Test zum PS Lineare Algebra und Geomtrie 2 H. Feichtinger & D. Eiwen Wintersemester 2011 Datum: 28. Nov. 2011

Transkript

1 **************************************************************** * NAME: Matr.Nr.: Test zum PS Lineare Algebra und Geomtrie H. Feichtinger & D. Eiwen Wintersemester Datum: 8. Nov. Bitte Studienausweis bereitlegen!. Betrachte den Raum P (R) der quadratischen Polynome über R. Sei B = {σ k } 3 k= mit σ (p) = p ( ), σ (p) = p () und σ 3 (p) = p() eine Basis des Dualraums P (R). Bestimme jene Basis B = {p k } 3 k= von P (R), für die B die duale Basis ist. Lösung: Gesucht sind also Polynome p, p und p 3, für die σ k (p j ) = δ i,j gilt. Für ein Polynom p(x) = ax + bx + c gilt offensichtlich p (x) = ax + b, also σ (p) = p ( ) = a + b, σ (p) = p () = a + b und σ 3 (p) = p() = c, was in Matrixschreibweise a σ (p) b = σ (p) c σ 3 (p) liefert. Da ja σ k (p j ) = δ k,j gelten soll, muss diese Gleichung für die rechten Seiten [,, ] T, [,, ] T und [,, ] T gelöst werden, also das folgende Matrixproblem gelöst werden: a a a 3 b b b 3 c c c 3 =

2 Es muss also obige Matrix invertiert werden. Die gesuchte inverse Matrix lautet 4 4 (das berechnet man entweder direkt, oder man nützt aus dass obige Matrix eine Block-Diagonalmatrix ist, wodurch nur eine und eine Matrix invertiert werden müssen). Die Koeffizienten der gesuchten Polynome sind nun die Spalten dieser Matrix, also p (x) = x /4+x/, p (x) = x /4 + x/, p 3 (x) =.. Gegeben seien die Matrizen A = 3 und B = 6 (a) Finde eine Permutationsmatrix P mit deren Hilfe A bzw. B in Blockgestalt gebracht werden können, d.h. ( ) ( ) Ã B PAP T = bzw. PBP T =. (b) Inwiefern erleichtert dieses Faktum die Multiplikation der grossen Matrizen? (Wenn Zeit bleibt berechne man das Produkt AB, am Besten unter Zuhilfenahme von (a)). Aber jedenfalls den Ansatz hinschreiben! Lösung: (a) Eine Möglichkeit: Vertausche die zweite mit der dritten Zeile, wende also P =

3 von links an, und vertausche dann die zweite mit der dritten Spalte, wende also P T von rechts an. (b) Da P = P T, gilt AB = P T ( à Es gilt à B = = P T ( à ( 7 ) ) ( ) B PP T P ) ( ) ( ) B à B P = P T P., also AB = 7 3. Zeige dass die Abbildung φ : P (R) P (R) R gegeben durch φ(p, q) = p( )q( ) + p()q() + p()q() eine Bilinearform auf 4 4 P (R) P (R) ist. Bestimme die Matrix [ φ ] für die Standardbasis die Basis {x, x, } oder der Lagrange-Polynome [bitte angeben, welche Basis gewählt wurde] B = {L (x), L (x), L (x)} mit L (x) = x(x ), L (x) = ( )(x + )(x ) und L (x) = x(x + ). 3

4 Lösung: Seien nun p, p, q P (R) und α, β R, dann gilt φ(αp + βp, q) = 4 (αp + βp )( )q( ) + (αp + βp )()q() + 4 (αp + βp )()q() = 4( αp ( ) + βp ( ) ) q( ) + ( αp () + βp () ) q() + αp () + βp () 4( ) q() ( = α 4 p ( )q( ) + p ()q() + ) 4 p ()q() ( +β 4 p ( )q( ) + p ()q() + ) 4 p ()q() = αφ(p, q) + βφ(p, q). Die Linearität in der zweiten Komponente folgt aus der Tatsache, dass φ symmetrisch ist, also φ(p, q) = φ(q, p) ist. Wähle die Standardbasis {x, x, }. Die Matrix Einträge φ(x k, x j ), also [ φ ] = φ(x, x ) φ(x, x) φ(x, ) φ(x, x ) φ(x, x) φ(x, ) φ(, x ) φ(, x) φ(, ) = B [ φ ] B hat dann die Wähle nun die Basis der Lagrange-Polynome {L (x), L (x), L (x)}. Die Matrix [ φ ] hat dann die Einträge φ(l k, L j ), also, da L k (j) = δ i,j für k, j =,,, [ ] 4 φ = 4 4

5 4. Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? (a) Die Abbildungsmatrix jeder linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann durch richtige Wahl der Basen zu einer Diagonalmatrix gemacht werden. Antwort: Ja. Denn für jede Matrix A gibt es eine Singulärwertzerlegung A = UDV mit unitären Matrizen U, V und einer Diagonalmatrix D. Wählt man also die Spalten von V als Basis B des Ausgangsraumes und die Spalten von U als Basis C des Zielraumes, dann ist [A] C B = D, also eine Diagonalmatrix. (b) Bezeichnen B und C zwei Basen von P (R), dann ist für den Shift- Operator T k : p(x) p(x k) auf P (R) die Inverse der Abbildungsmatrix von B nach C gleich der Abbildungsmatrix von T ( ) k von C nach B, also [T k ] C B = [T k ] B C. Antwort: Ja. Denn offensichtlich ist T k gerade die Umkehrabbildung der bijektiven linearen Abbildung T k. Die Abbildungsmatrizen einer linearen Abbildung und ihrer Umkehrabbildung müssen natürlich invers sein, also ist die Inverse der Abbildungsmatrix von T k gerade die Matrix von T k (natürlich nun mit umgekehrter Richtung, also vertauschten Rollen von B bzw. C). (c) Für jede Bilinearform φ : V W K mit endlich-dimensionalen Vektorräumen V und W über dem selben Körper K gilt φ(, w) = φ(v, ) = für alle v V und w W. Antwort: Ja. Denn es gilt φ(, w) = φ(, w) = φ(, w) =, sowie φ(v, ) = φ(v, ) = φ(v, ) =. (d) Betrachte den Raum M n (R) aller n n Matrizen über R. Welche der folgenden Abbildungen sind Elemente des Dualraums ( M n (R) ) : (i) σ 4 (A) = det(a), (ii) σ 5 (A) = Spur(A T A) Antwort: (i) Nein. Denn bekanntlich gilt det(a+b) det(a)+ det(b), also ist det KEINE LINEARE ABBILDUNG, also auch 5

6 kein Element des Dualraums (der ja gerade der Raum der LINEA- REN Funktionale in den Grundkörper ist). Einfachstes Gegenbeispiel: (( ) ( )) (( )) det + = det = 4, aber (( )) (( )) det + det = + =. Antwort: (ii) Nein. Denn bekanntlich ist A A T A NICHT LINEAR, daher auch ihre Zusammensetzung mit der linearen Spur- Abbildung nicht, denn es gilt ja im Allgemeinen ( (A ) T ( ) ) ( ) Spur + B A + B = Spur A T A + B T B + A T B + B T A ( ) ( ) Spur A T A + Spur B T B. 6