1 Lagrange sche Gleichung 1. Art

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1 1 Lagrange sche Gleichung 1. Art 1.1 Einführung und Beispiel Bewege sich ein Massepunkt auf einer Geraden (G) im Raum, so hat dieser einen Freiheitsgrad, d.h. es müssen 2 Zwangsbedingungen für ihn gelten. In Abb. 1 sind diese durch die Abstände l 1 und l 2 zu zwei weiteren, zu G parallelen Geraden gegeben. Der Punkt kann nun eine infinitesimal kleine Bewegung vornehmen, welche mit den Zwangsbedingungen verträglich sein muss. Vergeht dabei, im Gegensatz zur Realität, keine Zeit, so spricht man von einer virtuellen Verrückung δr. In unserem Fall muss diese Bewegung selbstverständlich auf G erfolgen. Im Allgemeinen muss auf den Massepunkt eine Zwangskraft Z wirken, damit er auf der, von den Abb. 1: Massepunkt auf Zwangsbedingungen vorgeschriebenen Bahn verharren einer Geraden kann. Zusammen mit weiteren, bekannten Kräften lässt sich nach dem 2. Newtonschen Axiom die Bewegung des Körpers beschreiben: m r i F i + Z 1.2 D Alembert sches Prinzip Zwangskräfte verrichten keine virtuelle Arbeit: Z δr Überlegungen zu g In Abb. 1 ist erkennbar, dass der Gradient der Zwangsbedingung g in jedem Fall innerhalb der Ebene, zu welcher δr senkrecht steht, liegt. Das ist auch zu erwarten, denn würde sich der Punkt senkrecht von G entfernen, so weicht die Zwangsbedingung sicherlich stärker ab, als wenn er die Gerade unter kleinem Winkel verlässt. Rechnerisch zeigt man das so: g(x 1,..., x n, t) 0 dg g dx g dx n + g x 1 t dt 0 gd r + g t dt 0

2 Für dr wird nun die virtuelle Verrückung eingesetzt, was bedeutet, dass keine Zeit dt vergeht. So ergibt sich: dg gδ r 0 Folglich steht der Gradient der Zwangsbedingung senkrecht auf δr 1.4 Bestimmung von Z und Aufstellen der Lagrange-Gleichung 1. Art Nach D Alembert liegt die gesuchte Zwangskraft Z senkrecht zu δr. Da dies ebenfalls für die Gradienten der Zwangsbedingungen gilt, liegen Zwangskraft und Gradienten in einer Ebene. Sie sind somit linear kombinierbar: Z λ α (t) g α α1 Für die newton schebewegungsgleichung folgt: m x n (i) + λ α (t) n g α i α1 F n + λ α (t) g α α1

3 2 Lagrange sche Gleichung 2. Art Wir setzen mit dem Ergebnis der vorangegangenen Rechnung fort: 2.1 Zwangskraft eliminieren m n ẍ n + α1 λ α (t) g α Es werden nun generalisierte Koordinaten q 1,..., q f eingeführt, welche die Zwangsbedingungen automatisch erfüllen. Dies bedeutet, dass die Zwangsbedingungen bei deren Änderung konstant bleiben und somit dg α! dq k 0 α, k. Die Original-Koordinaten x 1,..., x 3N sind nun Funktionen von diesen Koordinaten und der Zeit. Multiplikation mit und Summierung über n: m n ẍ n + g α dg α dq k! 0 m n ẍ n λ α (t) α1 g α (1) 2.2 Überlegungen zur Geschwindigkeit ẋ n ẋ n d dt x n(q 1,..., q f, t) f k1 q k + t ẋ n (q 1,..., q f, q 1,..., q f, t) (2) q k 2.3 Kinetische Energie T (3) T T (ẋ) m 2 ẋ2 n [ẋ2 2 ẋ n (3) m n ẋ n analog T m n ẋ n (4)

4 dt (2) (1) [ d m n ẍ n + m n ẋ n dt [ d m n ẍ n + m n ẋ n dt Beweis zur Vermutung d dt dx n dt + m n ẋ d (5) dt q k d dt f q l + q l t [ f q l + q l t l1 [ dxn dt l1 Dies kann nun in (5) eingesetzt werden dt (4) Für die kinetische Energie verbleibt: + m n ẋ dx n q k dt + T dt m n ẋ + T Hier wird die verallgemeinerte Kraft Q k eingeführt 2.4 Potentielle Energie : Q k (6) U(q 1,..., q f, t) U(x 1 (q 1,..., q f, t),..., x 3N (q 1,..., q f, t), t) U(q 1,..., q f, t) U(x 1,..., x 3N, t) U

5 U(q 1,..., q f, t) F U U (7) (7) : Q k U Das Potential sei nicht von der Geschwindigkeit abhängig, somit folgt: 0 Für die potentielle Energie verbleibt: d U U Q k (8) dt 2.5 Aufstellen der Lagrange-Gleichung 2. Art Wir subtrahieren (8) von (6) und finden die gesuchte Gleichung: d (T U) (T U) 0 dt Nun wird noch die Langrangefunktion L : T U eingeführt, das Endergebnis lautet: d L L 0 dt Marcus Bugner Dresden,