Betrachte zwei physikalische Grössen, die von den Koordinaten, Impulsen und der Zeit abhängen:

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1 Poisson-Klammern Betrachte zwei physikalische Grössen, die von den Koordinaten, Impulsen und der Zeit abhängen: Def: "Poisson-Klammer von F und G": Einfachste Beispiele: im Hamilton-Formalismus sind p, q, t unabhängige Variablen, also: Satz: Poisson-Klammer hat folgende Eigenschaften (folgen direkt aus der Definition): (i) Antisymmetrie: (ii) Distribution: (iii) "Jacobi-Identität": (zyklische Vertauschung) (iv) "Faktorisierungszerlegung": Beweis: (i), (ii): trivial. (iii), (iv): Übungsaufgaben! Anmerkung: Eigenschaften (i)-(iv) gelten auch für Kommutatoren von Matrizen! Satz: Die Zeitabhängigkeit einer beliebigen dynamischen Größe ist gegeben durch: Beweis:

2 Bemerkungen: 1. Gl. (14.5) enthält u.a. die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen als Spezialfall: 2. Eine nicht explizit zeitabhängige Größe ist genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn die Poisson-Klammer mit H verschwindet: falls gilt 3. Mittels der Rechenregeln (14.1-4) lässt sich jede Rechnung auf die Grundregeln (13.5-7) reduzieren. 4. Ausblick: Die Quantenmechanik (QM) ist eine andere Realisierung einer Theorie mit - (13.5-7) als Grundregeln, - (14.1-4) als Rechenregeln, - (14.5) als Bewegungsgleichung. Heisenberg lieferte eine Matrix-Formulierung der QM: - Physikalische Größen: dargestellt durch (unendlich-dimensionale) Matrizen: - Produkt zweier Größen: Matrixprodukt, nicht kommutativ: - Kommutator von Matrizen erfüllt Rechenregeln (14.1-4)! "Kommutator von und " - Poisson-Klammer der kl. Mech. wird in der QM ersetzt durch: - Grundregel (13.5-7): Plancksche K t - Bewegungsgl. (14.5): Dies ist Heisenbergs Bewegungsgl. für Operatoren, äquivalent zur Schrödingergl. der Wellenformulierung der QM. Die große Bedeutung des Hamilton-Formalismus liegt in dieser KM-QM Korrespondenz!!

3 Satz: Die Poisson-Klammer zweier (nicht explizit zeitabhängiger) Erhaltungsgrößen ist selbst eine (nicht explizit zeitabhängige) Erhaltungsgröße. Beweis: Sei (i) und (ii) und erhalten, d.h. Dann gilt für (i) trivial (ii) Jacobi, (14.3) (i,ii): laut (2) Bemerkung: die Erhaltungsgrößen bilden also eine abgeschlossene "Algebra". hier: Poisson-Klammer (Siehe mathematische Def. einer Algebra: Menge von Elementen mit einer Kompositionsregel, laut der die Komposition zweier Elemente der Algebra wieder ein Element der Algebra ist.) Die Poisson-Klammer-Algebra hat in der Regel nur eine endliche Anzahl von Elementen, da die Poisson-Klammer zweier Größen eine Linearkombination von schon bekannten Erhaltungsgrößen produzieren kann, oder einfach eine Zahl. Beispiel: Drehimpuls-Algebra Betrachte f Punktmassen, miteinander wechselwirkend via einem zentralsymmetrischen Potenzial: mit Gesamtdrehimpuls: Wir wissen bereits : Gesamtdrehimpulsvektor ist eine Erhaltungsgröße (siehe Seite NM17). Laut (15.3) muss folglich gelten: (siehe H19 und Übung!) Die Poisson-Klammer von zwei Komponenten von L (beide Erhaltungsgrößen) liefert: (siehe Übung!) Levi-Civita Fazit: Die 3 Komponenten des Drehimpulses bilden eine geschlossen Algebra mit 3 Elementen. In diesem Beispiel liefert die Poisson-Klammer also keine neuen Erhaltungsgrößen (in anderen Beispielen könnte das aber durchaus passieren!)

4 Beispiel: Zwischenrechnung i: Teilchenindex a: x,y,z Zwischenrechnung (5) in (4) Analog für mit Analog für Analog kann gezeigt werden: (Übung!) Hinweis für Übung:

5 Phasenraum und Liouvillescher Satz Phasenraum = 2f-dimensionaler Raum der gen. Koordinaten und kanonisch konjugierten Impulse. Kenntnis der Dynamik bedeutet: Kenntnis der Trajektorien im Phasenraum (PR), Beispiel: Harmonischer Oszillator Bewegung verläuft periodisch, mit unabhängig v. Anfangsbedingungen. Bewegung im Phasenraum ist analog zur Strömung einer Flüssigkeit, Trajektorien schneiden sich nicht. Welche Eigenschaften hat diese Flüssigkeit? Satz: Liouvillescher Satz: für ein kanonisches System ist der Fluß im Phasenraum volumenerhaltend (divergenzfrei). Beweis: Gegeben sei Volumen im Phasenraum zur Zeit t: Dessen Zeitentwicklung wird beschrieben durch Zeitentwicklung der PR-Koordinaten. Betrachte infinitesimales Zeitinterval: ist Funktion von x Neues Volumen: Variablentransformation zurück zu alten PR-Koordinaten: "Jacobi-Determinante"

6 Mathematischer Satz über Koordinatentransformationen bei Integralen: Für Transformation der Form transformiert das Volumenelement wie folgt, Mit Jacobi-Determinate: (2f x 2f)-dim. Matrix Ende der Aussage des math. Satzes Hier: (23.1) ist durch (22.3) gegeben, also: nutze nun (HG): (4) eingesetzt in (22.5) Hieraus folgt:

7 Ergänzende Bemerkungen zum Liouville-Theorem: a) In der Regel wird ein Gebiet im Phasenraum im Laufe der Zeit stark deformiert. Beispiel: Ebenes mathematisches Pendel Lagrange: Kanonischer Impuls: Hamilton: wie harm. Osz. Hamiltonsche Bewegungsgleichungen: b) Geladenes Teilchen in äußerem Magnetfeld ist ein kanonisches System (Übung!). Anwendung: Fokussierung eines Teilchenstrahls im Beschleuniger - Um bessere Ortsfokussierung des Teilchenstrahls zu erreichen, ist, laut Liouvilleschem Satz, eine breitere Impulsverteilung nötig! Fokussierung Allgemein gilt: Die Dynamik im 2f-dimensionalen Phasenraum ist eingeschränkt durch folgende Eigenschaften: - Trajektorien kreuzen sich nicht - Erhaltungsgrößen (I) schränken Dynamik auf bestimmte Manigfaltigkeiten ein, mit - Liouvillescher Satz gilt.

8 Zusammenfassung - Poisson-Klammern Poisson-Klammer: Dynamik bestimmt durch: (i) Antisymmetrie: (ii) Distribution: (iii) "Jacobi-Identität": (zyklische Vertauschung) (iv) "Faktorisierungszerlegung": Eine nicht explizit zeitabhängige Größe ist genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn die Poisson- Klammer mit H verschwindet: falls gilt Die Poisson-Klammer zweier (nicht explizit zeitabhängiger) Erhaltungsgrößen ist selbst eine (nicht explizit zeitabhängige) Erhaltungsgröße. Beispiel: Drehimpuls im Zentralpotential: Zusammenfassung - Liouvillescher Satz Phasenraum = 2f-dimensionaler Raum der gen. Koordinaten und kanonisch konjugierten Impulse. Kenntnis der Dynamik bedeutet: Kenntnis der Trajektorien im Phasenraum (PR), Die Dynamik im 2f-dimensionalen Phasenraum ist eingeschränkt durch folgende Eigenschaften: - Trajektorien kreuzen sich nicht - Erhaltungsgrößen (I) schränken Dynamik auf bestimmte Manigfaltigkeiten ein, mit - Es gilt der Liouvillescher Satz Liouvillescher Satz: für ein kanonisches System ist der Fluß im Phasenraum volumenerhaltend: In der Regel wird ein Gebiet im Phasenraum im Laufe der Zeit stark deformiert: Bsp: ebenes Pendel