Fachschaft Physik Stand: Januar 2008

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1 Fachschaft Physik Stand: Januar 2008

2 Liebe Physik-Studis, hier haltet ihr nun endlich eine Klausursammlung für TP I Mechanik in den Händen. Lange hat es gedauert, sie zu erstellen. Wir möchten uns bei allen bedanken, die uns geholfen haben, die Klausuren und deren Lösungen zusammenzutragen und zu digitalisieren. Ein besonderer Dank geht an Daniel Wieczorek von der Uni Köln, der uns seine ausführlichen Ausarbeitungen der ersten drei Semester zur Verfügung gestellt hat! Noch ein paar Hinweise: Wer Rechtschreibfehler findet, darf sie behalten. (Oder uns Bescheid sagen, damit wir sie verbessern können!) Wir garantieren nicht für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Aufgaben. Falls ihr jedoch Fehler findet, teilt sie uns mit. Damit die Sammlung immer aktuell bleibt, sind wir auf eure Hilfe angewiesen: Gebt uns eure Klausuren, leiht sie uns, kopiert sie, tippt sie, schickt sie uns, mit oder ohne Lösung (mit ist natürlich besser), damit die Sammlung fortgeführt werden kann. Nun aber viel Spaß und Erfolg beim Rechnen und bei euren Klausuren! Eure Fachschaft Physik Fachschaft Physik NB 02 / 174 Ruhr-Uni Bochum Universitätsstr Bochum Tel.: fachschaft@physik.rub.de 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Mechanik Schlickeiser WS 1998 / Klausur Schlickeiser WS 1998/ Nachholklausur Mechanik Goeke WS 2000 / Klausur Goeke WS 2000/ Minitest Goeke WS Mechanik Goeke WS 2006 / Klausur Goeke WS 2006/ Lösung Klausur Mechanik Goeke WS 2006/

4 Kapitel 1 Mechanik Schlickeiser WS 1998 / Klausur Schlickeiser WS 1998/99 Aufg. 1: (5 Punkte) Sie f(x, y, z) = ax 2 y 3 +b sin(xy) 1 y 2 +z 2 und g(x, y, z) = ax2 y 3 e x +b sin(xy) e y 1 y 2 +z 2 e z mit a, b = const. Berechnen Sie f und g. Aufg. 2: (8 Punkte) a) Erklären Sie den Begriff konservatives Kraftfeld. b) Ist folgendes Kraftfeld konservativ? F ( x) = k x x 3, k = const, x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 x 3 c) Wie lautet F in Kugelkoordinaten? d) Was erhält man für dv div F über eine Kugel mit dem Radius R? e) Was gilt für das Drehmoment und den Drehimpuls eines Teilchens in dem Kraftfeld F? Aufg. 3: (7 Punkte) a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Variationsrechnung die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf dem Mantel eines unendlich langen Zylinders mit dem Radius R. b) Wie lässt sich die gefundene Kurve anschaulich beschreiben? Aufg. 4: (13 Punkte) Betrachten Sie die reibungsfreie Bewegung eines Körpers der Masse m unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer Schraubenlinie mit konstantem Radius R und konstanter Windungshöhe h > 0, d.h. die Schaubenlinie ist gegeben durch: (x, y, z) = (R cos ϕ, R sin ϕ, hϕ 2ϖ ). 4

5 Die Schwerkraft weise in negative z-richtung. Bestimmen Sie die Lagrangefunktion und lösen Sie die daraus folgende Bewegungsgleichung für beliebige Anfangsbedingungen. Aufg. 5: (9 Punkte) a) gwodurch ist eine kanonische Transformation charakterisiert und mit welchen Kriterien lässt sich testen, ob eine solche vorliegt? b) Ist Q = q 3 p 2, P = 1 eine kanonische Transformation? q 2 p c) Ist Q = exp( 2q) p 2, P = arccos[p exp(q)] eine kanonische Transformation? d Hinweis: arccos(x) = 1 dx 1 x Nachholklausur Aufg. 1: (5 Punkte) Zeigen Sie, dass für beliebige Vektoren a = (a 1, a 2, a 3 ) und b = (b 1, b 2, b 3 ) mit a i = a i (x, y, z) und b i = b i (x, y, z) im R 3 die folgenden Vektoridentitäten gelten. ist der Nablaoperator. ( a b) = b ( a a ( b) ( a) = 0 Aufg. 2: (8 Punkte) Gegeben sei ein Kraftfeld F (x, y) = y e x + 2x e y und der skizzierte Integrationsweg: a) Erläutern Sie den Begriff konservatives Kraftfeld. Ist F konservativ? b) Berechnen Sie die verrichtete Arbeit, wenn der in der Abbildung angegebene Weg durchlaufen wird. Aufg. 3: (9 Punkte) a) Welche Eigenschaft muss die Erzeugende einer kanonischen Transformation haben, damit die Hamiltonfunktionen in den alten und neuen Variablen gleich sind? b) Ist Q = q cos α p sin α, P = q sin α + p cos α, α = const. eine kanonische Transformation? c) Ist Q = q 2 cos ( p 2 ), P = q 2 sin ( p 2) eine kanonische Transformation? Aufg. 4: (4 Punkte) Betrachten Sie die reibungsfreie Bewegung eines Körpers der Masse m,der sich unter dem 5

6 Einfluss der Schwerkraft F G = mg e z auf einer vertikalen Kreisbahn bewegt. Die Kreisbahn habe den Radius R = const., liege in der x z-ebene. und der Kreismittelpunkt sei der Ursprung des Koordinatensystems. a) Formulieren Sie die Zwangsbedingung, b) Stellen Sie die Lagrangegleichung 1. Art in kartesischen Koordinaten auf. c) Zeigen Sie, dass sich mit den Polarkoordinaten x = R sin φ, z = R cos φ eine Schwingungsgleichung in φ ergibt. d) Leiten Sie aus den kartesischen Bewegungsgleichungen den Energiesatz ab. Formulieren Sie ihn dann auch in Polarkoordinaten. e) Zeigen Sie mit c) und d), dass für den Betrag der Zwangskraft gilt: Z = 3mg cos φ 2E. R Dabei sei E die Gesamtenergie. Aufg. 5: (8 Punkte) a) Leiten Sie die Bewegungsgleichung - ausgedrückt in Poissonklammern - für eine Variable f(t, p i, p i ) her, unter Benutzung der Hamiltonschen Gleichungen für eine gegebene Hamiltonfunktion H(t, q i.p i ). b) Wann ist f eine Konstante der Bewegung? c) Was folgt für den Fall H = H(q) und f = q, wobei q eine generalisierte Ortskoordinate ist? Aufg. 6: (12 Punkte) Ein (punktförmiger) Körper mit der Masse m und der Ladung q bewege sich mit der Geschwindigkeit v in einem elektromagnetischen Potential V = q(φ v A) mit Φ = E 2 (x+z) und A = (0, Bx, 0). E und B bezeichnen das konstante elektrische bzw. magnetische Feld. Die Gravitationskraft werde vernachlässigt. a) Stellen Sie die Langrangefunktion auf und leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen her. Gibt es zyklische Koordinaten? Was folgt daraus? b) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen unter der Annahme, dass der Körper zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung des Koordinatensystems ruht. Beschreiben Sie die Bahn, die der Körper durchläuft, anschaulich. Aufg. 7: (8 Punkte) Was bedeutet die Homogenität der Zeit für die Lagrangefunktion eines abgeschlossenen Systems? Beweisen Sie, dass daraus der Energieerhaltungssatz für ein abgeschlossenes System folgt. Aufg. 8: (11 Punkte) a) Bestimmen Sie den Trägheitstensor einer homogenen Säule mit quadratischer Grundfläche G = a 2 (a bezeichne die Seitenlänge der Grundfläche) und der Höhe h in Bezug auf den Schwerpunkt, der sich im Koordinatenursprung (0, 0, 0) befinde. Die Säule sei entlang der x-achse ausgerichtet, d.h. die Grundfläche ist parallel zur y z Ebene. b) Wie lautet der Steinersche Satz und was besagt er anschaulich? c) Berechnen Sie mit b) den Trägheitstensor bezüglich des Punktes (x, y, z) = (0, 0, b) des in a) definierten Koordinatensystems. 6

7 Aufg. 9: (12 Punkte) Die Lagrangefunktion eines eindimensionalen mechanischen Systems sei gegeben durch L(x, ẍ) = m(1 1 ẍ 2 ) 1 2 kx2 a) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung und zeigen Sie, dass sich der Energiesatz ergibt zu E = m 1 ẍ kx2 = const. b) Wie lauten die Hamiltonfunktion und die kanonischen Gleichungen? Aufg. 10: (14 Punkte) Beschreiben Sie das ebene Pendel mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus. Das Pendel sei realisiert durch einen Körper der Masse m,der an einer Stange der Länge l hägend unter dem Einfluss der in negative z-richtung zeigenden Gravitationskraft F G = mg e z schwingt. Die Ausdehnung des Körpers und die Masse der Stange seien vernachlässigt. Der Koordinatenursprung sei identisch mit dem Aufhängepunkt. a) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion für die Koordinatenwahl x = l sin φ und z = l cos φ und stellen Sie die Hamilton-Jacobi-Gleichung auf. b) Zeigen Sie, dass mit dem üblichen Separationsansatz S(φ, E.t) = W (φ, E) Et für die Hamiltonsche charakteristische Funktion gilt: c) Gewinnen Sie aus W E (cos φ 1 φ2 Hinweis: 2 dx a 2 x 2 W (φ, E) = l 2m E + mgl cos φ dφ das Bewegungsgesetzφ(t) für den Fall kleiner Auslenkungswinkel ) und beliebige Anfangsbedingungen. = arcsin ( x a) ; a2 x 2 dx = x 2 a2 x 2 + a2 arcsin ( x 2 a ) 7

8 Kapitel 2 Mechanik Goeke WS 2000 / Klausur Goeke WS 2000/2001 Aufg. 1: (1+3+3 Punkte) Eine Rakete der Ruhelänge L 0 fliegt mit konstanter Geschwindigkeit v relativ zu einem Inertialsystem IS in z-richtung. Zur Zeit t = t = 0 passiert die Spitze der Rakete den Punkt P 0 ins IS. In diesem Moment wird ein Lichtsignal von der Raketenspitze zum Raketenende gesendet. a) Nach welcher Zeit erreicht im Ruhesystem IS der Rakete der Lichtblitz das Ende der Rakete? b) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Signal das Raketenende im Ruhesystem IS des Beobachters? c) Wann registriert der Beobachter, dass das Raketenende den Punkt P 0 passiert? Hinweis: Legen Sie die Koordinatensysteme so, dass zum Zeitpunkt t = t = 0 die Ursprünge von IS und IS jeweils in P 0 zusammenfallen. Aufg. 2: (5+4 Punkte) Zwei gleiche Punktmassen m befinden sich zwischen drei gleichen Federn der Federkonstanten k und der Ruhelänge L, wobei die äusseren Enden jeweils an einer starren Wand befestigt sind. (Die Abbildung zeigt das System in der Ruhelage.) Die Auslenkungen der Massen aus ihrer Ruhelage werden mit x 1 (t) und x 2 (t) bezeichnet. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Bewegung gegeben durch x 1 (0) = a ẋ 1 = 0 x 2 (0) = a ẋ 2 = 0 a < L a) Stellen Sie die Lagrange-Funktion und die Bewegungsgleichungen in Normalkoordinaten x + (t) = x 1 (t) + x 2 (t) auf. b) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen und geben Sie die Lösungen für x 1 (t) und x 2 (t) 8

9 an. Aufg. 3: (7 Punkte) Wie muss die Verbindungslinie x(y) zwischen den Punkten P 1 und P 2 in der xy-ebene beschaffen sein, damit die entsprechende Rotationsfläche minimal wird (siehe Abbildung)? Hinweis: du u2 1 = arcosh Aufg. 4: (5+2+2 Punkte) Im homogenen Schwerefeld gleitet ein Massenpunkt m reibungsfrei auf dem Inneren eines Kreiskegels mit em Öffnungswinkel α. Sein Abstand zur Kegelspitze wird mit r(t), der Azimuthwinkel mit ϕ(t) bezeichnet (siehe Abbildung). a) Stellen Sie die Hamiltonschen Gleichungen für die Koordinaten r und ϕ auf. b) Welche physikalischen Größen sind erhalten? c) Skizzieren Sie das effektive Potential V eff (r), gegeben durch E = m 2 ṙ2 + V eff (r) und erläutern Sie grob qualitativ den Bewegungsverlauf (E = Gesamtenergie). Aufg. 5: (2+6 Punkte) a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen Würfels der Kantenlänge a und der Masse m bezüglich einer seiner Symmetrieachsen durch den Schwerpunkt S. b) Ein solcher Würfel hängt an einer seiner Kanten im Schwerefeld der Erde senkrecht nach unten. Er führt kleine Schwingungen um diese Achse aus, d.h. φ << π. Stellen Sie 2 die Bewegungsgleichung auf und geben Sie die Kreisfrequenz an Minitest Goeke WS Aufg. 1: (10 Punkte) Gegeben sei ein zentralsymmetrisches Potenital U = U(ρ). a) Wie lautet die Langrange-Funktion eines Massenpunktes in ebenen Polarkoordinaten (ρ, ϕ)? b) Wie lautet der Drehimpuls? c) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls eine erhaltene Größe ist. Aufg. 2: (10 Punkte) 9

10 Gegeben sei eine Funktion F = F (y, y, y, x) und gesucht ist das Minimum des Funktionals mit der Nebenbedingung J[y] = b a b a F (y, y, y, x)dx G(y (x))dx = 0 bei gegebenem G. Hierbei sind y, y, y Funktionen der unabhängigen Variablen x. a) Wie lautet die Variationsgleichung? b) Skizzieren Sie kurz das Prinzip des Lösungswegs. Aufg. 3: (10 Punkte) Zeigen Sie, dass in einer Ebene die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerade ist. Aufg. 4: (10 Punkte) Gegeben sei ein zentralsymmetrisches Potenital U = U(ρ). a) Wie lautet die Hamilton-Funktion für ein Teilchen der Masse m in diesem Potential? b) Wie lauten die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen? Aufg. 5: (10 Punkte) Für ein System mit gegebenr Hamilton-Funkzion seinen q = (q 1,...q f ) und p = (p 1,...p f ) die kanonischen Koordianten. F (q, p) und G(q, p seien zwei physikalische Größen. a) Wie lautet die Poissonklammer F, G? b) Wie lautet die Gleichung für die Zeitentwicklung von F? c) Es seien Q und P ein durch eine Transformation aus q und p hervorgegangener weiterer Satz von Größen. Geben Sie eine Bedingung an, die erfüllt sein muss, damit Q und P ebenfalls kanonische Koordinaten sind. Aufg. 6: (10 Punkte) Betrachten Sie ein Vielteilchensystem mit einer stabilen Gleichgewichtslage. Es führe Schwingungen um diese Gleichgewichtslage herum aus, die beliebig klein sein mögen. a) Wie lautet die Langrange-Funktion für diese Schwingungen? b) Wie lautet die Gleichung für die Eigenfrequenz des Systems? c) Wie sind die Normalkoordinaten des Systems definiert? 10

11 Kapitel 3 Mechanik Goeke WS 2006 / Klausur Goeke WS 2006/07 Aufg. 1: (10 Punkte) Ein Teilchen der Masse m und der kinetischen Energie E werde an einer Potentialbarriere gestreut, die durch folgenden Potentialverlauf definiert ist (siehe Abb.): V (y) = { 0, y > 0 V 0 > 0, y < 0 a) Zeigen Sie, dass die x-komponente der Geschwindigeit v, v x, eine Erhaltungsgröße ist. b) Zeigen Sie, dass die Änderung der Geschwindigkeit v beim Eintritt in das Gebiet des Potentials V durch einen Brechungsindex beschrieben wird (siehe Abb.): n = sin α sin β = 1 V 0 E Aufg. 2: (10 Punkte) Ein Teilchen der Masse m bewege sich in einem Potentialfeld V ( r). Aus der Lagrange- Funktion L(q, ȧ) soll die Hamilton-Funktion H(p, q) hergeleitet werden. a) unter Verwendung von Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) b) unter Verwendung von Zylinderkoordinaten (ϱ, ϕ, z) Aufg. 3: (10 Punkte) Bestimmen Sie die kürzeste Verbindung z(φ) zwischen zwei Punkten auf dem Mantel eines 11

12 Zylinders des Radius R. z und φ sind hierbei die üblichen Zylinderkoordinaten. Aufg. 4: (20 Punkte) Ein Körper habe ein Trägheitsmoment θ i der Hauptträgheitsachse e i (θ 1 < θ 2 < θ 3 ). Er bewege sich frei ohne äußere Kraft um die Hauptträgheitsachse e 1. a) Stellen Sie die Euler-Gleichungen auf. b) Leiten Sie aus diesen Gleichungen her, dass eine Rotation um die Hauptträgheitsachse e 1 stabil ist. Aufg. 5: (20 Punkte) Gegeben seien drei Massen in der x-y-ebene. Zwei Massen m befinden sich in den Punkten (x, y, z) = (0, 0, 0) und (x, y, z) = (0, 4a, 0). Eine Masse 2m befindet sich in dem Punkt (x, y, z) = (2a, 0, 0) (siehe Abb.) a) Bestimmen Sie den Schwerpunkt und den Trägheitstensor bezogen auf den Schwerpunkt b) Finden sie die Hauptträgheitsmomente. Aufg. 6: (20 Punkte) Ein Massenpunkt m bewegt sich reibungsfrei auf einem Ring mit Radius R, dessen Ebene mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die z-richtung rotiert. Außer den dadurch bedingten Zwangskräften soll die Schwerkraft auf die Masse wirken. Wir wählen den Winkel θ als verallgemeinerte Koordinate (siehe Abb.). a) Geben Sie die Lagrange-Funktion an. b) Was ist die Bewegungsgleichung fã 1 4 r θ? c) Geben Sie die Hamilton-Funktionan. d) Stellen Sie die Hamilton-Gleichung auf. e) Was sind die stationären Lösungen (d.h. θ = const.)? Aufg. 7: (10 Punkte) Zwei Ereignisse seien mit einem raumartigen Abstand getrennt. a) Können die Ereignisse kausal verknüpft sein? Beweisen Sie Ihre Antwort. b) Gibt es ein Inertialsystem, in dem beide Ereignisse am gleichen Ort stattfinden? Beweisen Sie Ihre Antwort. c) Gibt es ein Inertialsystem, in dem beide Ereignisse zur gleichen Zeit stattfinden? Beweisen Sie Ihre Antwort. 12

13 3.2 Lösung Klausur Mechanik Goeke WS 2006/2007 Aufg. 1: a) Es gilt E kin,1 }{{} vorher = E } kin,2 +V (y) {{} nachher 1 2 m(v2 x + v 2 y) = 1 2 m(v 2 x + v 2 y ) + V m(v2 x v 2 x ) = 1 2 m(v 2 y v 2 y) + V m(v2 x v 2 x ) ( 1 2 m(v 2 y v 2 y) + V 0 ) = 0 Da die x- und die y-richtung von einander unabhängig sind, müssen beide Summanden bereits fã 1 r sich selbst 0 werden. 4 v 2 x = v 2 x v x = v x Hier kann man auch mit der Lagrangefunktion und der Lagrangegleichung argumentieren. b) v 2 v v = 2E1 v = m 2 2E 2 m 1 V 0 E = = E 1 = E 1 E 2 E 1 V }{{} = E E V E 1 =E v 2 v 2 = E V E v x sin α sin β = v x }{{} v x =vx }{{} = 1 V 0 E V =V 0 sin α sin β = n Aufg. 2: a) r = ṙ e r + r θ e θ + r φ sin θ e φ T = 1 2 m r 2 = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 φ2 sin 2 θ) V = V ( r) L = T V = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 φ2 sin 2 θ) V ( r) 13

14 p r = L ṙ = mṙ ṙ = p r m p θ = L θ = p θ mr2 θ θ = mr 2 p φ = L φ = mr2 sin 2 θ φ φ = H = k p k q k L p φ mr 2 sin 2 θ Einsetzen und rumrechnen H = p2 r 2m + p2 θ 2mr 2 + p 2 φ 2mr 2 sin 2 θ + V ( r) b) r = ρ e ρ ρ φ e φ + ż e z T = 1 2 m( ρ2 + ρ 2 φ2 + ż 2 ) V = V ( r) L = T V = 1 2 m( ρ2 + ρ 2 φ2 + ż 2 ) V ( r) p ρ = L ρ = m ρ ρ = p ρ m p φ = L φ = p φ mρ2 φ φ = mρ 2 p z = L ż = mż ż = p z m H = p2 ρ 2m + p2 φ 2mρ + p2 z 2 2m + V ( r) Aufg. 3: 14

15 ds = ρ 2 dφ 2 + dz 2 = dz ρ 2 φ 2 + 1, mit φ = dφ dz, J[z] = z 2 z 1 F φ = 0 dz ρ2 φ }{{} F (φ,φ,z)=f (φ ) F φ = const. = c = c 2 = ρ 4 φ 2 ρ 2 φ c 2 φ = ρ 4 ρ 2 c 2 φ = dφ c = dz ρ4 ρ 2 c }{{ 2 } =const.= 1 m dz = mdφ ρ 2 φ ρ2 φ z(φ) = mφ + b,b = const. ρ = R = const. Das ist eine Schraubenlinie. Aufg. 4: a) M 1 = θ 1 ω 1 + (θ 3 θ 2 )ω 3 ω 2 = 0 (3.1) M 2 = θ 2 ω 2 + (θ 1 θ 3 )ω 1 ω 3 = 0 (3.2) M 3 = θ 3 ω 3 + (θ 2 θ 1 )ω 2 ω 1 = 0 (3.3) In der Vorlesung galten diese Beziehungen: ω 1 = p, ω 2 = q, ω 3 = r. b) Es ist ω 1 = const.. Wenn man dann die Gleichungen ein wenig umformt, in einander einsetzt, etc, dann folgt fã 1 r die Gleichungen (2) und (3): 4 q + Hq = 0 r + Hr = 0 FÃ 1 r H>0 folgt eine stabile Rotation (zu finden auch im Fliessbach, S.213). 4 15

16 Aufg. 5: a) R = 1 M (m(0, 0, 0) + m(0, 4a, 0) + 2m(2a, 0, 0)) = m M θ ik bzgl des Ursprungs: θ ik θ ik = 3 m α (rαδ 2 ik r αi r αk ) α=1 bzgl des Schwerpunkts: θ 11 = m(0 0) + m(16a 2 0) + 2m(4a 2 4a 2 ) = 16ma 2 θ 22 = m(0 0) + m(16a 2 16a 2 ) + 2m(4a 2 0) = 8ma 2 θ 33 = m(0 0) + m(16a 2 0) + 2m(4a 2 0) = 24ma 2 θ 12 = m(0 0) + m(0 0) + 2m(0 0) = 0 = θ 13 = θ 23 θ = 8ma θ = θ ik = θ ik +M(R 2 δ ik R i R k ) = 2Ma 2 = Ma = 2Ma m ((0, 4a, 0) + (4a, 0, 0)) }{{} = (4a, 4a, 0) = (a, a, 0 4m M=4m +M = Ma a 2 a 2 a 2 0 a 2 2a 2 a a Dieses Ergebnis ist laut Korrekteur falsch. Es wird dennoch mit diesem Ergebnis weitergerechnet! b) Hauptträgheitsmomente sind die Eigenwerte von θ. Det[Ma 2 χ χ χ 8 ] = = Ma 2 [(χ 5)(χ 3)(χ 8) (χ 8)] = Ma 2 (χ 8)[χ 2 8χ + 14] (χ 8)[χ 2 8χ + 14] = 0 χ 1 = 8! = 0 χ 2,3 = 4 ± = 4 ± 2 χ 2 = χ 3 = 4 2 = 16

17 Aufg. 6: a) Man nehme natã 1 rlich Kugelkoordinaten: 4 r = R = const., φ = ωt, θ const. T = 1 2 m r = 1 2 m(r2 θ2 + R 2 ω 2 sin 2 θ) V = mgr cos θ L = 1 2 mr2 θ2 + mr( 1 2 Rω2 sin 2 θ + g cos θ) b) d L L dt θ θ = d dt (mr2 θ) mr(rω 2 sin θ cos θ g sin θ) = mr 2 θ mr sin θ(rω 2 cos θ g) =! 0 θ sin θ R (Rω2 cos θ g) = 0 c) d) e) H = L θ = p θ = mr 2 θ θ = p θ mr 2 p2 θ 2mR 2 mr(1 2 Rω2 sin 2 θ + g cos θ) θ = H p θ = p θ mr 2 p θ = H θ = mr(rω2 sin θ cos θ g sin θ) θ = const. θ = 0 p θ mr = 0 p 2 θ = 0 p θ = 0 mr(rω 2 sin θ cos θ g sin θ) = 0 sin θ(rω 2 cos θ g) = 0 sin θ = 0 θ = 0 θ = π oder Rω 2 cos θ g = 0 θ = arccos ( g rω 2 ) 17

18 f) FÃ 1 r raumartige Abstände gilt: 4 s 2 < 0 c 2 t 2 < r 2 c 2 < r2 t 2 c 2 < v 2 g) obda (=ohne Beschränkung der Allgemeinheit) sei r = x x 2 = 0 c 2 t 2 < 0 Das ist ein Widerspruch! h) Das ist möglich! t = 0 x 2 > 0 18