v A e y v By = v B sinα 2 = v A 2 v By

Transkript

1 U Chemnitz Institut für Physik Physikübungen für Wirtschaftsingenieure WS3 Lösungsvorschläge für. Übungsblatt. Die Körper und starten gleichzeitig von einem gemeinsamen Standort, mit v = m/s und mit v = 6km/h. erechnen Sie den bstand zwischen und nach min für die Fälle a die Geschwindigkeiten sind gleichgerichtet (x-chse) b sie stehen senkrecht zueinander (x-und y-chse) c sie schließen einen Winkel von 3 o ein. v = m/s = 7km/h v = 6km/h = 6,67 m/s a.) = e v x v s = v t = km/h*min =, km v= v v v = v - v = km/h b.) v v = = e y v v= v e y v v = e x v e v = v v = 7 km/h 6 km/h =93,7 km/h?s = v/ t = 93,7km/h*min = 3,km c.) v v x e y v y us der bb. entnimmt man v x = v cosα v y = v sinα y α x v= v v x e y v y v= v = e x v v x e v y = v v x v y v= v v cos v sin =36,8 km/h s = v t = 36,8km/h min =,3km. Zwei Orte s und s sind durch eine Straße von km Länge verbunden. In s startet ein Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von km/h und gleichzeitig mit ihm vom gleichen Ort und in gleicher Richtung ein Hund mit 7 m/s. In s startet zur gleichen Zeit ein Radfahrer in Richtung s mit 5 km/h. ls der Hund den Radfahrer erreicht, kehrt er um und rennt mit gleicher Geschwindigkeit zurück zu Radfahrer. Dort angekommen, rennt er wieder zurück zu Radfahrer usw. Wann treffen sich die beiden Radfahrer? Wo liegt der reffpunkt? Welche Strecke legt der Hund insgesamt zurück, bis sich die beiden Fahrradfahrer schließlich treffen? Stellen Sie die ewegungen beider in je einem s(t)- und v(t)-diagramm dar. Lösungsvorschlag: Fahrzeit: v = km/h v = 5km/h v H = 7m/s s G = km s + s = s G! t = t = t G! v = s/t s = vt s G = v t + v t = (v + v )t G t G = s G/ (v + v ) =,h = min s = v t G = km s = 6km s H = v Ht G =,8km

2 Geschwindigkeit v in km/h Entfernung in km Zeit t in,min 6 8 Zeit t in,min Hund Hund

3 3. Die Geschwindigkeit eines anfahrenden Motorrades folgt ab s = der Formel v = b v (t) = b + c t bzw. v 3(t) = c t+ e t. c und d sind Konstanten: b = 3,6 m/s ; c =,5 m/s e =,9m/s 3 erechnen Sie für die drei Fälle die zurückgelegten Wege, die Momentan- und die Durchschnittswerte von Geschwindigkeit und eschleunigung s nach dem Start. Wege: s= v t dt = s s = b =,m s = b ct dt= bt ct /,5 m/s =3,6 m/s s 6 s =, m Momentangeschwindigkeiten: v mom = b = 3,6m/s v mom = v () = b + c = 8,6m/s v 3mom = v 3() = c + e = 36m/s = 9,6km/h Durchschnittsgeschwindigkeiten: Mittelwert einer zeitabhängigen Größe (t): D = t dt = s v D = b = 3,6m/s V D = b ct dt= bt ct / =b c = 6,m/s v 3D = ct et dt= c t e 3 t 3 / = c e 3 =,85m/s = 6,5km/h Momentanbeschleunigungen: a= dv dt a = dv dt = d dt b a = dv dt = d dt b ct =c a 3 = dv 3 dt = d dt ct et =c et mit t = = s a = a = c =,5m/s a 3 = c + e = 6,77m/s Durchschnittsbeschleunigungen: Mittelwert einer zeitabhängigen Größe (t): D = t dt a D = a D = cdt= c=c=5m/s a 3D = c et dt= c e =c e=9, m/s

4 . Ein Sprinter durchläuft die m in 9,7s. Dabei beschleunigt er mit a = const, erreicht m nach dem Start seine Maximalgeschwindigkeit und behält diese bis ins Ziel bei. Wie groß sind eschleunigungszeit und die Maximal- und Durchschnittsgeschwindigkeit? a = const: Gleichmäßig beschleunigte ewegung v(t) = at + v s(t) = a t v t s eschleunigungsphase Phase mit v = const t t s s t < t v t ges s < s v s ges v v = = const = v(t ) = a t s = a t t = s = s v t v t v = s v t ges =t t v = s s v = s s V t ges m 8 m = =,37 m/s 9,7sec =,5km/h t = s = s t ges s s v = 3,33s v D = s ges/t ges =,3m/s = 37,km/h Die Diagramme zu s(t), v(t) und a(t) : s(t) [m] v(t) [m/s] a(t) [m/s²] Ein aus m Höhe senkrecht gegen den Erdboden geschleuderter all springt 6m hoch. Wie groß war seine nfangsgeschwindigkeit, wenn der all ideal reflektiert und von Reibungsverlusten abgesehen wird? Skizzieren Sie die ewegung im a(t) -, v(t) - und im s(t) - Diagramm. usführliche Lösung Erste ewegungsphase: Wurf nach unten Gleichmäßig beschleunigte ewegung allgemein: a = const; v(t) = at + v ; s(t) = a t v t s () ei Verlegung des Koordinatenursprunges in die bwurfstelle wird s =, s(t), g und a = +g v(t) = gt + v. () s(t) = g t v t (3) uftreffstelle t = t s(t ) = h v(t ) = v Elimination der nicht gegebenen Zeit t : us Gl () folgt t = (v v )/g. t in Gl (3) eingesetzt und nach v aufgelöst führt auf

5 v = gh v () Zweite ewegungsphase: Wurf nach oben ei Verlegung des Koordinatenursprunges in die uftreffstelle wird s =, s(t), g und a = -g. v ist nun die nach der Reflexion nach oben gerichtete Geschwindigkeit v Die allgemeinen Gl () lauten jetzt v(t) = -gt + v. (5) s(t) = - g t v t (6) Für die Gipfelhöhe gilt t = t s(t ) = h v(t ) = Elimination der nicht gegebenen Zeit t : gh us Gl (5) folgt t = v /g. t in Gl (6) eingesetzt und nach v aufgelöst führt auf v = (7) Die gesuchte nfangsgeschwindigkeit v erhält man durch Einsetzen des für v erhaltenen usdruckes in Gl () und uflösung nach v V = g h h = 9,8 m/s 6m m = 9,9 m/s Einfacher ist die Lösung der ufgabe unter enutzung des Energiesatzes: Da durch die ideale Reflexion am oden keine mechanische Energie verloren geht, ist die Energie des alles bei Erreichen der bwurfhöhe h nach der Reflexion die gleiche wie beim bwurf nach unten, nämlich E ges = E kin = m v /. Die Geschwindigkeit ist nun nach oben gerichtet. Im Gipfelpunkt ist die Energie E ges = E pot = m g (h -h ). Da die Gesamtenergie erhalten bleibt, ist m v / = m g (h -h ) und v = g h h = 9,8 m/s 6m m = 9,9 m/s 5 a(t) [m/s²] ,,,6,8,

6 5 v(t) [m/s] ,,,6,8, h(t) [m] 3,,,6,8, 6. Ein Körper wird mit v senkrecht nach oben geschossen, ein zweiter zur gleichen Zeit vom gleichen Ort mit v senkrecht nach unten. a Wie groß ist der gegenseitige bstand als Funktion der Zeit? b uf welcher (räumlichen) Fläche befinden sich Masseteile, die durch Explosion eines Körpers mit gleicher Startgeschwindigkeit in alle Richtungen fliegen (Feuerwerkskörper) Lösung a) allg. Formeln z t = g t v t z v (t) = gt+v z = z = g t v t z = g t v t Dz=z z =v t b) etrachtet sei zunächst der Spezialfall, daß Körper waagerecht mit gleicher Geschwindigkeit aber in Gegenrichtung abgeschossen werden. Start bei x = z = x (t) = v t x (t) = - v t x = x - x = v t z t = g t z t = g t z = z - z = Die x- und z-komponenten schräg abgeschossener Masseteile folgen den gleichen Formeln wie unter a) und b) ausgeführt, d.h. alle Masseteile befinden sich zu jedem Zeitpunkt auf einer Kugelfläche, deren Radius sich nach der Formel R(t) = v t vergrößert und mit z t = g t nach unten fällt.

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