Historisches zur Gruppentheorie

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1 Historisches zur Gruppentheorie Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 20

2 Gruppen: Abstrakte Definition Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung, für die gilt: 1 Assoziativität g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 für alle g 1, g 2, g 3 G. 2 Neutrales Element Es gibt e G G mit g e G = g = e G g für alle g G. 3 Inverse Elemente Für alle g G gibt es g 1 G mit g g 1 = e G = g 1 g. 2 / 20

3 Gruppen als Transformationen Ursprünglich: Eine Gruppe G ist eine Schar von Transformationen, die auf einer Menge M operieren. Permutationen operieren auf den Zahlen {1,..., n} durch Vertauschen. Drehungen, Verschiebungen operieren in der Ebene oder im Raum. Matrizen operieren auf Vektoren. Später: Gruppen werden als eigenständige Objekte - unabhängig von der Menge M - untersucht; dies führt zur abstrakten Definition. 3 / 20

4 Algebraische Gleichungen Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung der Form wobei f ein Polynom f (X ) = 0, f (X ) = X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 mit Koeffizienten a i Q ist. Eine solche Gleichung hat n Lösungen ξ 1,..., ξ n C, d.h. f (ξ j ) = 0 für j = 1,..., n. Kann man eine explizite Formel für die Lösungen ξ 1,..., ξ n angeben? 4 / 20

5 Algebraische Gleichungen Für n = 1, 2, 3, 4 sind explizite Formeln bekannt, z.b. ist für die quadratische Gleichung die p-q-formel bekannt: X 2 + px + q = 0 ξ 1,2 = p 2 ± p 2 4 q Lange war unklar, ob für n 5 eine allgemeine Lösungsformel existiert. Viele Spezialfälle wurde untersucht, u.a. von Lagrange, Vandermonde und Ruffini. 5 / 20

6 Évariste Galois Die endgültige Antwort kam von Évariste Galois ( ). Er bewies, dass es für n 5 keine allgemeine Lösungsformel geben kann. Aber er bewies noch mehr: Galois entwickelte eine Theorie, mit deren Hilfe man für eine algebraische Gleichung bestimmen kann, ob eine Gleichung mit Hilfe von Wurzelausdrücken gelöst werden kann. 6 / 20

7 Galois-Gruppen algebraischer Gleichungen Um seine Theorie zu beweisen, verwendete Galois erstmals ein Struktur, die wir heute als Gruppe bezeichnen: Bekannt war, dass die Lösungen ξ 1,..., ξ n einer Gleichung untereinander algebraische Beziehungen erfüllen müssen: h(ξ 1,..., ξ n ) = 0, wobei h(x 1,..., X n ) ein Polynom in n Variablen ist. Galois erkannte, dass eine Untergruppe von Permutationen aus S n diese Beziehungen unverändert lässt: h(ξ σ(1),..., ξ σ(n) ) = 0 für σ Gal(f ) (die Galois-Gruppe der Gleichung f (X ) = 0). 7 / 20

8 Galois-Gruppen algebraischer Gleichungen Beispiel: Beziehungen zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung X 2 + px + q = 0. Die Lösungen ξ 1 und ξ 2 erfüllen die Formeln von Vieta: ξ 1 + ξ 2 = p, ξ 1 ξ 2 = q, d.h. die algebraischen Beziehungen sind durch die Polynome h 1 (X 1, X 2 ) = X 1 + X 2 + p, h 2 (X 1, X 2 ) = X 1 X 2 q gegeben. 8 / 20

9 Galois-Gruppen algebraischer Gleichungen Beim Lösen einer Gleichung wird der Zahlkörper, in dem man rechnet, schrittweise um Wurzelausdrücke erweitert. So geht man vor, bis alle Lösungen gefunden sind. Galois erkannte nun, dass einem solchen Zwischenschritt eine Untergruppe H von Gal(f ) entspricht. 9 / 20

10 Galois-Gruppen algebraischer Gleichungen Eine Galois-Gruppe wird auflösbar genannt, wenn es eine geeignete Kette von Untergruppen gibt. Gal(f ) H 1 H 2... H k = {id}. Ergebnis von Galois: Eine algebraische Gleichung f (X ) = 0 ist genau dann durch Wurzelausdrücke lösbar, wenn die zugehörige Galois-Gruppe Gal(f ) auflösbar ist. 10 / 20

11 Nach Galois Galois betrachtete nur endliche Gruppen, und auch unter diesen nur die Permutationen. Nach Galois frühem Tod war es vor allem Camille Jordan ( ), der die Theorie der endlichen Gruppen voranbrachte. Er etablierte auch die Bezeichung Gruppe. Die erste abstrakte Definition von Gruppen stammte von Arthur Cayley ( ). Seine Definition fasst die Gruppe als Schar von Transformationen auf einer Menge auf, aber er verlangte nicht die Endlichkeit der Gruppe. 11 / 20

12 Felix Klein Felix Klein ( ) propagierte die systematische Verwendung von Gruppen zu Beschreibung geometrischer Symmetrien. In seinem Erlanger Programm von 1872 schlug Klein vor, verschiedene geometrische Modelle mit Hilfe von Gruppen zu charakterisieren. Eine Geometrie wird festgelegt durch eine Gruppe von geometrischen Transformationen und durch geometrischen Größen, die unter der Operation dieser Gruppe unverändert bleiben. 12 / 20

13 Geometrien und Gruppen Geometrie Gruppe Invarianten Euklidische Geometrie affine Geometrie projektive Geometrie Bewegungen Affinitäten Projektivitäten Abstände Winkel Unterräume Parallelität Teilverhältnis Unterräume Parallelität Teilverhältnis Unterräume Doppelverhältnis 13 / 20

14 Sophus Lie Der norwegische Mathematiker Sophus Lie ( ) inspirierte Klein zu seinem Erlanger Programm. Lie stieß bei der Untersuchung der Transformationen von Geraden und Sphären auf kontinuierliche (also unendliche) Transformationsgruppen, die heute ihm zu Ehren Lie-Gruppen genannt werden. 14 / 20

15 Kontinuierliche Gruppen Analog zur Galois-Theorie für algebraische Gleichungen wollte Lie die Struktur von Differentialgleichungen mit Hilfe von kontinuierlichen Symmetriegruppen untersuchen. Er entdeckte, dass seine Gruppen geometrischen Operationen auf Flächen im Raum (bzw. deren Verallgemeinerungen im n-dimensionalen, sogenannten Mannigfaltigkeiten) entsprechen. Zugleich haben Lie-Gruppen selbst die Struktur einer Mannigfaltigkeit, d.h. Lie-Gruppen können nun selbst wieder als geometrische Gebilde untersucht werden. 15 / 20

16 Beispiele: Lie-Gruppen GL n (R) = lineare Transformationen des R n. SL n (R) = lineare Transformationen, die Volumen und Orientierung erhalten. SO n (R) = Transformationen, die Winkel, Abstände und Orientierung erhalten. Diese Gruppen können durch Matrizen dargestellt werden. 16 / 20

17 Anwendungen: Physik In der Physik beschreiben Gruppen die Symmetrien und Erhaltungsgrößen physikalischer Systeme. Das berühmte Theorem von Emmy Noether ( ) besagt: Zu jeder Symmetrie-Gruppe eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße - und umgekehrt. Beispiele: Ist ein System invariant unter Rotationen, so ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Ist ein System invariant unter Verschiebungen, so ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. 17 / 20

18 Anwendungen: Robotik Transformationen der Koordinatensysteme in den Gelenken eines Roboters liegen in der Bewegungsgruppe des Raumes. Klassisches Problem der inversen Kinematik: Wie sind die Gelenke eines Roboters einzustellen, um eine vorgegebene Zielposition zu erreichen? Dieses Problem lässt sich mit Hilfe von Lie-Gruppen formalisieren. Die geometrische Struktur der Gruppe kann dann Lösungen liefern. 18 / 20

19 Anwendungen: Kombinatorische Probleme Kombinatorische Probleme lassen sich oft mit Hilfe von Permutationen formalisieren. Akademisches Lieblingsbeispiel: Der Rubik-Würfel. σ τ Nummeriert man die 54 Quadrate, so erzeugen die Spielzüge beim Rubik-Würfel eine Untergruppe der S 54. Jeder Zustand des Würfels entspricht einer Permutation. Diese kann man als Produkt der erlaubten Spielzüge darstellen. Durch Inversion dieses Produktes wird der Rubik-Würfel gelöst. 19 / 20

20 J. Bewersdorff Algebra für Einsteiger (Vieweg) MacTutor History of Mathematics B. Hall Lie Groups, Lie Algebras and Representations (Springer) M. Grassl, W. Globke Algorithmen für Gruppen und Codes H. Weyl Symmetry (PUP) 20 / 20