Lösungen zum Übungsblatt 1

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1 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Variationsrechnung ME), Prof Dr J Gwinner Übung: K Dvorsky 3 pril Lösungen zum Übungsblatt Das rachistochronenproblem Formulierung In einer senkrechten Ebene betrachten wir zwei Punkte und Zwischen diesen Punkten gleite ein Massepunkt der Masse m reibungsfrei ausschließlich unter dem Einfluß der Gravitationskraft Die nfangsgeschwindigkeit in sei Desweiteren nehmen wir eine konstante Fallbeschleunigung g an Nach der Fallhöhe h beträgt die Geschwindigkeit des Massepunktes also v g h uf welcher ahn zwischen x, u ) und x, u ) hat der Massepunkt die kürzeste Laufzeit? u u h m v u x x x Wir normieren x, x und nehmen an, dass die gesuchte Kurve eine differenzierbare Funktion u C, )) ist Fermatsches Prinzip; Snelliusches rechungsgesetz us der Optik ist das Fermatsche Prinzip bekannt Damit verläuft Licht zwischen zwei Punkten und so, dass die Laufzeit zwischen diesen Punkten minimal ist Eine Folge hiervon ist das Snelliussche rechungsgesetz Es beschreibt das Verhältnis von Einfalls- und usfallswinkel an der Phasengrenze zwischen Medien unterschiedlicher optischer Dichte c c Lichtgeschwindigkeit in Medium Lichtgeschwindigkeit in Medium α Einfallswinkel usfallswinkel α Das rechungsgesetz lautet: sin α sin α c ufgaben a) Leiten Sie das Snelliussche rechungsgesetz aus dem Fermatschen Prinzip her

2 b) Zeigen Sie die stärkere ussage: Die Laufzeit zwischen und ist minimal Es gilt Lösungen a) Fermatsches Prinzip Snelliussches rechungsgesetz sin α sin α c y c Phasengrenze x y x bezeichne die Koordinate vom uftreffen des Lichstrahls an der Phasengrenze Diese wird variiert und wir erhalten die Laufzeit zwischen und y tx) + x y + + x) c Eine notwendige edingung für die Minimierung von t lautet t x min ) ; lso x min c y + x min ezüglich der Winkel α und α erhalten wir x min y + x min ) emerkung Die minimale Laufzeit beträgt damit t min sin α c sin α sin α sin α c y c cos α + y cos α b) Wir prüfen eine hinreichende edingung für die Existenz eines Minimums Es gilt t x) l x l c l x) l + l l wobei wir die abkürzende Notation l y + x, l y + x) verwenden Mit x < l und x < l folgt direkt t x) > für alle x, ) und damit die ehauptung Lösungen des rachistochronenproblems a) Optisch-mechanisches nalogon Johann ernoulli) Verwenden Sie das Fermatsche Prinzip und, um die Differentialgleichung zu bestimmen, deren Lösung die rachistochrone ist Hinweis Nehmen Sie an, ein Lichtstrahl bewege sich in einem optisch dünner werdenden Medium Dh die Lichtgeschwindigkeit nimmt mit der Höhe h stetig zu und beträgt ch) g h b) Minimierung des Zeitfunktionals Jakob ernoulli) Wir betrachten eine weitere Lösungsvariante, da sie instruktiv für die Entstehung der Variationsrechnung ist i) Stellen Sie ein Funktional t : C, )) R tu) F u, u, x) )

3 auf, welches die Laufzeit t zwischen und in bhängigkeit der ahn u ux) angibt ii) Stellen Sie eine notwendige edingung für die Minimierung von ) auf Zeigen Sie, dass die so erhaltene Gleichung äquivalent zur Differentialgleichung in a) ist iii) Lösen Sie die Differentialgleichung mit Hilfe einer geeigneten Parameterdarstellung Lösungen a) Die Koordinaten des Punktes seien normiert durch, ) und, u ) Der Lichtstrahl bewegt sich durch N dünne Schichten der Stärke δ u b N eines optisch dünner werdenden Mediums Mit h n n u N und g h n sei die Fallhöhe und Geschwindigkeit des zugehörigen Massepunktes gegeben u / N n h n n u n Die approximierte Kurve der kürzesten Laufzeit erfüllt nach dem Fermatschen Prinzip das rechungsgesetz mit sin αn sin αn+ + Dieses rgument könne wir für alle n {,, N} induktiv fortsetzen und erhalten Mit N folgt für u C, )) sin α n sin α n+ + sin α n+ + const sin α v sin α g u const Wir benötigen noch den nstieg der gesuchten Kurve in bhängigkeit des Winkels α Es gilt u tanπ/ α) cot α ußerdem haben wir sin α sin α sin α+cos α sin α + cot α und erhalten damit die Differentialgleichung u + u ) ) : γ const ) u), u) u 3

4 b)i) Die infinitesimale Zeit im Punkt x, ) ist formal durch dt ds vx) + du + u x)) g ux) g ux) gegeben Eine Integration über x, ) liefert schließlich das gesuchte Zeitfunktional + u x)) tu) g ux) ii) Definiere K : { } v C, )) : u), u) u Wir suchen nun ein u K mit tu) inf tv) Dies ist dann erfüllt, wenn v K tu) tu + ɛ v) für bel fixierte v C, )) und bel kleine ɛ > gilt Eine notwendige edingung für die Minimierung von t ist dann durch d tu+ɛ v) d ɛ ɛ gegeben Für die uswertung dieser edingung betrachten wir die allgemeine Form ) des Funktionals t ufstellen der Euler-Gleichung Die Taylorentwicklung der bbildung F F u + ɛ v, u + ɛ v, x) bezüglich ɛ um ɛ liefert tu + ɛ v) Die notwendige edingung F u, u, x) + ɛ v F u, u, x) + ɛ v F ) u, u, x) + Oɛ ) d tu+ɛ v) d ɛ ɛ impliziert dann v F u, u, x) + v F ) u, u, x) für alle v C, )) Eine partielle Integration des ersten Summanden ergibt mit v) v) F u, u, x) d Dies liefert schließlich die Euler-Gleichung F u )), u, x) v für alle v C, )) F u, u, x) d F u ), u, x) 3) emerkung Die letzte Implikation folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung u C[a, b]) erfülle b a u v für alle v C a, b)) Dann gilt ux) für alle x [a, b] Wir identifizieren F u +u, u, x) x)) ; dh wir haben den Spezialfall F F u, u) Für g ux) diesen Fall können wir die Eulergleichung in 3) in eine Gleichung Ordnung transformieren etrachte d F u, u) u F ) ) u, u) u F, u u F u, u) + u d F u )), u) u F u, u) + u F u, u) u F u, u) u d F u ), u) F u u, u, x) d F u )), u, x) Euler- gleichung 4

5 Damit erhalten wir aus der Eulergleichung eine Gleichung Ordnung F u, u) u F u, u) const 4) Einsetzen von F u, u) +u x)) g ux) liefert +u ) g u u ) const g u +u ) + u ) u ) const g u + u ) u + u ) ) const die Differentialgleichung ) aus dem optisch mechanischen nsatz iii) Eine Trennung der Variablen in ) ergibt u γ + u du Wir wählen nun die Substitution u γ cos s, du γ sin s cos s ds und erhalten cos s cos s γ sin s cos s ds γ cos s ds Eine Integration über [, x] auf der linken und über [π/, s] auf der rechten Seite folgt wegen u s π/) liefert xs) γ s π/ cos s d s γ sin s) π ) + s Wir erhalten schließlich die Parameterdarstellung der rachistochrone ) ) sin s) π xs) γ π + s ; s arccos u, u < γ us) γ cos s γ welche somit eine Zykloide ist cos s)) emerkungen i) Der Radius r γ / der Zykloide läßt sich nach Einsetzen der Randbedingung u) u < in 5) bestimmen Die entsprechende nichtlineare Gleichung ist im spezifischen Fall z durch Newton-Iteration zu lösen ii) Die Form der rachistochrone hängt im Gegensatz zur Laufzeit nicht vom Wert der Fallbeschleunigung g ab 5