Hauptklausur: T1: Theoretische Mechanik

Transkript

1 Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Hauptklausur: T1: Theoretische Mechanik Dienstag, Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: ECTS-Punkte: 9 Übungsgruppe: Bearbeitungszeit, Gesamtpunktzahl: Bachelor (9 ECTS-Punkte): 180 min für 6 Aufgaben, insgesamt 60 Punkte + 3 Bonuspunkte. Eckige Klammern geben Punktzahlen für Teilaufgaben an, z.b. [2] bedeutet: (2 Punkte). Die Bonusteilaufgaben sind anspruchsvoll es ist ratsam, sie erst am Ende zu bearbeiten! Bonuspunkte sind separat aufgelistet und von den regulären Punkten durch ein Plus getrennt. So bedeutet 9 + 2: neun Punkte und zwei Bonuspunkte. Jede Aufgabe ist auf einem eigenen Blatt zu lösen; schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und die Nummer der bearbeiteten Aufgabe auf jedes Blatt! Notizen auf der Angabe werden nicht gewertet. Lösen Sie die Aufgaben auf den bereitgestellten leeren Blättern. Wer kariert-liniertes Schreibpapier bevorzugt, möge das entsprechende Deckblatt vom Klausurpaket abreissen und hinter jedes zu beschreibende Blatt legen das Muster scheint durch! Extra Blätter: können Sie bei Bedarf anfordern diese sollten oben links nicht beschrieben werden (um Platz zum Tackern lassen), und bei Abgabe hinten an das Klausurpaket angetackert werden; sollten (auf jedem Blatt) mit Ihrem Namen und der Nummer der darauf bearbeiteten Aufgabe versehen werden; Geben Sie alle relevanten Blätter ab fehlende Aufgaben werden mit null Punkten bewertet. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Aufgabe Summe Punktzahl Erreichte Punktzahl Korrektor 1

2 Fakultät für Physik T1: Klassische Mechanik, SoSe 2016 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Sebastian Huber, Katharina Stadler, Lukas Weidinger Hauptklausur: T1: Theoretische Mechanik Dienstag, Aufgabe 1: Drei Massenpunkte auf Ring [9] Punkte: (a)[2]; (b)[1]; [3]; (d)[3]. Die Bewegung dreier gleicher Punktmassen m sei reibungsfrei auf einen horizontalen Ring mit Radius R eingeschränkt. Alle Massen seien untereinander mit Federn der Federkonstante k verbunden, wobei die Verbindungslinie der Federn nicht entlang geraden Strecken, sondern entlang des Rings laufen (siehe Skizze). (a) Wir betrachten die harmonische Näherung um die Gleichgewichtslage. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die (entlang des Rings verlaufenden) Auslenkungen x 1, x 2, x 3 der Massen aus der Gleichgewichtslage auf. (b) Warum kann erwartet werden, dass eine der Eigenfrequenzen gleich Null ist? Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen und die dazugehörigen orthornormalen Normalschwingungen explizit. (d) Skizzieren Sie die Bewegung der Massen entlang des Rings für die verschiedenen Schwingungsmoden. Sind diese eindeutig festgelegt? Aufgabe 2: Teilchen in Schüssel [10] Punkte: (a)[2]; (b)[1]; [3]; (d)[3]; (e)[1]; (f)[1](bonus) Die Innenseite einer rotationssymmetrischen Schüssel habe die Höhe h(ρ), wobei ρ der Abstand zur Symmetrie-Achse und h(ρ) eine glatte, monoton steigende Funktion ist (siehe Skizze). Eine Punktmasse m gleite reibungsfrei in der Schüssel. (a) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Funktion für die Punktmasse durch L = 1 2 m[ ρ 2 (1 + h (ρ) 2 ) + ρ 2 φ2 ] mgh(ρ), (1) gegeben ist, wobei φ den Polarwinkel des Teilchens bezeichnet. (b) Finden Sie die zyklische Variable und bestimmen Sie die zugehörige Erhaltungsgrösse l. Bestimmen Sie die aus (1) resultierenden Bewegungsgleichungen. Zeigen Sie, dass diese Bewegungsgleichungen für h(ρ) = ρ n /ρ n 1 0, mit n N, n 1 und ρ 0 > 0, eine Kreisbahn als Lösung zulassen und bestimmen Sie die Abhängigkeit des Radius dieser Kreisbahn von l. 1

3 Im Folgenden sei n = 1, d.h. die Schüsselinnenseite sei kegelförmig. (d) Zeigen Sie, dass der Radialteil der Bewegung als die eindimensionale Bewegung eines Teilchens der Masse m = 2m in einem effektiven Potential, definiert via m ρ = ρ V eff (ρ), aufgefasst werden kann. Bestimmen Sie dazu V eff (ρ) und zeigen Sie, dass für die Energie des Systems gilt: E = 1 2 m ρ2 + V eff (ρ). (e) (f) Die Energie des Systems sei nun durch E = 2mgρ 0 gegeben. Für welche Drehimpulse liegt einer der Umkehrpunkte der radialen Bewegung des Teilchens bei ρ extremal = ρ 0? [Bonus] Handelt es sich bei diesem Umkehrpunkt um das Minimum oder das Maximum der radialen Bewegung? Begründen Sie ihre Antwort! Aufgabe 3: Abrissbirne [12] Punkte: (a)[4]; (b)[1]; [4]; (d)[3] z ( x 1, z 1 ) L/2 L/2 (0, 0) (x 2, z 2 ) (x 1, z 1 ) Ein masseloser Stab der Länge L ist an seinem Mittelpunkt mittels einer Achse an einer Stütze befestigt. Er kann in der x-z-ebene um die Achse kippen, mit Winkel α relativ zur x-achse. An seinem linken Ende ist eine Punktmasse m befestigt, an seinem rechten Ende ein ebenes Pendel, bestehend aus einem masselosen Stab der Länge l (mit l L) und einer Punktemasse m am anderen Ende. Das Pendel kann in der x-z-ebene frei schwingen, mit Winkel β relativ zur z- Achse. In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung an der Spitze der Stütze seien die Koordinaten der linken und rechten Punktmassen durch (x 1, z 1 ) bzw. (x 2, z 2 ) gegeben, mit x 1 = (L/2) cos α, x 2 = (L/2) cos α + l sin β, (2) z 1 = (L/2) sin α, z 2 = (L/2) sin α l cos β. (3) (a) Wählen Sie α und β als verallgemeinerte Koordinaten. Wie lautet die Lagrange-Funktion L(α, β, α, β)? (b) Nennen Sie unter Begründung eine Erhaltungsgrösse des Systems. Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen für die Winkel α und β wie folgt lauten: α l L [ β sin (α β) β 2 cos (α β)] = 0, (4) β L 2l [ α sin (α β) + α2 cos (α β)] = g l sin β. (5) Hinweis: sin (α β) = sin (α) cos (β) cos (α) sin (β), cos (α β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β). 2

4 (d) Wir initialisieren das System mit kleinen Winkeln α 1, β 1. Linearisieren Sie unter Annahme dieser Anfangskonfiguration die Bewegungsgleichungen in α, α, α und β, β, β. Diskutieren Sie anhand der Differentialgleichungen das qualitative Verhalten des Systems zu einem späteren Zeitpunkt. Aufgabe 4: Minimale Gleitzeit im Coulomb-Potential [7] Punkte: (a)[3]; (b)[1]; [3] Ein geladene Punktmasse m mit Ladung +q bewege sich reibungsfrei in einer gekrümmten, in der x-y-ebene verlaufenden Röhre. Deren +q, m Form sei in Polarkoordinaten durch die Röhrenfunktion ρ(φ) ρ 1 beschrieben, mit Anfangspunkt bei ρ 0 = ρ(φ = 0) und Endpunkt φ bei ρ 1 = ρ(φ = π/2) (mit ρ 1 < ρ 0 ). q ρ0 Am Ursprung sei eine Punktladung q fixiert, sodass die potentielle Coulomb-Energie des Punktteilchens in der Röhre durch V (ρ) = q 2 /ρ gegeben ist. (Das Gravitationspotential spielt in dieser Aufgabe keine Rolle.) Welche Form der Röhrenfunktion ρ(φ) minimiert die Gleitzeit τ, die die Punktmasse braucht, um entlang der Röhre vom Anfangs- zum Endpunkt zu gleiten, nachdem sie ruhend am Anfangspunkt losgelassen wurde? Leiten Sie mittels Variationsrechnung eine Differentialordnung erster Ordnung her, welche die Form der gesuchten Röhrenfunktion bestimmt. Gehen Sie dazu wie folgt vor: (a) Schreiben Sie das zu minimierende Funktional für die Gleitzeit, τ[ρ(φ)], als ein Winkelintegral über eine Funktion I(ρ(φ), ρ (φ)), mit ρ (φ) = dρ/dφ. Zeigen Sie, dass I folgende Form hat: I(ρ, ρ ) = ρ2 + ρ 2, (6) v(ρ) wobei v(ρ) der Betrag der Geschwindigkeit des Punktteilchens ist. Hinweis: Drücken Sie zunächst das infinitesimale Bogenelement ds in Polarkoordinaten aus. (b) Finden Sie mittels Energie-Erhaltung die explizite Form der Funktion v(ρ). Finden Sie nun eine Differentialgleichung erster Ordnung für die gesuchte Röhrenfunktion ρ(φ). (Sie brauchen diese Gleichung nicht zu lösen.) Hinweis: Nutzen Sie dazu die Tatsache, dass I(ρ, ρ ) nicht explizit von φ abhängt! Aufgabe 5: Freier Kreisel im Lagrange-Formalismus [12] Punkte: (a)[2]; (b)[4]; [2.5]; (d)[1.5]; (e)[2] (a) Betrachten Sie einen homogenen Quader der Masse m, dessen Seiten, mit Längen 2a, 2a und 4a, parallel zu den Achsenrichtungen e 1, e 2 bzw. e 3 eines körperfestes Koordinatensystems mit Ursprung im Quaderschwerpunkt ausgerichtet sind (siehe Skizze). Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente I 1 I 11, I 2 I 22 und I 3 I 33 des Quaders. Warum gilt I 1 = I 2 I 3? 4a x 1 2a x 3 2a x 2 3

5 Wir betrachten nun eine freie Kreiselbewegung des Quaders relativ zum Schwerpunkt. Dieser liege fest im Ursprung eines raumfesten Koordinatensystems mit Einheitsvektoren e x, e y, e z, dessen z-achse parallel zum erhaltenen Drehimpuls des Kreisels sei (L = le z ). Die Projektionen der körperfesten Einheitsvektoren auf die z-achse, ausgedrückt durch die Eulerwinkel, lauten: e z e 1 = sin θ sin ψ, e z e 2 = sin θ cos ψ, e z e 3 = cos θ. (b) Unter Vernachlässigung der Schwerkraft lauten die drei Eulerschen Gleichungen für die freie Kreiselbewegung, mit I I 1 = I 2 I 3, wie folgt: I ω 1 + (I 3 I)ω 2 ω 3 = 0, I ω 2 + (I I 3 )ω 1 ω 3 = 0, I 3 ω 3 = 0. (7) Bestimmen Sie über die Eulerschen Gleichungen die drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω(t) = (ω 1 (t), ω 2 (t), ω 3 (t)) T des Quaders mit den Anfangsbedingungen ω(t = 0) = (0, ω, ω 3 ) T im körperfesten System und zeigen Sie, dass die Projektion von ω auf die (x 1,x 2 )-Ebene einen Kreis beschreibt. Wie lautet der Radius dieses Kreises? Der Drehimpuls L kann auf zwei Arten dargestellt werden: im körperfesten Koordinatensystem durch L = Î ω und im raumfesten Systems als L = le z. Verwenden Sie diese Darstellung, um die Eulerwinkel ψ und θ ausschließlich in Abhängigkeit von I, I 3, l, ω und der Zeit t auszudrücken. (d) Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten System können durch die Eulerwinkel ausgedrückt werden: ω 1 = φ sin θ sin ψ + θ cos ψ, ω 2 = φ sin θ cos ψ θ sin ψ, ω 3 = φ cos θ + ψ. Leiten Sie einen Ausdruck für φ ausschließlich in Abhängigkeit von I, I 3, l, ω und der Zeit t her. Verwenden Sie die Anfangsbedingung φ(t = 0) = 0. (e) Interpretieren Sie θ, ψ und φ. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an, welche auch die raumfesten Einheitsvektoren zeigt, sowie e 3 und ω. Aufgabe 6: Kanonische Transformation und Phasenraumfluss [10] Punkte: (a)[2]; (b)[2]; [1]; (d)[1]; (e)[2]; (f)[2]; (g)[2](bonus) Gegeben sei die Lagrange-Funktion L = 1 2 m q2 1 2 kq2 + q(a + b q). (8) (a) Bestimmen Sie den kanonischen Impuls p, die Hamilton-Funktion H und die Hamilton schen Bewegungsgleichungen. (b) Zur Vereinfachung der Hamilton-Funktion möchten wir nun mittels einer erzeugende Funktion der Form F = F 3 (p, Q, t) + qp eine kanonische Transformation finden, die den folgenden Bedingungen genügt: P = p bq, Q = q, H(Q, P ) = H(q(Q, P ), p(q, P )). (9) Finden Sie die explizite Form der Funktion F 3 (p, Q, t), die dieses leistet. Hinweis: Für eine erzeugende Funktion der gegebenen Form gilt: q = F 3 p, P = F 3 Q, 4 H = H + F t.

6 Bestimmen Sie die neue Hamilton-Funktion H(Q, P ) explizit. Zeigen Sie mit deren Hilfe, dass die Trajektorie q(t) im Ortsraum unabhängig vom Parameter b ist. Hätte man das auch direkt anhand von (8) sehen können? Begründen Sie ihre Antwort! Wie wir in gezeigt haben spielt der Parameter b keine wichtige Rolle. Daher setzen wir ihn für den Rest der Aufgabe gleich Null: b = 0. (d) Geben Sie ein Beispiel eines physikalischen Systems, dessen Lagrange-Funktion die Form (8) (mit a 0, b = 0) hat. (e) Zeigen Sie, dass im Fall a = 0 der Fluss Φ(q, p) = ( q, ṗ) die Symmetrie Φ( q, p) = Φ(q, p) erfüllt. Nutzen Sie dies um zu zeigen, dass für eine gegebene Trajektorie (q(t), p(t)) auch ( q(t), p(t)) eine zulässige Trajektorie ist. Was bedeutet diese Symmetrie also physikalisch? Welche analoge Symmetrie gilt für a > 0? (f) Bestimmen Sie die Lösung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen im a > 0 Fall für die Anfangsbedingungen q 0, p 0. (g) [Bonus] Wie muss die Funktion F 3 in der erzeugenden F (p, Q, t) von Teilaufgabe (b) modifiziert werden, damit die neue Hamilton-Funktion (anstelle von H = H) folgende Form annimmt? H(Q, P ) = 1 2m P kq2. [Gesamtpunktzahl Aufgaben: 60] 5