: a) x (4 x(x x )) b) x ( 1 + (e x ) 2 ) c) x+2 x 2 +4x+1 x 8

9 a) x (4 x(x x )) = x (x2 + 1 x )+4 x(2x 1 x 2 ) = 2x 1 2 (x 2 +x 1 )+4x 1 2 (2x x 2 ) = 2x x x 3 2 4x 3 2 = 1x 3 2 2x 3 2 = 1x x 2 x x b) x ( 1 + (e x ) 2 ) Kettenregel mit y = 1 + (e x ) 2 un z = e 2x y x = y z z x = z (1 + z) 2 1 x e2x = 1 2 (1 + z) 1 2 x e2x = 1 2 (1 + e2x ) 1 2 x e2x Nochmals Kettenregel mit u = e 2x un v = 2x x e2x = u v v x = v ev x 2x = ev 2 = 2e 2x Also x ( 1 + (e x ) 2 ) = 1 2 (1 + e2x ) 1 2 2e 2x = e2x 1+e 2x c) x+2 x 2 +4x+1 x = x+2 (x+2) 2 3 x Mit y = x + 2 x+2 x 2 +4x+1 x = y y 2 3 y = 1 2 log(y2 3) = 1 2 log((x + 2)2 3) 9