Kubische Gleichungen als Brutkasten komplexer Zahlen

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1 Kubische Gleichungen als Brutkasten komplexer Zahlen Benjamin Klopsch Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf Tag der Forschung November 2006

2 Mathematik macht das Denkbare möglich. Phantasien werden gedanklich geordnet ein Stück menschliche Wirklichkeit.

3 Mathematik macht das Denkbare möglich. Phantasien werden gedanklich geordnet ein Stück menschliche Wirklichkeit.

4 Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten? Von linearen Gleichungen zur Cardanischen Formel Den Wald vor lauter Bäumen sehen Italienische Zauberkunst Probe aufs Exempel und kurze Rückbesinnung Wie schlägt sich die Cardanische Formel? Zahlbereiche und quadratische Ergänzung Komplexe Welten und Symmetrien Von der Zahlenebene zur Steckdose Gleichungen höheren Grades

7 Der Katechismus der Familie Musgrave Sherlock Holmes am Anfang seiner Karriere als Meisterdetektiv: Der Butler der Familie Musgrave interessiert sich plötzlich für die privaten Unterlagen seiner Herrschaft. Kurz darauf verschwindet er spurlos wie auch das Dienstmädchen. Jetzt ist Sherlock Holmes gefragt, den mysteriösen Fall aufzuklären.

8 Fragen und Antworten Holmes: Er händigte mir dies Blatt ein, das du hier vor dir siehst, Watson. Die sonderbaren Fragen und Antworten, die jeder Musgrave hersagen mußte, sobald er volljährig war, lauteten: play stop Wem gehörte sie? Dem, der nicht mehr ist. Wer soll sie haben? Der, welcher kommt. Welcher Monat war es? Der sechste vom ersten. Wo war die Sonne? Über der Eiche. Wo war der Schatten? Unter der Ulme. Wie maß man ihn aus? Nach Norden zehn und zehn,... Was sollen wir dafür geben? All unser Gut. Weshalb geben wir es hin? Weil uns das Pfand vertraut ward.

9 Von Eichen und Ulmen Holmes: Dies war mir eine willkommene Nachricht, Watson, ein Beweis, daß ich den rechten Weg gefunden hatte.... Mit dem Schatten der Ulme müßte das äußerste Ende des Schattens gemeint sein, sonst hätte man den Stamm zur Richtschnur genommen. Es galt demnach, herauszufinden, bis wohin der Schatten fallen würde, sobald die Sonne die Eiche berührte. play stop Watson: Das muß recht schwierig gewesen sein, Holmes, die Ulme war ja nicht mehr da. play stop

10 Von Eichen und Ulmen Holmes: Dies war mir eine willkommene Nachricht, Watson, ein Beweis, daß ich den rechten Weg gefunden hatte.... Mit dem Schatten der Ulme müßte das äußerste Ende des Schattens gemeint sein, sonst hätte man den Stamm zur Richtschnur genommen. Es galt demnach, herauszufinden, bis wohin der Schatten fallen würde, sobald die Sonne die Eiche berührte. play stop Watson: Das muß recht schwierig gewesen sein, Holmes, die Ulme war ja nicht mehr da. play stop

11 Einen Schritt weiter Holmes: Natürlich ließ sich die Rechnung jetzt leicht machen. Wenn eine Rute von 6 Fuß einen 9 Fuß langen Schatten warf, so mußte ein 64 Fuß hoher Baum einen 96 Fuß langen Schatten werfen, und die Richtung beider konnte nur die gleiche sein. Ich maß die Strecke aus, kam dabei fast bis an die Mauer des Hauses und steckte meinen Holzpflock dort fest. play stop

12 Einen Schritt weiter Holmes: Natürlich ließ sich die Rechnung jetzt leicht machen. Wenn eine Rute von 6 Fuß einen 9 Fuß langen Schatten warf, so mußte ein 64 Fuß hoher Baum einen 96 Fuß langen Schatten werfen, und die Richtung beider konnte nur die gleiche sein. Ich maß die Strecke aus, kam dabei fast bis an die Mauer des Hauses und steckte meinen Holzpflock dort fest. In anderen Worten, Sherlock Holmes wendet den Dreisatz an und löst eine lineare Gleichung: play stop 9 6 = x 64 x = 96.

13 Quadratische Gleichungen Schon vor 4000 Jahren waren die Babylonier in der Lage, simultane Gleichungen zu lösen, z. B. 2x + 3y = 7 und xy = 1. Durch Elimination von y (mittels y = 1/x) lassen sich die beiden Gleichungen in eine einzige Gleichung 2x 2 + 7x + 3 = 0 überführen. Das Lösen solcher quadratischer Gleichungen lernen heutzutage Kinder im Schulunterricht: x 1,2 = ± = 7 4 ± 16 = 7 ± 5. 4

16 Die Cardanische Formel Bis ins 19. Jahrhundert hinein bestand das ebenso grundlegende wie schwierige Problem, eine entsprechende Lösungstheorie für Gleichungen höheren Grades zu entwickeln. Den italienischen Mathematikern des 16. Jahrhunderts gelang ein wichtiger Teilerfolg. Die sognannte Cardanische Formel liefert die Lösungen einer allgemeinen kubischen Gleichung. Konkret hat die vereinfachte Gleichung die Lösungen x 1,2,3 = 3 q 2 + x 3 = px + q q 2 4 p q 2 q 2 4 p3 27.

20 Was liefert die Formel in der Praxis? Anwendung der Cardanischen Formel x 1,2,3 = 3 q q p q 2 q 2 4 p3 27 auf x 3 = 15x + 4, das heißt für p = 15 und q = 4, liefert: x 1,2,3 = = Aber was ist 1, geschweige denn die dritte Wurzel aus dem jeweiligen Gesamtausdruck? Ist die Gleichung unlösbar?

25 Wer wagt... Formales Rechnen mit dem Ausdruck 1 ergibt (2 + 1) 3 = (2 + 1) 2 (2 + 1) = ( ( 1)) (2 + 1) = ( )(2 + 1) = ( 1) = Ähnlich erhalten wir (2 1) 3 = Setzen wir dies probeweise in unsere Formel ein! Was ist x 1,2,3 = ?

33 Wer wagt... Formales Rechnen mit dem Ausdruck 1 ergibt (2 + 1) 3 = (2 + 1) 2 (2 + 1) = ( ( 1)) (2 + 1) = ( )(2 + 1) = ( 1) = Ähnlich erhalten wir (2 1) 3 = Setzen wir dies probeweise in unsere Formel ein! x 1 = (2 + 1) + (2 1) = 4.

34 ... gewinnt! Neben x 1 = 4 berechnet man nun leicht die beiden übrigen Lösungen x 2 = und x 3 = 2 3 der Ausgangsgleichung x 3 = 15x + 4. Fazit: Die Cardanische Formel beschert uns ein kleines Wunder. Obschon die betrachtete Gleichung drei ordentliche Zahlen als Lösungen hat, treten bei deren Berechnung komplizierte Wurzelterme auf, deren eigentliche Bedeutung zunächst äußerst unklar bleibt. Insbesondere sind wir darauf angewiesen, mit dem Ausdruck 1 zu rechnen.

37 Vertraute Zahlbereiche Der dem Menschen naheliegendste Zahlbereich ist die Menge der sogenannten natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4,...}. Das Bedürfnis, gewisse Grundrechenarten, nämlich Addition +, Subtraktion, Multiplikation, Division / unbeschränkt auszuführen, bewegt uns, zu dem erweiterten Zahlbereich der sogenannten rationalen Zahlen Q überzugehen. Dieser besteht aus allen mit einem Vorzeichen versehenen Brüchen natürlicher Zahlen, wie z.b Aber die rationalen Zahlen erweisen sich in einer neuen Hinsicht als unvollständig!

41 Trauma-Stunde der Griechen Satz (Irrationalität von 2) Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist. Beweis. Angenommen, x 2 = 2 für x Q. Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch. Dann ist a 2 = 2b 2 eine gerade Zahl. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist, muß schon a gerade sein: a = 2a 0. Einsetzen liefert 4a 2 0 = a2 = 2b 2, also 2a 2 0 = b2. Somit ist auch b gerade. Widerspruch!

48 Das Kontinuum Unserer natürlichen Zeit- und Raumerfahrung entspricht ein kontinuierliches Zahlenspektrum. Dieses ist durch die sogenannten reellen Zahlen gegeben, also durch Fließkommazahlen wie zum Beispiel 2 = oder π = Die reellen Zahlen R stellen wir uns geometrisch als eine in beide Richtungen endlose Zahlengerade vor. Neben den vier Grundrechenarten, die auf R uneingeschränkt ausführbar sind, können wir Wurzeln ziehen, beispielsweise Quadratwurzeln aus allen nicht-negativen reellen Zahlen und Kubikwurzeln aus beliebigen reellen Zahlen.

52 Quadratische Ergänzung Eine Lösungsformel für die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 erhält man durch quadratische Ergänzung: und somit ( x + p ) 2 = x 2 + px + p2 + (q q) 2 4 = (x 2 + px + q) + p2 4 q = p2 4 q x 1,2 = p 2 ± p 2 4 q.

56 Quadratwurzeln aus negativen Zahlen? Bei der Anwendung der Formel x 1,2 = p 2 ± D mit D = p2 4 q für gegebene reelle Parameter p, q treten in Abhängigkeit von D = D(p, q) im wesentlichen drei Fälle auf. Ist D > 0, so gibt es zwei reelle Lösungen x 1 x 2. Ist D = 0, so fallen x 1 und x 2 zu einer einzigen reellen Lösung zusammen. Ist D < 0, so gibt es keine reellen Lösungen.

60 imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i z = i reelle Achse reelle Achse imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i z = i w = i w = i z = i reelle Achse z + w = i reelle Achse Die Gaußsche Zahlenebene Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten Gaußschen Zahlenebene C erweitern. Sie besteht aus allen formalen Ausdrücken x + yi mit x, y R, den sogenannten komplexen Zahlen. Das Symbol i heißt imaginäre Einheit und wird als 1 interpretiert: Mit komplexen Zahlen läßt sich unter Beachtung der Regel i 2 = 1 wunderbar rechnen: Die vier Grundrechenarten setzen sich von R auf C fort und erlauben eine geometrische Beschreibung.

63 Komplexe Zahlen aus der Steckdose Elektrischer Wechselstrom läßt sich vorteilhaft unter Verwendung komplexer Zahlen beschreiben. Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen Größen etc.

80 imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i ~ 3.2 ~ 53 Grad w = i z = i z = i reelle Achse reelle Achse imaginäre Achse 1 imaginäre Achse 1 2i i i 2i i i ~ 1.3 w = i z = i ~ 3.2 w = i ~ 3.6 z = i reelle Achse z w = i reelle Achse Multiplikation und Wurzelziehen Jeder komplexen Zahl z sind eine Länge l z und eine Winkelrichtung ϕ z zugeordnet, die wiederum z eindeutig bestimmen. Die Länge l z ist eine nicht-negative reelle Zahl; die Winkelrichtung ϕ z kann z. B. in Grad gemessen werden und erfüllt dann 0 ϕ z < 360. Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt sich, indem man ihre Längen multipliziert und ihre Winkelrichtungen addiert. Ist z 0 eine komplexe Zahl, so gibt es für jedes n N somit genau n komplexe Zahlen w 1,..., w n, die die Gleichung w n = z lösen. w 4 w 3 imaginäre Achse i 6 w = i w 2 w 5 w 6 w 1 reelle Achse

84 Reductio ad absurdum Lagrange analysiert 1771 die bekannten Lösungsverfahren und resümiert, es sei sehr zweifelhaft, daß die [... ] Methoden eine vollständige Auflösung der Gleichungen fünften Grades geben können, um so weniger höheren Grades. Gauß schreibt 1801, im Zusammenhang mit der Konstruktion regelmäßiger Vielecke:... es bleibt kaum zweifelhaft, daß dieses Problem nicht sowohl die Kräfte der heutigen Analysis übersteigt, als vielmehr etwas Unmögliches erreichen will. Satz (Niels Henrik Abel 1824) Es ist unmöglich die allgemeine Gleichung fünften Grades durch Wurzelausdrücke zu lösen.

87 Auf die Vertauschungen kommt es an... Wie entscheiden wir nun, ob eine spezielle Gleichung sich durch Wurzelausdrücke lösen läßt? Die Koeffizienten a 1,..., a n einer Gleichung x n + a 1 x n a n 1 x + a n = 0 lassen sich als symmetrische Polynome in den gesuchten Lösungen darstellen. Um umgekehrt diese Lösungen x 1,..., x n mit Hilfe von a 1,..., a n zu bestimmen, bedarf es einer Methode, um Symmetrien zu brechen. Dies kann zum Beispiel durch das Ziehen von Wurzeln geschehen. Lagrange erkannte, daß es dabei vorteilhaft ist, gewisse Vertauschungen der gesuchten Lösungen zu betrachten.

91 Mit Symmetrien rechnen Évariste Galois ( ) entdeckte, daß jede vorgegebene Gleichung unter allen möglichen Permutationen der gesuchten Lösungen eine gewisse endliche Gruppe von Vertauschungsabbildungen auszeichnet. Mit Vertauschungen kann man wie mit Zahlen rechnen. Diese Form der Multiplikation gibt der ausgezeichneten Gruppe die entscheidende Struktur: An ihr läßt sich ablesen, ob die Anfangsgleichung durch Wurzelausdrücke gelöst werden kann. Ein erstaunlicher Erfolg der jüngeren Mathematikgeschichte besteht in der vollständigen Klassifikation aller endlichen Gruppen, die sich nicht in kleinere Bestandteile zerlegen. nochmals Holmes... play stop