2 Lagrange sche Bewegungsgleichungen

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1 2 Lagrange sche Bewegungsgleichungen Ausgearbeitet von Christine Cronjäger, Klaus Grambach und Ulrike Wacker 2.1 Zwangsbedingungen: Zwangsbedingungen schränken die 3 Freiheitsgrade des Teilchens ein. Unterwirft man ein System mit N-Teilchen Zwangsbedingungen, so zeigt man dadurch, dass Kräfte im Problem vorhanden sind, die nicht direkt angegeben werden können, aber deren Wirkungen bekannt sind. Zwangsbedingungen, die man in Gleichungen der Form G( r 1, r 2,..., r n, t = 0 darstellen kann, heissen holonome (= analytisch darstellbare und geschwindigkeitsunabhängige Zwangsbedingungen. Nichtholonome Zwangsbedingungen sind Beziehungen zwischen zwischen Differentialen und Ungleichungen. Zeitunabhängig z.b.: skleronom Zeitabhängig z.b.: rheonom Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension l x x x 1 2 Abbildung 23: l-gleichgewichtsabstand zweier durch eine Feder verbundener Massenpunkte Potential U(x 1, x 2 = (1/2a(x 1 x 2 l 2 x 1 x 2 l Auslenkung aus Gleichgewichtslage a = Kraftkonstante Kraft, die von Teilchen 2 auf Teilchen 1 wirkt Kraft F 12 = x 1 U(x 1, x 2 = a(x 1 x 2 l = F 21 Relativkoordinate: x = x 1 x 2 Schwerpunktskoordinate: X = m 1x 1 +m 2 x 2 m 1 +m 2 Auf den Schwerpunkt wirkt keine Kraft, d.h. die Schwerpunktsgeschwindigkeit V = const. Also gilt: 35

2 µẍ = F 12 µ = m 1m 2 m 1 +m 2 = reduzierte Masse; F 12 = a(x l Substitution u = x l µü + au = 0 Bewegungsgleichung des harmon. Oszillators Lösung: x = l + 2E/a sin a/µ(t t 0 mit E = konst. Mit wachsendem a wird die Feder härter und die Auslenkungen aus der Ruhelage werden kleiner a : Amplitude 0, Feder geht in eine Hantel über. x = x 1 x 2 = l Zwangsbedingung Ein Freiheitsgrad wurde eingefroren, die beiden Teilchen haben zusammen nur noch einen Freiheitsgrad. l x x 1 2 x Abbildung 24: Beispiel der Hantel Im R 3 : r 1 r 2 = l oder ( r 1 r 2 ( r 1 r 2 = l 2 Zwangsbedingung darstellbar als: G( r 1, r 2 = r 1 r 2 l = 0 oder ( r 1 r 2 2 l 2 = 0 Allgemein: p Zwangsbedingungen G m ( r 1,..., r N = 0 (m = 1,..., p (32 holonome Zwangsbedingungen Ohne Zwangsbedinungen hat ein System von N-Teilchen im R 3 3 N Freiheitsgrade. Durch p voneinander abhängigen Zwangsbedingungen werden p Freiheitsgrade eingefroren; das System hat noch s = 3N p Freiheitsgrade. Auf das Teilchen i wirken folgende Kräfte: Zwangskräfte F i (unbekannt, ihre Wirkungen werden durch die Zwangsbedingungen beschrieben andere Kräfte F i (Wechselwirkungen und äussere Felder 36

3 Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung als 3 N Gleichungen unbekannt sind die r i und F i m i ri = F i + F i (33 6 N unbekannte Funktionen mit 3 N Bewegungsgleichung und p Bedingungsgleichungen. 3 N-p Unbekannte können also noch nicht bestimmt werden. Diese erhalten wir durch D Alembertsches Prinzip. 2.2 Das D Alembertsche Prinzip Unter einer virtuellen Verschiebung versteht man eine gedachte sehr kleine Verschiebung δ r i. Während die wirklichen Verschiebungen immer in einer bestimmten Zeit dt erfolgen, wird die virtuelle Verschiebung als zeitlos angesehen, δt = 0. Die virtuellen Verschiebungen müssen die Zwangsbedingungen G m ( r 1,..., r N = 0 erfüllen: Taylorentwicklung Also: 0 = G m ( r 1 + δ r 1,..., r N + δ r N = G m ( r 1,..., r N + δ r }{{} i i G m ( r 1,..., r N =0 o = δ r i i G m ( r 1,..., r N (34 Bedingung an virtuelle Verschiebung δ r i In einem mechanischen System gilt das d Alembertsche Prinzip: Die Summe aller Zwangskräfte lei F i δ r i = 0 (35 37

4 mechanisches System Am Beispiel der Hantel mit masselosem Stab zeigen wir die Gültigkeit des D Alembert schen Prinzips: δr 1 1 r 1 r 12 2 δr 2 0 r 2 Abbildung 25: Zwangsbedingung: r 2 12 = ( r 1 r 2 ( r 1 r 2 = l 2 Betrachte die virtuelle Verrückung r 1 r 1 + δ r 1 Mit (34 erhält man aus ( r 1 + δ r 1 r 2 δ r 2 2 l 2 = 0: [ 0 = δ r 1 1 ( r1 r 2 2 l 2] [ + δ r 2 2 ( r1 r 2 2 l 2] ( r 1 r 2 (δ r 1 δ r 2 = 0 ( r 1 r 2 (δ r 1 δ r 2 (36 Betrachte die virtuelle Arbeit der Zwangskraft: δa = F 1 δ r 1 + F 2 δ r 2 Die Zwangskraft F 1 wirkt in Richtung der Verbindungslinie der beiden Massen: ( r 1 r 2 nach actio = reactio: F 2 = F 1 = k ( r 1 r 2. Dann gilt: δa = k ( r 1 r 2 δ r 1 + k ( r 1 r 2 δr 2 = k ( r 1 r 2 (δ r 1 δ r 2 = 0 wegen (36 Die Gleichungen (34 und (35 liefern uns die fehlenden 3N p Gleichungen folgendermassen: 38

5 1. Wir haben 3N Verrückungen δ r i. Wegen der p Zwangsbedingungsgleichungen können nur 3N p von den δ r i unabhängig sein. 2. Wir addieren die Gleichungen (34 und (35, nachdem wir (34 mit beliebigen Konstanten (Lagrange Multiplikatoren λ m multipliziert und über m = 1... p summiert haben. ( F i + P λ m i G m δ r i = 0 (37 m=1 3. 3N p der δ r i -Komponenten sind unabhängig voneinander und frei wählbar, die restlichen p-komponenten sind wegen der Zwangsbedingungen dann festgelegt. Für 3N p Komponenten sind die δ r i, beliebig wählbar, so dass die Gleichung nur erfüllt wird, wenn die Summanden einzeln verschwinden: F i + P λ m i G m = 0 (38 m=1 für 3N-p Freiheitsgrade 4. Die restlichen p-komponenten müssen nun noch bestimmt werden. Gleichung (37 kann man aufspalten in eine Summe, die alle 3N p unabhängig δ r i Komponenten enthält und eine Summe, die die p abhängigen δ r i -Komponenten enthält. Die 3N p Summenglieder können einzeln Null gesetzt werden (vergl. 3, die restliche Summe ist ebenfalls Null, nicht aber zwangsläufig ihre einzelnen Glieder. Wir bestimmen nun die Faktoren λ 1,..., λ m, so dass diese Summenglieder einzeln verschwinden. P F i + i G m λ m = 0 (39 m=1 3N Gleichungen P F i = λ m i G m ( r 1,..., r N (40 m=1 39

6 Wir können durch diese Gleichung die 3N unbekannten Komponenten der F i durch p unbekannte λ m ausdrücken. λ heisst Lagrange-Parameter. Unbekannte: r i F i λ m 3N 3N p insgesamt 6N + p Unbekannte Gleichungen: 3N Newtonsche Bewegungsgleichungen (33: m r i = F i + F i (i = 1,..., N 3N Zwangskräftegleichungen (Gl. 40: F i = P m=1 λ m i G m ( r 1,..., r N p Zwangsbedingungsgleichungen (32: G m ( r 1,..., r N = 0 (m = 1,..., p insgesamt: 6N + p Gleichungen. Aus (32, (33, (40 erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen 1. Art: m i ri = K i P λ m i G m ( r 1,..., r N (i = 1,..., N m=1 G m ( r 1,..., r N = 0 (m = 1,..., p (41 Bei der Herleitung der Lagrange-Gleichungen 1. Art haben wir das d Alembert sche Prinzip in differentieller Darstellung benutzt. Hamilton sches Prinzip: Das Hamilton sche Prinzip ist äquivalent zu dem d Alembertschen Prinzip und lässt sich daher aus diesem herleiten: Vor: (2 m i ri = F i + F i (Newtonsche Bewegungsgleichung (4 i F i δ r i = δa = 0 (d Alembertsches Prinzip Wir betrachten anstelle der jeweils 3-dimensionalen Bewegungen der N-Teilchen ihre Bewegung im 3-N-dimensionalen Raum R 3N [ xi (t, y i (t, z i (t ] 40

7 t 2 δ r i Referenzkurve t 1 Abbildung 26: Wir wählen die Variationen der Kurve so, dass δ r i (t 1 = δ r i (t 2 = 0. Die Zeit wird nicht mit variiert (δt = 0, das heißt jeder Zeitpunkt der Variationskurven entspricht nur einem Zeitpunkt der Referenzkurve. Aus (33 und (35 folgt δ r = d δr (42 dt (m i ri F i δ r i = 0 = δa t2 t 1 δadt = Partielle Integration ergibt: t2 t 1 { N (m i ri F i δ r i }dt = 0 (43 mit δ r i = δ r i (t Gl. (43 = (m i ri δr i t 2 t2 t1 t 1 r i m i δ r i dt t2 t 1 F i (tδ r i dt (44 Der erste Term ist Null, weil die Endpunkte nicht variiert werden. 2. Term: m i ri δ r ( N i = δ 2 1/2m i r i (t = δt 41

8 3. Term: Da wir nur konservative Kräfte betrachten, kann ich das Potential δu schreiben als δu( r i,..., r N = i U( r 1,..., r N δ r i = F i ( r i,... r N δ r 1 Dieses ist gerade der Ausdruck unter dem 2. Integral. Damit kann man Gl. (44 schreiben als: t2 t 1 (δt δudt = δ t2 t 1 t2 (T Udt = δ Ldt = 0 (45 t 1 Hamiltonsches Prinzip L = T U = L( r i, r i (46 Lagrange Funktion Das Hamiltonsche Prinzip ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Wenn die Variation einer Grösse 0 ist, ist die Grösse selbst ein Extremum t2 2.3 Lagrange Gleichung (2. Art t 1 Ldt = Extremum (47 N Teilchen besitzen bei p Zwangsbedingungen 3N p = s Freiheitsgrade. Mann kann sie durch s unabhängige Variable beschreiben. mit den Umkehrfunktionen q k ( r 1,..., r N (k = 1,..., s r i = r i (q 1,..., q s (i = 1,..., N 42

9 Beispiel: Die Kugeloberfläche kann man in xyz-koordinaten mit der Nebenbedingung R 2 = x 2 + y 2 + z 2 = const. beschreiben oder aber durch die Polarwinkel φ, ϑ ohne Nebenbedingungen angeben mit: x = R sin ϑ cos φ y = R sin ϑ sin φ z = R cos ϑ Einführung neuer kartesischer Variabler: alt = neu x 1 = x 1 y 1 = x 2 z 1 = x 3.. y N = x 3N 1 z N = x 3N und die alte Masse m i (alt ist gleich den neuen Massen m 3(i 1+ν (neu (ν = 1, 2, 3. D.h. wir numerieren der Einfachheit halber Teilchen und Koordinaten durch von 1 bis 3N. Dann können wir x i schreiben als Mit der Kettenregel erhält man x j = x j (q 1,..., q s (j = 1,..., 3N (48 ẋ j = x j q k q k t = x j q k q k (j = 1,..., 3N (49 Totale kinetische Energie: T = 2 (1/2m i r i = 3 j=1 (1/2m j ẋ 2 j ( alte Koord. 43

10 ( m j j=1 x j x j q k q l q k q }{{ l } Aufspaltung des quadrat. Terms T = T (q k, q k = 1 a kl q k q l 2 k,l=1 mit: a kl = Für die Lagrangefunktion gilt dann auch: 3 j=1 k,l=1 m j x j q k x j q l = a lk (50 L = T (q k, q k U(q k = L(q k, q k (51 q k und q k sind die generalisierten Orte und Geschwindigkeiten. Wir betrachten nun wieder das Hamilton sche Prinzip: t2 t2 ( 0 = δ L(q k, q k dt = δq k + t 1 t 1 q k (part. Integration δ q k dt q k = t2 t 1 ( d q k dt δq k dt = 0 (52 q k δq x Referenzbahn Abbildung 27: δq k (t 1 = δq k (t 2 = 0 Für die s Freiheitsgrade bestehen keine Zwangsbedingungen; die δq k sind also beliebig wählbar. 44

11 Wähle z.b. δq k = 0 für alle k k 0 Wähle z.b. δq k, = δq k0 δ k,k0 für alle k Dann muss der Integrand gliedweise verschwinden, da man auch δq k0 (t identisch Null wählen kann, abgesehen etwa von einem infinitesimalen Intervall < t, t + δt >. d = 0 k = 1,..., s (53 dt q k q k Lagrangegleichung 2. Art (Euler-Lagrange-Gleichung Def. des generalisierten oder kanonischen Impulses: Aus (53 folgt: p k def q k (54 d dt p k = q k (55 Die alte Definition des Impulses ist in der Definition des generalisierten Impulses erhalten. Beispiele: 1. N-Teilchen ohne Zwangsbedingungen L = T U = j=1 Lagrangesche Bewegungsgleichung: m j ẋ 2 j U(x 1..., x 3N ẋ j = m j ẋ j = p j 0 = d = ṗ j + U(x 1,..., x 3N dt ẋ j x j x j = m j ẍ j + U = 0 x j m k rk = k U( r 1,..., r N Newtonsche Bewegungsgleichung in alten Koordinaten. 45

12 2. Ein Teilchen im zentralen, konservativen Potential U(r: Polarkoordinaten: x = r sin ϑ cos φ y = r sin ϑ sin φ z = r cos φ z φ θ r y x Abbildung 28: r, ϑ, φ entsprechen den q k, den generalisierten Koordinaten. L = T U = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 U(r = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ φ 2 U(r generalisierte Impulse: p r = ṙ = mṙ Radialimpuls p ϑ = ϑ = mr2 ϑ Drehimpuls in ϑ-richtung um den Ursprung. Drehimpuls um z-achse p φ = φ = mr2 sin 2 ϑ φ = m(r sin ϑ 2 φ 46

13 z φ r sinθ θ r y x z Abbildung 29: y α φ R h z α x Abbildung 30: 3. Bewegung eines Zylinders auf einer schiefen Ebene Zylinder besitzt Masse M, Trägheitsmoment Θ und Radius R y = R φ Rollbedingung (A φ = ẏ R sin α = h z z = h y sin α (B y Totale kinetische Energie = kinetische Energie der Translation + kinetische Energie der Rotation T = 1 2 Mẏ Θ φ 2 = 1 2 (M + Θ R 2 ẏ2 47

14 Totale potentielle Energie: U = M g z = M g(h y sin α. Die drei Freiheitsgrade sind durch die Zwangsbedingungen (A und (B auf einen Freiheitsgrad, der durch y beschrieben wird, reduziert. Lagrangefunktion: L = T U = 1 2 (M + Θ R 2 ẏ2 M g(h y sin α Lagrangesche Bewegungsgleichung: d = 0 dt q k q k = q k ẏ = (M + Θ R ẏ 2 d dt ẏ = (M + Θ R ÿ 2 = q k y = M g sin α (M + Θ ÿ = M g sin α R2 Dies ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung für y = y(t. M + Θ R 2 bezeichnet man als effektive oder generalisierte Masse. Mg sin α Lösung: y(t = 1 t 2 + c 2 M+Θ/R 2 1 t + c 2 Anfangsbedingungen: 2.4 Zyklische Koordinaten y(t = 0 = 0 und ẏ(t = 0 = 0 g sin α y(t = 1/2 1 + Θ/MR 2 t2 Gegeben Kugelsymmetrisches Potential U = U(r. Die Lagrangefunktion in Kugelkoordinaten lautet: 48

15 L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ φ 2 U(r Die generalisierte Koordinate φ tritt nicht auf, sondern nur φ. Eine solche Variable nennt man zyklisch. φ entspricht q s. Dann gilt für L: L = L(q 1,..., q s 1, q 1,..., q s, t Wir stellen die Lagrange-Gleichung für das s-te Glied auf: d = = 0, da L nicht von q s abhängt. (56 dt q s q s Nach Gleichung (55 ist q s = p s der generalisierte Impuls. Der generalisierte Impuls ist eine Erhaltungsgrösse. d = d dt q s dt p s = 0 p s = const. (57 Zusammenfassung: Ist die Lagrangefunktion nicht abhängig von einer Koordinate q s, wohl aber von ihrer zeitlichen Ableitung q s, ist diese Koordinate eine zyklische Variable und der zugehörige generalisierte Impuls p s eine Erhaltungsgrösse. 2.5 Erhaltungssätze Wir haben gezeigt, dass, wenn eine zyklische Koordinate auftritt, der generalisierte Impuls erhalten bleibt. Wir wollen nun das Nöthersche Theorem beweisen: Ist die Lagrangefunktion L invariant unter einer infinitisimalen Transformation q + δq, dann folgt daraus ein Erhaltungssatz. L(q K, q K = L(q K + δq K, q K Erhaltungssatz (58 Beweis: Wir entwickeln L nach Taylor: 49

16 L(q K + δq K, q K = L(q K, q K + K=1 Glieder höherer Ordnung sind vernachlässigbar klein. δq K q K + = K=1 δq K q K = 0 0 = K=1 δq K q K Lagr.II K=1 d ( δq K dt q K = d dt { K=1 } ( δq K = 0 q K (Die Gl. gilt nur, wenn δq K zeitlich konstant ist. Beispiele: δq k q k = const (59 ist Erhaltungsgrösse, wenn δq k zeitlich konstant 1. Behauptung: Aus der Translationsinvarianz folgt die Impulserhaltung. Gegeben sind N wechselwirkende Teilchen, auf die keine äusseren Kräfte wirken. Die zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte sind zentral und konservativ. U = U( r i r j L = T U = 1 2 m r i i 2 U ij ( r i r j i<j 50

17 r i r i + ε Verschiebung jedes Teilchens um ε = const für alle i. d( r i + ε dt = r i + ε = r i ; ε = 0 Die Geschwindigkeiten vor und nach der Translation sind gleich, also ist die kinetische Energie bei Translationen konstant. [ ] U ( r i + ε ( r j + ε = U( r i r j U hängt nicht von ε ab, sondern von den Relativkoordinaten. L = L( r 1,..., r N, r 1,... ṙ N δq k aus Gl. (59: (δq k, δq k+1, δq k+2 = ε für alle k = 1, 4, 7,..., s 2. Dann wird aus Gl. (59: ε k L( r 1,... r N, r 1,..., r N = const (60 mit k = ( ẋ k, ẏ k, ż k Gl. (60 = ε k L (24 ε p k = const (61 ( N p k ε = const = Gesamtimpuls in ε-richtung Wir benutzen hier die nicht sehr übliche Abkürzung: k = { ẋ k ẏ k } ż k. 51

18 Richtung und Betrag von ε sind beliebig wählbar; in jeder Richtung ist der Gesamtimpuls als eine Konstante: p k = const (62 2. Behauptung: Rotationsinvarianz Drehimpulserhaltung z ρ δφ ρ δφ r i n θ φ δφ y x Abbildung 31: Rotation von r i um die z-achse. δ φ z Gl. (59 wird zu: r i r i + (δ φ r i = r i + δφ( n r i = r i + δ q i d { N δφ [ ( n r i i L ] = 0 (63 dt 52

19 δφ [ ( n r i i L ] ist das Spatprodukt. Gl. (63 = δφ d dt = δφ n d dt n( r i i L ( r i p i = 0 [ N ] r i p i z = const. (64 Dies ist der Gesamtdrehimpuls längs der Rotations- (z-achse. Ist die Lagrangefunktion invariant gegenüber der Rotation um eine Achse, dann ist der Gesamtdrehimpuls längs dieser Achse eine Konstante. 3. Behauptung: Zeitliche Invarianz der Lagrangefunktion Energieerhaltung: Voraussetzung: L(t = L(t + δt Taylorentwicklung: L(t + δt = L(t + δt t Glieder höherer Ordnung sind vernachlässigbar klein. t δt = 0 da δt 0 : t = 0 also hängt L nicht von der Zeit ab. Die totale zeitliche Ableitung der Lagrangefunktion lautet: dl(q k, q k dt = ( q k q k + q k q k 53

20 Lagr.II ( d dt ( q k + d q k q k dt q k = d ( q k dt q k (65 0 = dl dt d dt q k q k = d dt ( T U q k = 0 (66 q k Wir nehmen an, dass U keine Funktion von q k ist und T eine homogene Funktion 2. Grades von q k ist. Für L gilt dann: q k q k = T q k q k = 2T (nach Eulerschem Satz Damit wird aus Gleichung (66: d dt (T U 2T = d (T + U = 0 dt oder d dt (T + U = d dt E = 0 54