Gliederung. Gliederung (cont.) Probleme der Dynamik von Manipulatoren

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Friederike Dunkle
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- Gliederung Jianwei Zhang zhang@informatik.uni-hamburg.de Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 08.

1 - Gliederung Jianwei Zhang Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 08. Juni 010 Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Jacobi-Matrix eines Manipulators Aufgabenbeschreibung Robotergrammierung auf drei Ebenen Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL J. Zhang 73 J. Zhang 74 Gliederung (cont.) Probleme der von Manipulatoren Beispiel für einen zweigelenkigen Manipulator Lagrange sche Gleichungen Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick - Probleme der von Manipulatoren Probleme der von Manipulatoren Vorwärtsdynamik: Vorgabe: Gelenkkräfte/-momente; Gesuchte: Bewegungsparameter; Anwendung: Simulation eines Robotermodells. Inverse : Vorgabe: gewünschte Roboterbewegung; Gesuchte: erforderliche Gelenkkräfte/-momente; Anwendung: Modell-basierte Regelung eines Roboters. τ(t) Direkte gleichung q(t), ( q(t), q(t)) q(t) Inverse gleichung τ(t) NICHT parallel wie das Problem der Kinematik, ist die invserse einfacher zu lösen als die direkte. J. Zhang 75 J. Zhang 76

2 - Probleme der von Manipulatoren Probleme der von Manipulatoren Beispiel für einen zweigelenkigen Manipulator Zwei Berechnungsverfahren: Analytische Methoden: aufgebaut auf Lagrange schen Gleichungen Synthetische Methoden: Anwendung der Newton-Euler schen Gleichungen Ein Problem mit der Rechnezeit: Komplexität zur Auswertung des Lagrange-Euler-Modells (siehe die kommenden Seiten): O(n 4 ) n die Anzahl der Gelenke ist. n = 6: 66,71 Multiplikationen und 51,548 Additionen. J. Zhang 77 J. Zhang 78 Newton-Euler sche Gleichungen für das Beispiel - I nach dem Newton s zweiten Gesetz sind die Kräfte an dem Schwerpunkt des Glieder 1 und jeweils: F 1 = m 1 r 1 Newton-Euler sche Gleichungen für das Beispiel - I Euler sche Gleichungen: τ 1 = I 1 ω 1 + ω 1 I 1 ω 1 τ = I ω + ω I ω F = m r r 1 = 1/l 1 (cos θ 1 i + sin θ 1 j) r = r 1 + 1/l [cos(θ 1 + θ ) i + sin(θ 1 + θ ) j] I 1 = m 1 l 1 /1 + m 1 R /4 I = m l /1 + m R /4 J. Zhang 79 J. Zhang 80

3 Newton-Euler sche Gleichungen für das Beispiel - II Die Winkelgeschwindigkeiten und -Beschleunigungen sind: ω 1 = θ 1 ω = θ 1 + θ ω 1 = θ 1 ω = θ 1 + θ Da ω i I i ω i = 0, gilt es dann für die Kraftmomente an dem Schwerpunkt des Glieder 1 und : τ 1 = I 1 θ1 τ = I ( θ 1 + θ ) F 1, F, τ 1, τ werden für die Kraft- und Kraftmoment-Balance verwendet. Dadurch werden die Kraftmomente direkt an Gelenk 1 und gelöst. J. Zhang 81 Lagrange sche Gleichungen Die lagrange sche Funktion L wird definiert als die Differenz zwischen der kinetischen Energie K und der potentiellen Energie P des Systems: L = K P Satz: Die Bewegungsgleichungen für ein mechanisches System mit allgemeinen Koordinaten q Θ n und der lagrange schen Funktion L sind gegeben über: d L L = F i, i = 1,..., n dt q i q i q i : die Koordinaten, mit den die kinetische und potentielle Energie dargestellt werden; q i : die entsprechende Geschwindigkeit; F i : die entsprechende Kraft oder das entsprechende Kraftmoment, abhängig davon, ob q i ein linearer oder Winkel-Geschwindigkeit ist. J. Zhang 8 Besipiel für einen zweigelenkigen Manipulator Langrage sche Verfahren für das Beispiel - I Die kinetische Energie des Masses m 1 ist: Die potentielle Energie ist: Die kartesischen Positionen sind: K 1 = 1 m 1d 1 θ 1 P 1 = m 1 gd 1 cos(θ 1 ) x = d 1 sin(θ 1 ) + d sin(θ 1 + θ ) y = d 1 cos(θ 1 ) d cos(θ 1 + θ ) J. Zhang 83 J. Zhang 84

4 Langrage sche Verfahren für das Beispiel - II Die kartesischen Komponenten der Geschwindigkeiten sind: ẋ = d 1 cos(θ 1 ) θ 1 + d cos(θ 1 + θ )( θ 1 + θ ) ẏ = d 1 sin(θ 1 ) θ 1 + d sin(θ 1 + θ )( θ 1 + θ ) Die Langrange sche Funktion ist: L = (K 1 + K ) (P 1 + P ) Das Quadrat der Geschwindigkeitsgröße ist: Das Kraftmoment auf Gelenk 1 bzw. ist jeweils: v = x + y Die kinetische Energie des. Gelenks ist: τ 1 = d dt L θ L 1 θ 1 K = 1 m v Die potentielle Energie des. Gelenks ist: τ = d dt L L θ θ P = m gd 1 cos(θ 1 ) m gd cos(θ 1 + θ ) J. Zhang 85 J. Zhang 86 τ 1 und τ werden schließlich dargestellt als: τ 1 =D 11 θ 1 + D 1 θ + D 111 θ 1 + D 1 θ + D 11 θ 1 θ + D 11 θ θ 1 + D 1 τ =D 1 θ 1 + D θ + D 11 θ 1 + D θ D ii : die effektive Trägkeit (inertia) auf Gelenk i; D ij : die Kopplung-Trägkeit zwischen Gelenk i und j; D ijj : die Koeffizienten der zentripetalen Kraft auf Gelenk i wegen der Geschwindigkeit des Gelenk j; D iik (D iki ): die Koeffizienten der Coriolis-Kraft auf Gelenk i wegen der Geschwindigkeiten des Gelenk i und k; D i : die Schwerkraft auf Gelenk i. + D 1 θ1 θ + D 1 θ θ1 + D J. Zhang 87 J. Zhang 88

5 - Allgemeine dynamische Gleichungen Allgemeine dynamische Gleichungen eines allgemeinen Manipulators - I τ = M(Θ) Θ + V (Θ, Θ) + G(Θ) M(Θ): die lageabhägige n n-massenmatrix eines Manipulators [ ] D11 D M(Θ) = 1 D 1 D V (Θ, Θ): ein n 1-Vektor der Zentripetal- und Coriolis-Terme [ D111 θ V (Θ, Θ) = 1 + D 1 θ + D 11 θ ] 1 θ + D 11 θ θ 1 D 11 θ 1 + D θ + D 1 θ 1 θ + D 1 θ θ 1 - Allgemeine dynamische Gleichungen Allgemeine dynamische Gleichungen eines allgemeinen Manipulators - I Ein Term wie D 111 θ 1 wird von einer zentrifugalen Kraft verursacht; Ein Term wie D 11 θ1 θ wird von einer Coriolis-Kraft verursacht und beinhaltet immer das Produkt der beiden Geschwindigkeiten. G(Θ): der Schwerkraft-Term, hängt immer von Θ ab. [ ] D1 G(Θ) = D J. Zhang 89 J. Zhang 90

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