Musterlösung Klausur zur Linearen Algebra II

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1 Musterlösung Klausur zur Linearen Algebra II Samstag 8. Juli 6 -Uhr. a) Sei f : V W k-linear. Denieren Sie V und f : W V. b) Die Gruppe G operiere auf der Menge M. Denieren Sie die Bahn und die Isotropiegruppe von m M. c) Was besagt der Homomorphiesatz für Vektorräume? d) Wie lautet der Satz über die RNF? (Der Begri Begleitmatrix wird dabei als bekannt vorausgesetzt). a) V = Hom(V, k), f : W V, ϕ ϕ f b) Sei : G M M eine Gruppenoperation, dann heiÿt die G-Bahn von m und die Isotropiegruppe von m M. G m := {g m g G} G m := {g G g m = m} c) Ist f : V W linear, dann gibt es genau eine lineare Abbildung f, so daÿ das folgende Diagramm kommutiert: V π f V/ Kern f f W i Bild f Auÿerdem ist f ein Isomorphismus. d) Sei k ein Körper. Jede Matrix A k n n ist zu genau einer Matrix R A in rationaler Normalform konjugiert und diese Matrix läÿt sich durch endlich viele rationale Rechenoperationen aus A berechnen. Eine Matrix R heiÿt in rationaler Normalform, wenn sie die folgende Gestalt hat: R = B(P ) B(P ) B(P k ) Wobei die P i k[x], i =,..., k normierte und nicht konstante Polynome sind mit P i+ P i für i =,..., k. Die Matrizen B(P i ) sind dabei die Frobenius- Begleitmatrizen zu den Polynomen P i.

2 . Für die symmetrische Matrix A = betrachte man die symmetrische Bilinearform b: R 3 R 3 R mit b(x, y) = x T Ay. 3. Sei a) Bestimmen Sie die Signatur von b und eine Orthogonalbasis für b. b) Schreiben Sie q(x) = b(x, x) als 3 j= a j(l j (x)) mit geeigneten a j R und Linearformen L j : R 3 R. Die Signatur von A ist also (; ) und bilden eine Orthogonalbasis für b. Setze: D =, S = man berechnet/sieht Damit ist dann also S :=,, q A (x) = x T (S ) T DS x = q D (S x) = (x ) + (x ) ( x + x + x 3 ) A := C 3 3 Berechnen Sie µ A,e, µ A, χ A, die RNF R von A, eine JNF J von A sowie ein S GL 3 (C) mit S AS = R. e =, Ae = e =, A e =, A 3 e = e = = Ae.

3 Also ist µ A,e = X 3 X = X(X + )(X ). Weiterhin gilt µ A,e µ A χ A. Weil µ A,e und χ A schon den gleichen Grad haben, haben alle drei Polynome den gleichen Grad. Weiterhin sind diese drei Polynome normiert, also sind alle diese Polynome gleich, d.h. µ A,e = µ A = χ A. Jetzt ist also und mit R = B(µ A ) = B(X 3 X) = S = [ ] e Ae A e = haben wir R = S AS. Auÿerdem hat µ A keine mehrfachen Nullstellen, also ist A diagonalisierbar und eine Jordannormalform J von A ist dann J =. 4. Sei A := C4 4. Berechnen Sie eine JNF J zu A und eine Matrix S GL n (C) mit S AS = J. (Tip: A hat nur die Eigenwerte und ). Man berechnet Kern A = e +e 4 und Kern(A E) = e e +e 4, Kern((A E) ) = e, e + e 4 und Kern((A E) 3 ) = e, e 3, e + e Also ist J = eine Jordannormalform von A und mit S = [ e 3 (A E)e 3 (A E) e 3 e + e 4 ] = erhalten wir also S AS = J. 3

4 . Sei V ein k-vektorraum, U V ein Untervektorraum und π : V V/U die kanonische Projektion. Beweisen Sie direkt ohne Sätze aus dem Kapitel über Dualräume: a) π ist injektiv. b) Bild π = U = {χ V χ(u) = } a) Wir bestimmen dazu Kern π. Sei nun ϕ Kern π, daÿ heiÿt π (ϕ) = ϕ π = ist die Nullabbildung. Also ist ϕ(π(v)) = für alle v V. Da π aber surjektiv ist, ist ϕ( v) = für alle v V/U. Also ist ϕ = und damit ist π injektiv. b) Ist u U, dann ist natürlich (ϕ π)(u) = ϕ() = für alle ϕ (V/U). Ist umgekehrt χ U, dann ist U Kern χ. Nach dem Homomorphiesatz gibt es dann genau eine Linearform φ: V/U k mit φ π = χ. Also ist χ Bild(π ). 6. Sei V ein endlich dimensional k-vektorraum. P End k V heiÿt Projektor, falls P = P gilt. a) Zeigen Sie: Genau dann ist P ein Projektor, wenn es ein Koordinatensystem φ von V gibt mit [ ] Er M φ (P ) = Dabei ist r = Rang P und E r die Einheitsmatrix in k r r. b) Zeigen Sie: Ist P Q = QP für zwei Projektoren P und Q, so ist auch P Q ein Projektor. Dabei gilt Bild(P Q) = Bild P Bild Q und Kern(P Q) = Kern(P ) + Kern(Q). c) Geben Sie ein Beispiel von Projektoren P, Q an, wo P Q ein Projektor ist, aber P Q QP gilt. a) Da P P = ist, ist µ P ein Teiler von X X = X(X ). Da µ P also keine mehrfachen Nullstellen hat, ist P diagonalisierbar und die Eigenwerte liegen in {, }. Also gibt es ein gesuchtes Koordinatensystem. Weil der Rang unter Konjugation invariant ist, ist natürlich Rang A = r. b) Ist P Q = QP, dann ist (P Q) = P QP Q = P Q = P Q, also ist auch P Q ein Projektor. Auÿerdem sehen wir: Kern P Kern(QP ) = Kern(P Q) Kern(Q) Bild P Bild(P Q) = Bild(QP ) Bild(P ) Für ein x Kern(P Q) ist dann also x = (x Q(X))+Q(X), wobei (x Q(x) Kern(Q) und Q(x) Kern(P ). Damit ist also Kern(P Q) = Kern(P )+ Kern(Q). Für ein x Bild(P ) Bild(Q) ist natürlich P (Q(x)) = P (x) = x, also gilt zusammen mit den oben gezeigten Inklusionen Bild(P Q) = Bild(P ) Bild(Q). 4

5 c) Seien P, Q: k k die linearen Abbildungen mit [ ] [ ] [ ] [ x x x x y P : und Q: y y ], dann ist P = P, Q = Q und P Q = Q P = QP, also ist auch P Q ein Projektor.