Übungsklausur 2 Lineare Algebra 2

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1 GRUPPE A: Übungsklausur Lineare Algebra 8. Juni 4 MUSTERLÖSUNGEN Aufgabe Lösen Sie das folgende System linearer Differentialgleichungen f 5 8 f x) = 7 f f x) f x) 4 6 f x) mit Anfangsbedingungen f ) f ) = f ). 5 8 A = 7, char.polynom c A = x 8x + 9x. 4 6 Nullstellen am besten mit Satz 4.7, so erhält man alle rationalen Nullstellen also: Teiler on einsetzen, ±, ± ±, ±4, ±6, ± klappt schon bei ; Eigenwerte A)={,, 4}. Somit ist jeder Eigenraum -dimensional, insbesondere ist A diagonalisierbar. Eigenektoren die Lösungen der linearen Gleichungssysteme E A =, E A =, 4E A = ) als Spalten in eine Matrix eintragen: C = C ist Matrix zur Basistranformation {lin.unabh. Eigenektoren} Standardbasis, daher diag,, 4) = C AC, und A = Cdiag,, 4)C. Es folgt f = Af = Cdiag,, 4)C f, also C f = diag,, 4)C f, Klar geht das auch mit Cardano ich würd es aber nur tun, wenn nichts anderes greift): x = y a = y + 8 y 7 y + 7 = mit p = 7 und q = 7, D = 4p + 7q = 6, w = D/7 = i ) u = q + w) = ) 7 + i = + 9i ) ) = q w) = ) 7 i = 9i ) α = u + = + 9i ) + 9i ) ) Jetzt muß man diese dritten Wurzeln ausrechnen; man erhält also u = Rücktransformieren: + 9i ) = + i, 9i ) = i + ) i, = ) i und α = 4. Mit ζ = +i dann α = ζu + ζ = 5, α = ζ u + ζ =. x = α + 8 = 4, x = α + 8 =, x = α + 8 =.

2 da C konstant ist, heißt das C f) = diag,, 4)C f, mit g : = C f folgt g = diag,, 4)g, also g = g, g = g, g = 4g mit den offensichtlichen Lösungen g = c e x, g = c e x, g = c e 4x ; i.e., g c e x g = g = c e x c e 4x g mit Konstanten c, c, c. Bis jetzt mußte nichts gerechnet werden wir haben auch C nicht explizit berechnet)! Multiplikation mit der Matrix C ergibt c e x f = Cg = c e x = c e x c e x c e 4x c e x c e 4x c e 4x c e x + c e x + c e 4x Zur Bestimmung der Konstanten c, c, c aus den Anfangsbedingungen für die gesuchte Lösung f, wertet man in x = aus und löst das lineare Gleichungssystem c c c = c c = c + c + c = oder man berechnet jetzt C und erhält c c = g ) g ) = g) = C f) = =, g ) 4 c im Ganzen dann also f = 6ex e x + 8e 4x e x + 4e 4x. e x + e x 4e 4x Aufgabe Zeigen Sie, daß, : R R R, x, y) x A y t mit 4 A = ein euklidischer Raum reeller innerer Produktraum) ist. Wenden Sie das Schmidt sche Orthonormalisierungserfahren auf die Basis B =,, ),,, ),,, )) an. A ist symmetrisch, Hauptminorenfolge:, 6, ), d.h., positi definit., : R R R ist daher ein Skalarprodukt auf dem reellen Raum R, der dadurch mit diesem Skalarprodukt) zum euklidischen Raum wird. u =, u =, u =. Gram-Schmidt: = u, = u u,, = u ut A ta = 5 7/46 = 59/ /46

3 = u u,, u,, = u ut A ta ut A ta = = 6 / 7/46 59/46 = 44/9 /9 46 9/46 5/46 5/9,, müssen noch normiert werden. Die resultierende ONB x, x, x ) ist x = t = / 46 = / 46 A 46 / 46 x = t = 7/46 7/ 54 59/46 = 59/ 54 A 9/46 5/46 5/ 54 x = t = 44/9 44/ 9 /9 = / 9 A /9 5/9 5/ 9 Aufgabe Es sei V = PC der Vektorraum der komplexen Polynome om Grad, B die Basis B =, x, xx i)) wo i = ). Für f V sei hf) der Koordinatenektor in C on f bezüglich B. Weiters sei σ das skalare Produkt σ : V V C, σf, g) = hf), hg), wobei u, = u + u + u das Standardskalarprodukt in C bezeichne. Berechnen Sie A σ;c,c für die Basis C =, x, x ). Es sei C =, x, x ) die Standardbasis, und A die Matrix zur Basistransformation B C. Die Matrix A entsteht, indem man der Reihe nach die Basiselemente on B durch die Abbildung id: V V schickt wobei genau nichts passiert), die Resultate in der Basis C ausdrückt und die Koordinaten als Spalten schreibt: id) = = + x + x idx) = x = + x + x idxx i)) = ix + x = i x + x A = i Mit f) C = Koordinatenektor on f in C f V ) etc., gilt dann f) C = idf)) C = A f) B und daher mit f = f + f x + f x hf) = f) B = A f) C = i f f = f f + if. f f σf, g) = f f + if, g g + ig = f g + f g + if g if g + f g. f g σ, ) =, =, σ, x) =, = σ, x ) =, i =, σx, x) =, =

4 σx, x ) =, i = i = i σx, x ) = i, i = ii + = Die gesuchte Matrix ist GRUPPE B: A σ;c,c = i. i Aufgabe Lösen Sie das folgende System linearer Differentialgleichungen f 7 f x) = f f x) f x) 5 8 f x) mit Anfangsbedingungen f ) f ) =. f ) Das geht analog zu Gruppe A / Beispiel. Nur gibt es hier nur zwei Eigenwerte. Die Matrix ist dennoch diagonalisierbar, weil der Eigenraum zum Eigenwert zweidimensional ist. 7 A =, Eigenwerte A) = {, ) }. 5 8 Eigenektoren als Spalten der Matrix C =. g : = C f, g = diag,, )g; g = g, g = g, g = g g = c e x, g = c e x, g = c e x g g = g = c e x c e x g c e x c e x c e x + c e x f = Cg = c e x = c e x c e x c e x + c e x c c = g ) g ) = g) = C f) = =, c g ) f = ex + 6e x e x. e x + e x Aufgabe Es sei V = PR Basis Weiters sei σ die Bilinearform der Vektorraum der reellen Polynome om Grad, B die B =, x, xx )). σ : V V R, f, g) 5 fx)gx)dx.

5 a) Bestimmens Sie A σ;b,b. b) Berechnen Sie eine inertierbare Matrix P mit P t P = A σ;b,b. σ, ) = 5 dx = σ, x) = 5 x dx = 5 x = [ x σ, x x) = 5 x x)dx = 5 x σx, x) = 5 x dx = 5 x = [ x σx, x x) = 5 x x 4 )dx = 5 4 x [ x σx x, x x) = 5 x x) 5 dx = 5 ] ] = = 5 x4 + x ] = 6 A σ;b,b =. 6 Q := A = Q ) T A σ;b,b Q = 4 Q := A = Q ) T A Q = 4 Q := A = Q ) T A Q = E, mit 4 Q := Q Q Q = Aufgabe gilt Q T A σ;b,b Q = E und A σ;b,b = Q ) T Q so P = Q = leistet A σ;b,b = P T P. 6 a) Es sei K R der Kegelschnitt ax + bxy + cy + dx + ey + f =, ) wobei die Koeffizienten a,..., f reelle Zahlen sind und b 4ac gelte. Berechnen Sie allgemein den Mittelpunkt on K. b) Berechnen Sie den Mittelpunkt des konkret gegebenen Kegelschnitts 4x + xy y 5x + 7y + 6 =.

6 Mit A = ) a b b c x x = und s = d, e) y) schreibt sich ) als x T Ax + sx + f =. ) u Ein m = ist ein Mittelpunkt on ) genau dann, wenn A m = st. Die Voraussetzung bedeutet, daß A inertierbar ist, ) A c b = 4ac b, daher b a m = A ) s T = A s T = Für den gegebenen Kegelschnitt gibt das m = 4, 7 4 )T. 4ac b ) be cd bd ae