2. Klausur zur Theoretischen Physik II

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Nora Zimmermann
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1 PD Dr. Burkhard Dünwe SS 2006 Dipl.-Phys. Ulf D. Schiller 2. Klausur zur Theoretischen Physik II 22. Juli 2006 Name: Matrikelnummer: Übunsassistent: Schreiben Sie bitte auf jedes Lösunsblatt Ihren Namen und bearbeiten Sie auf einem Blatt nur jeweils eine Aufabe. Lesen Sie sich am Anfan in Ruhe alle Aufaben durch und fraen Sie bei Unklarheiten in der Aufabenstellun bitte nach. Es wird nicht erwartet, dass Sie alle Aufaben lösen. Bearbeiten Sie zuerst die Aufaben, die Ihnen,,am besten lieen. In dieser Klausur können maximal 80 Punkte erreicht werden. Für den Übunsschein wird erwartet, dass Sie mindestens 25 Punkte erreichen Σ 1

2 Aufabe 1: Poissonklammern a) Zeien Sie folende Identität für Poissonklammern, wobei f, und h beliebie Funktionen sind: {f, h} = f{, h} + {f, h}. (1) b) Zeien Sie, dass für die Poissonklammern der kartesischen Drehimpulskomponenten ilt {l i, l j } = ɛ ijk l k. (2) Hinweis: Die Poissonklammer zweier Funktionen f und ist definiert durch {f, } := ( f f ). (3) p i i q i q i p i Aufabe 2: Kanonische Transformationen a) Ist die Transformation kanonisch? P = q cot p ( ) sin p Q = ln q (4) b) Für welche Werte α, β ist die Transformation kanonisch? Hinweis: Verwenden Sie Poissonklammern. Aufabe 3: Harmonischer Oszillator P = q α sin(βp) Q = q α cos(βp) (5) Betrachten Sie den harmonischen Oszillator mit Hamiltonfunktion H(p, q) = p2 2m + m 2 ω2 0q 2. (6) a) Stellen Sie die Hamiltonschen Beweunsleichunen für q und p auf. (1 Punkt) b) Zeien Sie mit Hilfe von Poissonklammern, dass die Transformation ( ) q Q = arctan mω 0 P = mω 0 p 2 q2 + p2 (7) 2mω 0 kanonisch ist. c) Stellen Sie die Beweunsleichunen für Q und P auf, und lösen Sie diese. d) Führen Sie die Rücktransformation auf q und p aus. 2

3 Aufabe 4: Atwoodsche Fallmaschine m 1 Betrachten Sie zwei Massen m 1 und m 2, die verbunden sind durch ein masseloses Seil konstanter Läne, das über eine ebenfalls masselose Rolle läuft, die sich reibunsfrei um ihre Achse drehen kann (vl. Abb.). Das System befinde sich im homoenen Schwerefeld. a) Führen Sie eeinete eneralisierte Koordinaten ein und stellen Sie die Laranefunktion auf. b) Stellen Sie die Beweunsleichunen auf. c) Lösen sie die Beweunsleichunen für den Fall, dass sich das System zum Zeitpunkt t = 0 in Ruhe befindet. m 2 Aufabe 5: Perle auf kreisförmiem Draht ω θ R m Eine Perle der Masse m leite im homoenen Schwerefeld reibunsfrei auf einem kreisförmien, masselosen Draht. Der Drahtrin rotiere mit konstanter Winkeleschwindikeit ω um seinen Durchmesser, wobei die Drehachse parallel zum Vektor der Schwerkraft sei. a) Finden Sie eeinete eneralisierte Koordinaten und stellen Sie die Laranefunktion auf. b) Stellen Sie die Beweunsleichunen auf. c) Lösen Sie die Beweunsleichun unter Verwendun der harmonischen Näherun (θ 1: sin θ θ, cos θ 1). Wir setzen hierbei voraus, dass ω hinreichend klein ist. Ab welcher Winkeleschwindikeit ibt es keine Schwinunen mehr? 3

4 Aufabe 6: Seil auf Tischkante L s s Ein Seil mit linearer Massendichte ρ und Läne L liee ausestreckt so auf einem Tisch, daß ein Stück der Läne s über die Tischkante hänt. Das System befinde sich im homoenen Schwerefeld. Zur Zeit t = 0 häne bereits ein Stück s 0 > 0 herab. Zum Zeitpunkt t = 0 werde das Seil loselassen. a) Stellen Sie die Laranefunktion des Systems auf unter der Voraussetzun, daß das Seil reibunsfrei leite. Hinweis: Verwenden Sie s als Koordinate. b) Stellen Sie die Beweunsleichunen auf. c) Lösen Sie die Beweunsleichunen für die eebenen Anfansbedinunen. Aufabe 7: Fallende Feder m 1 k x Zwei Massen m 1 und m 2 seien durch eine Feder der Ruheläne l 0 und der Federkonstante k verbunden. Das System befinde sich im homoenen Schwerefeld. Für Zeiten t < 0 werden beide Massen festehalten, und zwar derestalt, dass die Verbindunslinie zwischen m 1 und m 2 enau parallel zum Schwerefeldvektor ist, und zudem läner als l 0 ist. Die Masse m 1 befinde sich dabei oberhalb von m 2. Zum Zeitpunkt t = 0 werden beide Massen loselassen. a) Stellen Sie die Laranefunktion des Systems in den Koordinaten x 1 und x 2 auf. b) Drücken Sie die Laranefunktion durch Relativ- und Schwerpunktskoordinaten aus und stellen Sie die Beweunsleichunen auf. c) Lösen Sie die Beweunsleichunen für die eebenen Anfansbedinunen. Eine Rücktransformation auf x 1 und x 2 ist nicht erforderlich. m 2 4

5 Aufabe 8: Beweun im eindimensionalen Potential Betrachten Sie die eindimensionale Beweun eines Teilchens der Masse m im Potential U(x) = ax 2 + bx 4 a > 0, b > 0 (8) Zur Zeit t = 0 befinde sich das Teilchen am Ort x(0) = x 0 = a b in Ruhe. a) Führen Sie die Variable ξ = x x 0 ein und berechnen Sie t als Funktion von ξ. Wieviel Zeit benötit das Teilchen, um den Punkt x = 0 zu erreichen? Hinweis: Ein auftretendes Interal lässt sich lösen mit Hilfe von ( ) dx x 1 x = ln x (9) 1 x 2 b) Berechnen Sie die Bahn x(t). Aufabe 9: Wirkun und Hamiltonsches Prinzip Untersuchen Sie das Wirkunsinteral für drei hypothetische Fallbeweunen eines Teilchens der Masse m im homoenen Schwerefeld der Erde: z(t) = at (10) z(t) = bt 2 (11) z(t) = ct 3 (12) a) Bestimmen Sie die Konstanten a, b und c so, dass für alle Bahnen ilt z(0) = 0 und z(t ) = T 2, wobei T die Falldauer sei. 2 b) Berechnen Sie die Wirkunsinterale für die drei Bahnen. c) Welche Bahnen können aufrund des Hamiltonschen Prinzips auseschlossen werden? (1 Punkte) Aufabe 10: Geladenes Teilchen in äußeren Feldern Betrachten Sie die Laranefunktion eines nichtrelativistischen, eladenen Teilchens L = 1 2 m v2 qφ + q v A, (13) wobei m die Masse, q die Ladun und v die Geschwindikeit des Teilchens, und φ und A die elektromanetischen Potentiale sind. Berechnen Sie die Hamiltonfunktion des Systems. 5

6 Aufabe 11: Freier Fall und kanonische Transformation Betrachten Sie den freien Fall einer Masse m im homoenen Schwerefeld. Die Hamiltonfunktion des freien Falls ist H(p, q) = p2 + mq. (14) 2m Betrachten Sie weiter die kanonische Transformation, die durch erzeut wird. Hierbei ist τ eine beliebie Zeit. F (q, Q) = mτqq m 6 2 τ 3 Q 3 (15) a) Zeien Sie, dass die Transformation auf ein freies Teilchen führt. b) Lösen Sie die Beweunsleichunen für P und Q. c) Führen Sie die Rücktransformation auf p und q durch. Hinweis: Für die Erzeuende F (q, Q) einer kanonischen Transformation ilt F q = p F Q = P. (16) Aufabe 12: Erhaltunsrößen Betrachten Sie die dreidimensionale Beweun eines Teilchens in einem Potential V = V (x, y), das nur von den Koordinaten x und y abhänt. Welche Erhaltunsrößen ibt es und warum? Aufabe 13: Wirkunsquerschnitt Der differentielle Wirkunsquerschnitt der Rutherford-Streuun ist eeben durch ( ) 2 dσ α dω = 1 2µv 2 sin 4 χ. (17) 2 Berechnen Sie die den totalen Wirkunsquerschnitt σ tot. Was ist der Grund für das Erebnis? Hinweis: Für den totalen Wirkunsquerschnitt ist die Unterscheidun zwischen Laborsystem und Schwerpunktsystem irrelevant. Viel Erfol! 6

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