Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

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1 Blatt Musterlösungen Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Prof. Dr. G. Alber MSc Nenad Balanesković Hamilton-Funktion 1. Betrachten Sie zwei Massenpunktem 1 undm die sich gemäß dem Newtonschen Gravitationspotential U( x 1 x γm 1m (1 x 1 x anziehen. (a Wie lautet die Lagrangefunktion dieses Zweikörperproblems? L m 1 x 1 + m x +γ m 1m x 1 x (b Transformieren Sie die Lagrangefunktion auf Schwerpunkts- und Relativkoordinaten, wobei Sie als Relativkoordinaten Kugelkoordinaten wählen. Welche Koordinaten sind zyklisch? Welche Erhaltungsgrößen folgen daraus? MitM m 1 +m,µ m 1 m /M, der Schwerpunktskoordinate R und der Relativkoordinate r lautet die Lagrangefunktion ( L M R + µ r +γ m 1m. (3 r In Kugelkoordinaten: L M R + µ (ṙ +r θ +r sin θ φ +γ m 1m. (4 r Eine Koordinate q ist zyklisch falls L/ q 0. L/ q ist dann Erhaltungsgröße. In unserem Fall bleibt also der Schwerpunktimpuls und die Größe L/ φ µr sin θ φ erhalten. (c Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in diesen Koordinaten. Die Hamiltonfunktion wird wie folgt gebildet: H( p, q i p i q i ( p, q L( q, q( p, q. (5 Wir haben die kanonischen Impulse p r L ṙ µṙ p θ µr θ pφ µr sin θ φ (6 p X MẊ p Y MẎ p Z MŻ (7 1

2 und es folgt H(r,θ,φ,X,Y,Z, p r,p θ,p φ,p X,p Y,p Z P M + 1 ( p r µ + p θ r + p φ r sin θ γ m 1m. (8 r Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ergeben sich aus q H p q und p q H. q (d Lösen Sie die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für den Relativabstand unter Benutzung der Erhaltungsgrößen für gebundene Bewegung (E rel < 0. Zeigen Sie dazu, dass auchl rel p θ +p φ /sin θ eine Erhaltungsgröße ist. Hinweis: In dem auftretenden Radialintegral ist die Substitution r a(1 ecosξ, wobei a γm 1 m /( E rel p/(1 e undp L rel/(µγm 1 m zweckmäßig. Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für den Relativabstand lautet ṙ p r µ. (9 Wir zeigen nun zuerst, dassp θ +p φ /sin θ eine Erhaltungsgröße ist. Dazu berechnen wir den Relativdrehimpuls (von dem wir wissen, dass er eine Erhaltungsgröße ist in Kugelkoordinaten und erhalten L rel (µ r r µ r 4 ( θ + φ sin θ p θ +p φ /sin θ. (10 Da die Gesamtenergie H E ebenfalls erhalten bleibt, können wir die Bewegungsgleichung nun schreiben als dr dt 1 µ ( E P µ /(M +µγm 1 m /r L rel /r. (11 Daraus ergibt sich (wobei wir wie angegeben die Substitutionr a(1 ecosξ nutzen: t t 0 µ r r min µa γm 1 m µa 3 γm 1 m dr E rel +γm 1 m /r L rel /(µr r r min ξ(r 0 rdr a e (r a (1 ecosξdξ µa 3 γm 1 m (ξ(r esinξ(r.,r min a(1 e,r max a(1+e (1. Die Dynamik eines relativistischen geladenen Massenpunktes der Masse m und Ladung q in einem äußeren elektromagnetischen Feld ist charakterisiert durch die Lagrangefunktion L( x, x,t mc 1 ( x/c +q x A( x,t qφ( x,t (13 mit E( x,t Φ( x,t t A( x,t und B( x,t A( x,t.

3 (a Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion dieses Systems. Wir berechnen zunächst die kanonischen Impulse und erhalten durch Umkehren p L x m x 1 ( x/c +q A (14 x p q A m 1+ ( p q A. (15 mc Die Hamiltonfunktion lautet also H( x, p,t p x( x, p,t L( x, x( x, p,t,t (mc +c ( p q A( x,t +qφ( x,t. (16 (b Wie lautet die Hamiltonfunktion eines freien relativistischen Teilchens in Zylinderkoordinaten? Wir berechnen die kartesischen Phasenraumkoordinaten x (x,y,z und p (p x,p y,p z als Funktion der Zylinderkoordinatenρ,φ,z undp ρ,p φ,p z. Es ist und daher und wir erhalten x ρ e ρ +z e z (17 x ρ e ρ + φρ e φ +ż e z (18 ρ ẋcosφ(x,y+ẏsinφ(x,y (19 φ ( ẋsinφ(x,y+ẏcosφ(x,y/ρ(x,y,z (0 p x L ẋ L ρ ρ ẋ + L φ φ ẋ p ρcosφ p φ /ρ sinφ (1 p y L ẏ p ρsinφ+p φ /ρ cosφ ( p z L ż p z. (3 Es ist also p p x e x +p y e y +p z e z p ρ e ρ +p φ /ρ e φ +p z e z und H(ρ,φ,z, p ρ,p φ,p z, t (mc +c (p ρ +p φ /ρ +p z. (4 3. Relativistische Dynamik eines Massenpunktes in einem statischen Magnetfeld. (a Zeigen Sie, dass die elektromagnetischen Potentiale A( x,t 1 x (B 0 e z, Φ( x,t 0, ein statisches homogenes Magnetfeld B( x,t B 0 e z beschreiben. 3

4 Es istb A und wir berechnen ( ( x (B0 e z e i ǫ ijk j ǫ klm x l B m ǫ ijk ǫ klm δ jl B m ǫ kij ǫ kjm B m (5 (δ ij δ jm δ im δ jj B m B i (mitb i 0 für i 1, und B 3 B 0 woraus schliesslich folgt, dass B B 0 e z. (b Wie lautet die Hamiltonfunktion eines geladenen relativistischen Massenpunktes in diesem Magnetfeld in Zylinderkoordinaten? Gibt es zyklische Koordinaten? Welche Erhaltungsgrößen folgen daraus? Das Vektorpotential in Zylinderkoordinaten lautet A B 0 ρ e φ und wir erhalten wie in Aufgabe 1b mit p p ρ e ρ +p φ /ρ e φ +p z e z H(ρ,φ,z, p ρ,p φ,p z, t (mc +c (p ρ +p φ /ρ +p z qb 0 p φ +(qb 0 ρ/. (6 Zyklische Koordinaten sindz und φ, erhalten bleiben alsop z undp φ. (c Bestimmen Sie die Bahnkurve des Teilchen zur Anfangsbedingung x(t 0 y 0 e y, mity 0 mv 0 qb (v0 /c (7 x(t 0 v 0 e x. (8 Zunächst rechnen wir die Anfangsbedingungen auf die Zylinder-Phasenraum-Koordinaten um: ρ(0 y 0 p ρ (0 0 (9 φ(0 π/ p φ (0 ( v 0 γm+ qb 0 ρ(0 ρ(0 (γmv 0 (30 qb 0 z(0 0 p z (0 0, (31 mit der Abkürzung γ 1/ 1 (v 0 /c. Die einzige nicht zyklische Koordinate ist ρ. Ist ρ(t undp ρ (t bestimmt, lassen sichφ(t undz(t durch eine einfache Integration bestimmen. Um die Rechnungen zu vereinfachen, nutzen wir dass E H erhalten bleibt: Aus den Anfangsbedingungen folgt Die Bewegungsgleichungen lauten E H(q(0,p(0,0 mc γ. (3 ρ H c p ρ /E p ρ (33 ṗ ρ H ρ ( c p φ /ρ3 +(cqb o / ρ /E. (34 4

5 Wegen der Anfangsbedingungen ist ρ(0 0 und ṗ ρ (0 0, es ist also ρ(t ρ(0 y 0 und p ρ (t p ρ (0 0. Die Bewegungsgleichungen für φ bzw.ż lauten ż H p z c p z /E z(t 0 (35 φ H c ( 1 p φ /ρ qb 0 p φ /E qb 0 γm ω φ(t π ωt. (36 (Zum Lösen der letzten Gleichung wirdρ(t benötigt. Die Lösung lautet also x(t γmv sin(ωt 0 cos(ωt. (37 qb Beweisen Sie für beliebige Funktionenf(q,p,t,g(q,p,t undh(q,p,t über dem Phasenraum die Gültigkeit der Jacobi-Identität: {f,{g,h}}+{g,{h,f}}+{h,{f,g}} 0. (38 Wir schreiben die Poissonklammer wie folgt als Operator {f,g} N N ( f g f g ( f f g ( α k (f g D f (g (39 und betrachten die Summe {f,{g,h}}+{g,{h,f}} {f,{g,h}} {g,{f,h}} D f (D g (h D g (D f (h ( l1 ( α l (f l1 α l (f α k(g N ( h h A k +B k. α k (g l1 l1 α l (g α l (g α k(f α k (f h h (40 Die zweiten Ableitungen von h haben sich durch die Differenz im letzten Schritt herausgekürzt. Die A k [bzw. B k ] hängen nicht von h ab, und können z. B. durch die spezielle Wahl von h q k [h p k ] bestimmt werden. Wir erhalten A k {f,{g,q k }}+{g,{q k,f}} {f, g }+{g, f } {f,g} (41 5

6 und analog B k {f,g}. Damit können wir die Rechnung abschließen: N ( ( A k h +B k h {f,g} h + {f,g} h {{f,g},h} {h,{f,g}}. (4 Das Berechnen der A k [bzw. B k ] kann man sich im Prinzip auch sparen, indem man wie folgt argumentiert: Wir haben gezeigt, dass die linke Seite der Jacobi Identität{f,{g,h}}+{g,{h,f}}+ {h,{f,g}} 0 keine zweiten Ableitungen von h enthält (der Term {h,{f,g}} enthält sowieso keine. Völlig analog gilt dasselbe auch für f und g. Somit muss, da die linke Seite Summe von Termen ist, welche zweite Ableitungen vonf, g oderhenthalten, die linke Seite gleich Null sein. 6