Zusammenfassung: Geometrie.

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1 Zusammenfassung: Geometrie. Gabriele Nebe und Sebastian Thomas Lineare Algebra II, WS 2009/10 nach dem Skript von Prof. W. Plesken

2 Affine Geometrie Definition. Ein affiner Raum ist eine Menge A, auf der ein K-Vektorraum V regulär operiert. Genauer ist ein affiner Raum ein Tripel (A, V, τ) mit τ : V A A, (V, P ) τ V (P ) =: P + V. V heißt auch der Translationsraum von A. Jeder Punkt P A liefert also eine Bijektion V A, V P + V. Daher definiert man die Dimension Dim A := Dim V. Der eindeutig bestimmte Vektor V V mit τ V (P ) = Q wird mit P Q bezeichnet. Definition. Eine Teilmenge B A heißt affiner Teilraum von A, falls T(B) := { P Q P, Q B} ein Teilraum von T(A) ist.

3 Der affine Standardraum Ist Ṽ ein K-Vektorraum mit ϕ Ṽ \ {0}, so setzen wir A ϕ (Ṽ) := ϕ 1 ({1}). Für P A ϕ (Ṽ) und V V := Kern(ϕ) ist P + V Aϕ(Ṽ) und (A ϕ (Ṽ), V, τ) ist ein affiner Raum. Ist Ṽ = K(n+1) 1 und ϕ (K (n+1) 1 ) die Projektion auf die letzte Komponente, so heißt ( ) A n (K) := A ϕ (K (n+1) 1 X ) = { X K n 1 } 1 der n-dimensionale affine Standardraum.

4 Affine Abbildungen Definition. Seien A, A affine Räume über den K-Vektorräumen V, V. f : A A heißt affine Abbildung, falls eine lineare Abbildung f : V V existiert mit f(p )f(q) = f( P Q) für alle P, Q A. f heißt auch der lineare Anteil von f. Bemerkung. Seien A, A affine Räume mit Translationsvektorraum V = T(A) und V = T(A ) und P 0 A fest gewählt. Jede affine Abbildung f : A A ist eindeutig festgelegt durch ihren linearen Anteil f und f(p 0 ). Für jeden Punkt Q 0 A und jede lineare Abbildung ϕ : V V gibt es genau eine affine Abbildung f : A A mit f(p 0 ) = Q 0 und f = ϕ. Es ist f injektiv (surjektiv, bijektiv), genau dann, wenn f injektiv (surjektiv, bijektiv) ist.

5 Die affine Gruppe Definition. Aff(A) := {f : A A f affin und bijektiv} ist bzgl. Komposition eine Gruppe, genannt die affine Gruppe von A. Aff(A) GL(T(A)) : f f ist ein Epimorphismus von Gruppen mit Kern {τ V V T(A)} = T(A). In Matrizen. Aff(A n (K)) kann ( mit der ) Matrixgruppe A t Aff n (K) := { A GL 0 1 n (K), t K n 1 } GL n+1 (K) identifiziert werden. Anwenden der affinen Abbildungen übersetzt sich in Linksmultiplikation mit der entsprechenden Matrix.

6 Affine Unabhängigkeit Definition. P A k heißt affin unabhängig, falls für jeden affinen Raum A über K und jedes Tupel Q (A ) k eine affine Abbildung f : A A mit f(p i ) = Q i für i {1,..., k} existiert. Ein maximal affin unabhängiges System P in A heißt auch affine Basis von A. Ist A = A ϕ (Ṽ) für ϕ Ṽ \ {0}, so ist P A k affin unabhängig genau dann, wenn P Ṽk linear unabhängig ist. Ist Dim(A) = Dim(Ṽ) 1 = n, so ist P eine affine Basis von A genau dann, wenn k = n + 1, also genau dann, wenn P eine Basis von Ṽ ist. Satz. Ist A ein endlich-dimensionaler affiner Raum, so operiert Aff(A) regulär auf der Menge der affinen Basen von A.

7 Invarianten der affinen Gruppe Punkte, Punktepaare, Tripel. Aff(A) ist transitiv auf A. Aff(A) hat genau zwei Bahnen auf A A, die Menge A 2 gen der affin unabhängigen Paare und {(P 1, P 1 ) P 1 A}. Aff(A) operiert transitiv auf der Menge A 3 gen der affin unabhängigen Tripel in A 3 (nicht entartete Dreiecke), falls Dim(A) > 1. Eine trennende Invariante für die Operation von Aff(A) auf der Menge A 3 spez := {P = (P 1, P 2, P 3 ) A 3 P 1 P 2, P kollinear} ist das Teilverhältnis. Dabei ist das Teilverhältnis TV(P ) von P A 3 spez definiert als das eindeutige a K mit P 1 P 3 = a P 1 P 2.

8 Klausurtypische Fragestellungen der affinen Geometrie Test auf affine Unabhängigkeit Bestimmung affiner Basen und der Dimension affiner Unterräume gegenseitige Lage affiner Unterräume (parallel, windschief,...) Bestimmung des Schnitts affiner Unterräume Bestimmung affiner Abbildungen bei vorgegebenen Werten Berechnung von Teilverhältnissen Test auf Affinität bei vorgegebenen Mengen und Abbildungen einfache geometrische Beweise

9 Beispiele für Themen in der Zwischenprüfung Definition und Beispiel für affinen Raum Definition und Beispiel für affinen Teilraum Definition und Beispiel für affine Abbildungen Bahnen der affinen Gruppe Invarianten für Operationen der affinen Gruppe Definition affin unabhängig, affines Erzeugnis Definition und Umgang mit Koordinaten kleinere Beweise

10 Euklidische affine Geometrie Definition. Ein euklidischer affiner Raum E ist ein endlich-dimensionaler reeller affiner Raum, dessen Translationsraum V = T(E) ein euklidischer Vektorraum, also mit einem positiv definiten Skalarprodukt Φ ausgestattet, ist. Die euklidische Metrik d auf E ist definiert durch d : E E R : (P, Q) Φ( P Q, P Q) = P Q. Sind E, E euklidische affine Räume, so heißt eine affine Abbildung f : E E isometrische Einbettung, falls sie die Metriken respektiert, also d(p, Q) = d (f(p ), f(q)) für alle P, Q E, wobei d die euklidische Metrik von E ist. Ist f noch zusätzlich surjektiv, also bijektiv, so heißt f Isometrie. Iso(E) = {f : E E f Isometrie} heißt die euklidische Bewegungsgruppe von E.

11 Der euklidische affine Standardraum E n := A n (R) mit dem Standardskalarprodukt auf T(A n (R)) = R n 1. ( ) ( ) a b d(, ) = n 1 1 i=1 (a i b i ) 2 ( ) Iso(E n ) A t = Iso n (R) := { A O(n, R), t R 0 1 n 1 } Orthonormale k-beine. Ein k + 1-Tupel P E k+1 mit ( P 0 P 1,..., P 0 P k ) ONSystem in T(E) heißt orthonormales k-bein in E. Ist Dim(E) = n, so ist E = E n, genauer liefert jedes orthonormale n-bein (P( 0, P) 1,..., P n ) ( E n+1 ) eine Isometrie κ : E E n durch 0 ei κ(p 0 ) :=, κ(p 1 i ) :=. 1

12 Euklidische affine Geometrie Satz. Es gibt orthonormale k-beine in E genau dann, wenn k Dim E = n. Jedes orthonormale k-bein kann zu einem orthonormalen n-bein ergänzt werden (Gram-Schmidt). Jeder affine Teilraum eines affinen euklidischen Raumes ist wieder ein euklidischer Raum und die natürliche Inklusion ist eine isometrische Einbettung. (Wittscher Fortsetzungssatz) Jede Isometrie von einem affinen Teilraum eines EUKLIDischen Raumes E auf einen anderen lässt sich zu einer Isometrie von E auf sich fortsetzen. Für f Aff(E) ist f Iso(E) genau dann, wenn f O(T(E)), Iso(E) operiert regulär auf der Menge der orthonormalen n-beine in E, wenn n = Dim(E).

13 Operation auf Punkten Abstand, Teilverhältnis, Kongruenzsätze. Eine trennende Invariante der Operation von Iso(E) auf E E ist der Abstand. auf E 3 spez = {(P 1, P 2, P 3 ) E 3 P 1 P 2, (P 1, P 2, P 3 ) kollinear} ist der Abstand und das Teilverhältnis: d(p 1, P 2 ), TV(P 1, P 2, P 3 ). auf nicht entarteten Dreiecken sind gegeben durch die Kongruenzsätze, z.b. (SSS) d(p 1, P 2), d(p 2, P 3), d(p 3, P 1) oder (WSW) (P 1, P 2, P 3), d(p 1, P 2), (P 3, P 1, P 2).

14 Operation auf Teilräumen Operation auf Teilräumen. Iso(E) operiert transitiv auf der Menge der k-dimensionalen affinen Teilräume von E. Iso(E) operiert auf der Menge TR(E, k, l) := {(B, C) Dim(B) = k, Dim(C) = l}. Eine trennende Invariante der Operation ist gegeben durch Abstand und Hauptwinkel der Translationsräume TR(E, k, l) R 0 R min(k,l), (B, C) (d(b, C), A(B, C))

15 Klausurtypische Fragestellungen der euklidischen affinen Geometrie Bestimmung des Abstands affiner Unterräume Bestimmung von orthogonalen und orthonormalen Beinen Bestimmung von Längen und Winkeln im Dreieck Test einer Abbildung auf Isometrie einfache geometrische Beweise

16 Beispiele für Themen in der Zwischenprüfung Definition und Beispiel euklidischer affiner Räume und Teilräume Definition von Isometrie Invarianten der Bewegungsgruppe Iso(E) Kongruenzsätze kleinere Beweise Vergleich mit affiner Geometrie

17 Projektive Geometrie Definition. Sei Ṽ {0} ein K-Vektorraum, n + 1 := Dim(Ṽ). P(Ṽ) := { V V Ṽ \ {0}} heißt der projektive Raum zu Ṽ. Dim P(Ṽ) := n. f : P(Ṽ) P( W) heißt projektive Abbildung, falls eine injektive lineare Abbildung f : Ṽ W existiert mit Wir schreiben f =: [ f]. f( V ) = f(v ) für alle V Ṽ \ {0}. Eine bijektive projektive Abbildung heißt Projektivität. Die Gruppe aller Projektivitäten von P(Ṽ) auf sich wird mit PGL(Ṽ) bezeichnet und heißt die projektive lineare Gruppe von Ṽ. [ ] : GL(Ṽ) PGL(Ṽ), f [ f] ist ein Epimorphismus von Gruppen. Es ist [ ] 1 ({[ f]}) = {a f 0 a K}.

18 Der projektive Standardraum Die Punkte von P n (K) := P(K (n+1) 1 ) werden mit a 1 a 2 (a 1 : a 2 :... : a n+1 ) :=. a n+1 bezeichnet. Beachte (ka 1 : ka 2 :... : ka n+1 ) = (a 1 : a 2 :... : a n+1 ) für alle k K. Die Elemente von PGL(K (n+1) 1 ) =: PGL n+1 (K) werden durch Matrizen aus GL n+1 (K) repräsentiert, welche bis auf Vielfache mit Elementen ( aus K festgelegt sind. a ɛ : A n (K) P n (K), (a 1) 1 :... : a n : 1) ist eine Einbettung des affinen Raums in den projektiven Raum mit P n (K) = Bild(ɛ) {(a 1 :... : a n : 0) (a 1 :... : a n ) P n 1 (K)} ( ) [ ] A t A t ˆɛ : Aff n (K) PGL n+1 (K), ist injektiv

19 Projektive Koordinatensysteme und Teilräume Definition. Sei Ṽ ein K-Vektorraum. Eine Projektivität von P(Ṽ) auf P n(k) ist ein projektives Koordinatensystem von P(Ṽ). Definition. Eine Teilmenge U P(Ṽ) heißt projektiver Teilraum von P(Ṽ), falls Ũ := {V V U} {0} ein Teilraum von Ṽ ist. Dann ist U = P(Ũ) und Dim(U) = Dim(Ũ) 1. Sind P 0,..., P k P(Ṽ), so definiert man das projektive Erzeugnis P 0,..., P k p := P( P 0... P k ). Dimensionsformel. Für projektive Teilräume U, W P(Ṽ) gilt genauso wie für Teilräume von Vektorräumen die Dimensionsformel Dim U + Dim W = Dim(U W) + Dim U W p.

20 Projektive Unabhängigkeit und projektive Basen Definition. Ein k-tupel P P(Ṽ)k heißt projektiv unabhängig, falls es einen (k 1)-dimensionalen projektiven Teilraum erzeugt. Ist Dim(P(Ṽ)) = n, so heißt ein (n + 2)-Tupel P P(Ṽ)n+2 eine projektive Basis, wenn jedes (n + 1)-Tupel, welches durch Weglassen eines Punktes P i entsteht, immer projektiv unabhängig ist. Projektive Basen. Sei Dim(Ṽ) = n + 1 und P 1,... P n+2 P(Ṽ). Äquivalent sind: (P 1,..., P n+2 ) ist eine projektive Basis von P(Ṽ). P i = B i für i {1,..., n + 1} für eine Basis (B 1,..., B n+1 ) von Ṽ und P n+2 = n+1 i=1 a ib i mit allen a i 0. Es gibt genau ein projektives Koordinatensystem κ : P(Ṽ) P n(k) mit κ(p i ) = e i für i {1,..., n + 1} und κ(p n+2 ) = e e n+1.

21 Invarianten der projektiven Gruppe Satz Sei Dim P(Ṽ) = n. PGL(Ṽ) operiert transitiv auf P(Ṽ)n+1 gen := {P P(Ṽ)n+1 P p = P(Ṽ)} mit nicht-trivialem Stabilisator Stab PGL( Ṽ) (P ) für jedes P P(Ṽ)n+1 gen. PGL(Ṽ) operiert regulär auf der Menge der projektiven Basen P P(Ṽ)n+2.

22 Invarianten der projektiven Gruppe Doppelverhältnis. PGL(Ṽ) operiert auf P(Ṽ)4 spez := {P P(Ṽ)4 P 1, P 2 p = P 1, P 3 p = P 2, P 3 p = P p {P 1 }} mit dem Doppelverhältnis DV als trennende Invariante, wobei DV(P ) := a b, falls (a : b) das Bild von P 4 unter der Projektivität P p P(1, K) ist, die (P 1, P 2, P 3 ) auf ((1 : 0), (0 : 1), (1 : 1)) abbildet. Zusammenhang Doppelverhältnis und Teilverhältnis. Für P A 1 (K) 3 spez TV(P 1, P 2, P 3 ) = DV((1 : 0), P 1, P 2, P 3 ).

23 Das Dualitätsprinzip Sei Ṽ ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Die Annihilatorkorrespondenz W W := {f Ṽ f(w ) = 0 für alle W W} ist eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen der Menge der Teilräume von Ṽ und denen von Ṽ, die eine entsprechende Korrespondenz für die projektiven Räume P(Ṽ) = P(Ṽ ) induziert. Punkt Hyperebene k-dim proj. Teilraum (n k 1)-dim. proj. Teilraum enthält ist enthalten Durchschnitt projektives Erzeugnis Zu jedem Satz gehört ein entsprechender dualer Satz. Beispiel: In jeder projektiven Ebene schneiden sich zwei verschiedene Geraden in genau einem Punkt. Duale Aussage: In jeder projektiven Ebene ist das projektive Erzeugnis zweier verschiedener Punkte eine Gerade.

24 Der Satz von Desargues und sein dualer Sei Dim P(Ṽ) = 2. Satz von Desargues. Seien S, P, Q, R, P, Q, R P(Ṽ) sieben Punkte so, dass S, P, P p, S, Q, Q p und S, R, R p drei Geraden sind. Dann sind die Punkte in P, Q p P, Q p, Q, R p Q, R p und P, R p P, R p kollinear. Duale Aussage. Es seien sieben Geraden s, p, q, r, p, q, r in P(Ṽ) so gegeben, dass sich s, p, p und s, q, q sowie s, r, r in jeweils einem Punkt schneiden. Dann gehen (p q) (p q ) p, (q r) (q r ) p und (p r) (p r ) p durch einen gemeinsamen Punkt.

25 Klausurtypische Fragestellungen der projektiven Geometrie Test auf projektive Unabhängigkeit Bestimmung projektiver Basen und der Dimension projektiver Unterräume Bestimmung des Schnitts projektiver Unterräume Bestimmung projektiver Abbildungen bei vorgegebenen Werten Berechnung von Doppelverhältnissen Test auf Projektivität bei vorgegebenen Mengen und Abbildungen einfache geometrische Beweise

26 Beispiele für Themen in der Zwischenprüfung Definition und Beispiel projektiver Raum und Teilraum Definition projektive Unabhängigkeit und projektive Basis Definition projektive Abbildung, PGL(Ṽ) Invarianten der projektiven Gruppe Vergleich mit affiner Geometrie kleinere Beweise

27 Projektive Quadriken Definition. Sei Ṽ {0} ein K-Vektorraum. Ist Φ Bifosym(Ṽ) eine symmetrische Bilinearform, so heißt die Abbildung q Φ : Ṽ K : V Φ(V, V ) eine quadratische Form auf Ṽ und Null p (q Φ ) := { V P(Ṽ) q Φ(V ) = 0} heißt die projektive Quadrik zu q Φ. Äquivalenz projektiver Quadriken. GL(Ṽ) operiert auf Bifosym(Ṽ) durch (g, Φ) gφ mit gφ : Ṽ Ṽ K : (V, W ) Φ(g 1 (V ), g 1 (W )), so dass gilt: Null p (q gφ ) = g(null p (q Φ )).

28 Reelle projektive Quadriken Projektive Hauptachsentransformation. Sei K := R. Die Bahnen von GL(Ṽ) auf Bifosym(Ṽ) haben die Signatur (a +, a, a 0 ) mit a + + a + a 0 = Dim Ṽ als trennende Invariante. Die resultierenden Bahnen auf {Null p (q Φ ) Φ Bifo sym (Ṽ)} sind dadurch gekennzeichnet, dass a + und a noch zusätzlich vertauscht werden können. Zweidimensionale reelle projektive Quadriken Signatur (a +, a, a 0 ) Nullstellenmenge Vertreter (3, 0, 0), (0, 3, 0) leer Null p (x x x 2 3) (2, 1, 0), (1, 2, 0) Kegel Null p (x x 2 2 x 2 3) (2, 0, 1), (0, 2, 1) Punkt Null p (x x 2 2) (1, 1, 1) Geradenpaar Null p (x 2 1 x 2 2) (1, 0, 2), (0, 1, 2) (Doppel-)gerade Null p (x 2 1) (0, 0, 3) proj. Ebene Null p (0)

29 Dreidimensionale reelle projektive Quadriken Signatur (a +, a, a 0 ) Nullstellenmenge Vertreter (4, 0, 0), (0, 4, 0) leer Null p (x x x x 2 4) (3, 1, 0), (1, 3, 0) Kegel Null p (x x x 2 3 x 2 4) (2, 2, 0) Kegel Null p (x x 2 2 x 2 3 x 2 4) (3, 0, 1), (0, 3, 1) Punkt Null p (x x x 2 3) (2, 1, 1), (1, 2, 1) zylindrischer Kegel Null p (x x 2 2 x 2 3) (2, 0, 2), (0, 2, 2) Gerade Null p (x x 2 2) (1, 1, 2) Ebenenpaar Null p (x 2 1 x 2 2) (1, 0, 3), (0, 1, 3) (Doppel-)Ebene Null p (x 2 1) (0, 0, 4) proj. Raum Null p (0)

30 Affine Quadriken Polynomfunktionen. Sei A ein affiner Raum über K. ( ) X(P ) Ist f : A A n (K) : P ein affines 1 Koordinatensystem von A, so definiert ɛ : K[x 1,..., x n ] K A : x i X i einen K-Algebrenhomomorphismus (Einsetzungshomomorphismus), dessen Bild K[X 1,..., X n ] die K-Algebra der Polynomfunktionen von A heißt. K[X 1,..., X n ] ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Für M K[X 1,..., X n ] heißt Null a (M) := {P A f(p ) = 0 für alle f M} die Nullstellenmenge von M.

31 Affine Quadriken Äquivalenz affiner Nullstellengebilde. Aff(A) operiert auf K[X 1,..., X n ] durch Algebrenautomorphismen vermöge (g, p) p g 1 Dabei gilt Null a (gp) = g(null a (p)). Sei in K. Polynome vom Grad 2. p(x 1,..., x n ) = n i=1 F iix 2 i + i<j 2F ijx i x j + n i=1 2f ix i + c K[x 1,..., x n ] 2. Dann ist ( F f p(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n, 1) f tr c ) x 1. x n 1

32 Affine Quadriken Operation von Aff n (K) auf Polynomen von Grad 2. µ : K (n+1) (n+1) sym K[x 1,..., x n ] 2 : M p M p M (x 1,..., x n ) := (x 1,..., x n, 1)M x 1. x n 1 K[x 1,..., x n ] ist ein Vektorraumisomorphismus auf den Raum der Polynome vom Grad 2. Aff n (K) operiert auf K (n+1) (n+1) sym durch (g, M) g tr Mg 1, und µ ist mit der Operation von Aff n (K) vertauschbar.

33 Homogenisierung Definition. Sei p K[x 1,..., x n ]. Die Homogenisierung von p ist das eindeutige Polynom p h = p h (x 1,..., x n+1 ) K[x 1,..., x n+1 ], welches sich aus p dadurch ergibt, dass man jedes vorkommende Monom m durch grad p grad m mxn+1 ersetzt. Satz. Sei Ṽ ein K-Vektorraum und ϕ Ṽ \ {0}. Weiter sei κ : P(Ṽ) P n(k) ein homogenes Koordinatensystem, welches sich auf ein affines Koordinatensystem A ϕ (Ṽ) A n(k) einschränkt. Für p K[x 1,..., x n ] \ {0} gilt p = p h (x 1,..., x n, 1) und daher Null(p h ) A ϕ (Ṽ) = Nulla (p).

34 Klassifikation der reellen affinen Quadriken Definition. Eine affine Quadrik ist die Nullstellenmenge Null a (p) für eine quadratische Polynomfunktion p K A. Affine Hauptachsentransformation. Sei Q A n (R) eine affine Quadrik. Dann finden wir ein Koordinatensystem von A n (R) so, dass eine Gleichung von Q in diesen Koordinaten eine der folgenden ist: p n,r,s,ɛ,τ := r x 2 i i=1 r+s i=r+1 x 2 i + 2ɛx n + τ R[x 1,..., x n ] mit r + s n, 0 < r s 0, ɛ {0, 1} mit ɛ = 0 falls r + s = n, τ { 1, 0, 1} mit τ = 0 falls ɛ = 1. Mit dieser Maßgabe sind nur die folgenden Möglichkeiten bei nicht leeren Quadriken äquivalent: p n,r,r,ɛ,τ und p n,r,r,ɛ, τ. Die leeren Quadriken korrespondieren zu den Fällen (s, ɛ, τ) = (0, 0, 1).

35 Dreidimensionale reelle affine Quadriken (r, s, ɛ, τ) Nullstellenmenge Vertreterpolynom (3, 0, 0, 1) Ellipsoid x x x (2, 1, 0, 0) Doppelkegel x x 2 2 x 2 3 (2, 1, 0, 1) einschaliges Hyperboloid x x 2 2 x (2, 1, 0, 1) zweischaliges Hyperboloid x x 2 2 x (2, 0, 0, 1) elliptischer Zylinder x x (2, 0, 1, 0) elliptisches Paraboloid x x x 3 (1, 1, 0, 1) hyperbolischer Zylinder x 2 1 x (1, 1, 0, 0) sich schneidendes Ebenenpaar x 2 1 x 2 2 (1, 1, 1, 0) hyperbolisches Paraboloid x 2 1 x x 3 (1, 0, 0, 1) paralleles Ebenenpaar x (1, 0, 1, 0) parabolischer Zylinder x x 3

36 Klassifikation der reellen euklidischen Quadriken Euklidische Hauptachsentransformation. Sei Q E n eine Quadrik. Dann finden wir ein orthonormales Koordinatensystem von E n, so dass eine Gleichung von Q in diesen Koordinaten eine der folgenden ist: p n,r,s,a,b,ɛ,τ := r (x i /a i ) 2 i=1 r+s i=r+1 (x i /b i ) 2 + 2ɛx n + τ R[x 1,..., x n ] mit r + s n, 0 < r s, ɛ {0, 1} mit ɛ = 0 falls r + s = n, τ { 1, 0, 1} mit τ = 0 falls ɛ = 1 und a = (a 1,..., a r ) (R >0 ) r, b = (b r+1,..., b r+s ) (R >0 ) s beide monoton steigend. Erzeugt die Quadrik ganz E n als affinen Raum, so sind die a i und b i durch die Quadrik eindeutig bestimmt.

37 Klausurtypische Fragestellungen für Quadriken Bestimmung der Normalform affiner (projektiver) Quadriken und Angabe des Typs Bestimmung des Schnitts affiner (projektiver) Quadriken Bestimmung des Schnitts einer affinen (projektiven) Quadrik mit einem affinen (projektiven) Teilraum Bestimmung der Tangenten einer affinen (projektiven) Quadrik in einem vorgegebenen Punkt

38 Beispiele für Themen in der Zwischenprüfung. Wiedererkennen einer gegebenen Quadrik Skizze (affin, projektiv) Prinzip der Homogenisierung mit Beweis Operation der affinen Gruppe auf der Polynomalgebra Operation der projektiven Gruppe auf homogenen Polynomen kleinere Beweise