D-MAVT Lineare Algebra I HS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen = A 4 3 6

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1 D-MAVT Lineare Algebra I HS 28 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen. Gegeben seien die Matrizen A := ( ), B := Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) (AB) T = A T B T Die Formel (AB) T = A T B T ist im Allgemeinen falsch, so auch in diesem Beispiel. ( ) T ( ) Nachrechnen zeigt: (AB) T = = = ( ) = A 3 6 T B T was schon von den Matrixdimensionen her keine Gleichheit sein kann. Aber auch für quadratische Matrizen A, B derselben Grösse ist die Formel im Allgemeinen falsch. (b) (AB) T = B T A T.. ichtig! Diese Formel ist sogar im Allgemeinen richtig (sofern das Produkt AB definiert ( ) ( ) ist). echnung: (AB) T = = = B T A T. (c) A T A ist symmetrisch. Ja, es gilt allgemein: Ist A eine m n-matrix, so ist A T A eine symmetrische n n- Matrix, denn (A T A) T = A T (A T ) T = A T A. Und eine Matrix M ist per Definition genau dann symmetrisch, wenn M T = M gilt. (d) AA T ist symmetrisch. Ja, es gilt allgemein: Ist A eine m n-matrix, so ist AA T eine symmetrische m m- Matrix, denn (AA T ) T = (A T ) T A T = AA T. Bemerkung: A T A und AA T sind beide symmetrisch, aber im Allgemeinen nicht gleich (z.b. wenn n m). (e) Ist C eine beliebige quadratische Matrix, so ist C C T symmetrisch. Ja, es gilt (C C T ) T = C T (C T ) T = C T C = C C T. Bemerkung: wäre C nicht quadratisch, so wäre C C T nicht definiert.

2 Bemerkung: Es gilt allgemein: (AB) T = B T A T falls A eine m p und B eine p n-matrix ist. Die Anzahl Spalten von A und die Anzahl Zeilen von B (beide gleich p) müssen übereinstimmen, damit AB definiert ist - das Produkt B T A T ist dann automatisch auch definiert. Es sei C = AB und a ij, b ij, c ij bezeichne die Einträge der jeweiligen Matrizen (der erste Index ist die Zeilennummer, der zweite die Spaltennummer). Weiter seien α ij, β ij die Einträge der Matrizen A T, B T. Aus der Definition der Transponierten folgt α ij = a ji, β ij = b ji, und die Definition der Matrizenmultiplikation liefert c ij = p k= a ikb kj. Nun ist der Eintrag (i, j) der Matrix (AB) T gleich (beachte die vertauschten Indices) c ji = p k= a jkb ki = p k= β ikα kj und dieser Ausdruck entspricht auch dem Eintrag (i, j) der Matrix B T A T. 2

3 2. Gegeben sind die Matrizen 6 2 A = 3 5, B = , x = a) Bilden Sie, sofern definiert, die folgenden Matrixprodukte:, y = AB, BA, Ax, A 2 := AA, B 2 := BB, y T x, yx, xy T, B T y, y T B. b) Lösen Sie a) nochmals mit Hilfe von Matlab. a) Es gilt: AB = Ax = A 2 = y T x = ( 3 ) xy T = ( B T 2 y = = = = ( 3 ) = ) y T B = ( 3 ) = ( 6 = ) = ( 6 ) Die Matrixprodukte BA, B 2 und yx sind nicht definiert

4 3. Polynominterpolation: Gegeben sind die Funktionswerte y, y,..., y n über den Abszissen x, x,..., x n. Gesucht ist das interpolierende Polynom p(x) = a a x a 2 x 2... a n x n. Es soll also gelten p(x i ) = y i, für i n. a) Man bestimme das Gleichungssystem für die Koeffizienten a, a,..., a n in Matrixschreibweise. b) Man bestimme das Interpolationspolynom für x i 2 3 y i 2 (n = ). c) Man betrachte die Polynome l i (x) := n j=,j i x x j x i x j. Welche Werte nimmt l i in den Punkten x k an? Man bestimme die Lösung von b) mit Hilfe der Polynome l i (Lagrangesche Interpolationsformel). a) Wir haben das folgende Gleichungssystem zu lösen: a a a 2 a 3... a n x x 2 x 3... x n y x x 2 x 3... x n y x n x 2 n x 3 n... x n n y n b) Nach Einsetzen der angegeben Werte von x i und y i in a) erhalten wir a a a 2 a 3 a a a a 2 a 3 a a a a 2 a 3 a a a a 2 a 3 a

5 ückwärtseinsetzen ergibt dann c) Es gilt Definiere a a a 2 a 3 a a = 2, a 3 = 23 6, a 2 = 9, a = 2 3, a =. l i (x k ) = δ ik := {, für k = i, für k i. {, für k = i, für k i und sei L(x) = n i= y il i (x). Aus den obigen Gleichungen für l i (x k ) folgt L(x k ) = n y i l i (x k ) = i= n y i δ ik = y k. i= Also erfüllt L(x) die Bedingungen für das Polynom p(x). Für die Werte in b) erhalten wir L(x) = y i l i (x) i= = l (x) 2l 3 (x) = 6 x(x 2)(x 3)(x ) x(x )(x 2)(x ) 3 =... = 2 x 23 6 x3 9x x. 5

6 U V I I 2 W I I 3 I 5. Kirchhoffsche egeln: Für elektrische Stromkreise gelten die folgenden egeln: Die Summe der Teilströme in jedem Knoten ist Null. Die Summe der Teilspannungen in jeder Masche ist Null. Bestimmen Sie das lineare Gleichungssystem für die fünf Teilströme des skizzierten Gleichstromkreises und lösen Sie es für = 3Ω, U = V = 3V, W = 2V. Hinweis: Wählen Sie die Vorzeichen entsprechend den Zählpfeilen! Für die Teilströme I,..., I 5 kann man aus der obigen Skizze die folgenden Gleichungen ablesen: 2 U V I I II 2 2 I 2 W I I 3 III I 5 3 6

7 und. I I 2 I = 2. I I 2 I 3 I 5 = 3. I 3 I I 5 = I. 3I I 2 = U V II. I 2 I 3 2I = V W III. I 3 I 5 = W Für = 3Ω, U = V = 3V und W = 2V bekommt man daraus die Matrix I I 2 I 3 I I Nach Anwendung des Gaussverfahrens wird diese zu I I 2 I 3 I I Durch ückwärtseinsetzen findet man I 7A I 2 I 3 I = 27A 39 8A A I 5 8A.36A.692A.62A.256A.25A. 7