Musterlösung Serie 20

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1 D-MATH Lineare Algebra II FS 9 Prof. Richard Pink Musterlösung Serie Orthogonale Gruppe, Adjungierte Abbildung und Spektralsatz. Berechne eine Zerlegung A QR der Matrix A in eine orthogonale Matrix Q und eine rechte obere Dreiecksmatrix R. Verwende diese Zerlegung, um das lineare Gleichungssystem Ax b für b p, 3, 3q T zu lösen. Lösung: Mit dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren findet man die gesuchten Matrizen {3 {3 Q {3 {3 {3 {3 und R 3. {3 {3 {3 Durch Multiplikation der Gleichung Ax QRx b von links mit der invertierbaren Matrix Q Q T erhält man das äquivalente Gleichungssystem Rx Q T b p4,, q T. Da R obere Dreiecksgestalt hat, erhält man hieraus schnell die Lösung x p,, q T.. Seien f und g lineare Abbildungen von euklidischen Vektorräumen, deren Adjungierte f und g existieren. Zeige: (a) pf gq g f (b) pf ` gq f ` g (c) pcfq cf für alle c P R (d) Wenn f invertierbar ist und pf q existiert, so gilt pf q pf q. *(e) Wenn f invertierbar ist, existiert dann pf q immer? Lösung: (a) Für alle v und w gilt xpf gqpvq, wy xfpgpvqq, wy xgpvq, f pwqy xv, g pf pwqqy xv, pg f qpwqy. Also ist g f eine Adjungierte von f g und somit gleich pf gq.

2 (b) Aus der Bilinearität des Skalarproduktes folgt xpf`gqpvq, wy xfpvq, wy`xgpvq, wy xv, f pwqy`xv, g pwqy xv, pf `g qpwqy für alle v und w. Somit existiert pf ` gq und ist gleich f ` g. (c) Folgt wie in (b) aus der Bilinearität des Skalarproduktes. (d) Falls pf q existiert, dann folgt aus (a) f pf q pf fq id id und pf q f pf f q id id. Also ist pf q ein beidseitiges Inverses zu f, und es gilt pf q pf q. *(e) Die Adjungierte der Inverse muss nicht immer existieren: Sei zum Beispiel V :!px n q ně xn P R ^ ÿ ) x n ă 8 ně der Raum aller reellen l -Folgen mit dem Skalarprodukt xpx n q, py n qy : ÿ ně x n y n. Betrachte den Unterraum! W : px n q ně P V ˇ ÿ ně ) n x n ă 8 mit dem von V induziertem Skalarprodukt. Dann ist die lineare Abbildung xn f : V Ñ W, px n q n ÞÑ n ně invertierbar und besitzt die Adjungierte f : W Ñ V, py n q n ÞÑ yn. n ně Würde pf q existieren, so müsste f nach (d) invertierbar sein. Insbesondere wäre f dann surjektiv und die Folge ` P V läge im Bild von f. n n Nach der obigen Formel für f müsste ihr Urbild die Folge pq n sein. Diese liegt aber nicht in W, was ein Widerspruch ist. Somit existiert pf q nicht. 3. Sei V der Vektorraum aller beliebig oft differenzierbaren periodischen Funktionen R Ñ R mit Periode π, versehen mit dem Skalarprodukt Betrachte die lineare Abbildung xf, gy : π ż π fpxqgpxq dx. D : V Ñ V, f ÞÑ df dx.

3 (a) Ist D selbstadjungiert? Bestimme jedenfalls ihre Adjungierte, falls sie existiert. (b) Ist : D D selbstadjungiert? (c) Sei U Ă V das lineare Erzeugnis der Funktionen Lösung: tx ÞÑ cospnxq n P Zu Y tx ÞÑ sinpnxq n P Zu, mit dem von V induzierten Skalarprodukt. Finde eine Orthonormalbasis von U, welche aus Eigenvektoren von U besteht, sowie die Multiplizitäten aller Eigenwerte. (a) Aus partieller Integration folgt xdf, gy ż π df π dx g dx fgˇˇˇπ ż π f dg dx xf, Dgy π π dx für alle f, g, also D D. Die Abbildung D ist nicht selbstadjungiert. (b) Aus (a) und Aufgabe 3 (a) folgt D D p Dq p Dq, also ist selbstadjungiert. (c) Für jedes n setze c n pxq :? cospnxq und s n pxq :? sinpnxq. Ausserdem sei c pxq : und s pxq :. Behauptung: Die Menge B : c n ˇˇ n ě ( Y s n ˇˇ n ě ( ist eine Orthonormalbasis von U, die aus Eigenvektoren von besteht. Beweis: Wegen sinp nxq sinpnxq und cosp nxq cospnxq für alle n ě sowie s erzeugt B den Unterraum U. Sodann implizieren die üblichen Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen für alle n ě s n n s n und c n n c n. Also sind alle Elemente von B Eigenvektoren von. Als nächstes zeigen wir, dass sie zueinander orthonormal sind. Dafür rechnen wir für alle n, m ě unter Benutzung der Selbstadjungiertheit von : n xs n, s m y xn s n, s m y x s n, s m y! xs n, s m y xs n, m s m y m xs n, s m y. Für n m folgt daraus xs n, s m y. Durch analoge Rechnungen zeigt man xs n, c m y xc n, s m y xc n, c m y für alle n m. (All dies kann man übrigens 3

4 auch durch direkte Berechnung der Integrale, z.b. mit dem Additionstheorem, zeigen.) Weiter können wir für alle n ě die Formeln cos pnxq cospnxq ` sin pnxq cos pnxq cos pnxq sinpnxq cospnxq sinpnxq, in die betreffenden Integrale einsetzen und ausrechnen: Noch einfacher berechnen wir xs n, s n y, xs n, c n y, xc n, c n y. xc, c y, xc, s n y, xc, c n y für alle n ě. Zusammen zeigt dies, dass B ein Orthonormalsystem ist. Da es den Unterraum U erzeugt, ist es daher eine Orthonormalbasis von U. Insgesamt ist B also eine Orthonormalbasis von U aus Eigenvektoren von. Jeder Eigenraum von U ist daher von Vektoren in B erzeugt. Wir schliessen, dass U die Eigenwerte,, 4, 9, 6,..., n,... mit den jeweiligen Vielfachheiten,,,,... besitzt. 4. Seien f, g, g Endomorphismen eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraumes mit f f g f f g. Zeige, dass f g f g ist. Lösung: Für alle v, w P V fpvq, f`pg g qpwq v, f f`pg g qpwq D xv, pf f g f f g qpwqy. Mit v : pg g qpwq folgt also für alle w P V : }f`pg g qpwq } und somit f`pg g qpwq, also pf g qpwq pf g qpwq. 4

5 *5. Sei A eine reelle symmetrische Matrix mit A k I für ein k P N. Zeige, dass dann sogar A I gilt. Lösung: Nach dem Spektralsatz existiert eine invertierbare Matrix U, so dass U AU eine Diagonalmatrix ist, sagen wir mit Diagonaleinträgen λ,..., λ n. Dann ist U A k U pu AUq k eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen λ k,..., λ k n. Wegen A k I folgt daraus λ k i für alle i. Da λ i reell ist, impliziert dies λ i und somit λ i. Also ist U A U pu AUq die Einheitsmatrix, und folglich auch A. 6. Betrachte die reelle symmetrische Matrix 3 G : Führe für G eine Hauptachsentransformation durch, d. h., finde eine orthogonale Matrix S, so dass S T GS eine Diagonalmatrix ist. Hinweis: Alle Eigenwerte von G sind ganzzahlig. Lösung: Das charakteristische Polynom von G ist P G pxq X 4 v 3 ` 36X 3X X `X 3 X ` 36X 3. Aus dieser Faktorisierung ersehen wir, dass G den Eigenwert besitzt und das Produkt der übrigen Eigenwerte gleich 3 ist. Nach dem Hinweis kommen nur Teiler von 3 als weitere Eigenwerte von G in Frage. Durch Testen der Kandidaten,, 4, 8, 6, 3 ergibt sich die Faktorisierung P G pxq XpX q px 8q. Mit Vielfachheiten gerechnet hat G also die Eigenwerte λ :, λ : λ 3 :, λ 4 : 8. Die zugehörigen Eigenvektoren ergeben sich zum Beispiel als v :, v :, v 3 :, v 4 : besitzt. Durch Normalisieren der Vektoren v und v 4 und durch Anwenden des Gram-Schmidt-Verfahrens auf v und v 3 erhalten wir die folgende Orthonormal- 5

6 basis von Eigenvektoren: ṽ : v {}v } v { ṽ : v {}v } v {? ṽ 3 : v 3 xv 3, v {}v }y }v 3 xv 3, v {}v }y} v 3 }v 3 } v 3{? ṽ 4 : v 4 {}v 4 } v 4 {. Definieren wir also S als die Matrix mit den Spalten ṽ,..., ṽ 4, { {? { S : { {? { { {? { { {?, { so ist S orthogonal mit S T GS S GS. 8 *7. Seien A und B zwei reelle symmetrische n ˆ n-matrizen mit A positiv definit. (a) Zeige, dass eine Matrix S P GL n prq existiert, so dass S T AS und S T BS beide Diagonalmatrizen sind. (b) Gilt dasselbe ohne die Positiv-Definitheit von A? Untersuche zum Beispiel die Matrizen ` und `. Lösung: (a) Da A symmetrisch und positiv definit ist, existiert eine invertierbare obere Dreiecksmatrix R mit A R T R. Dann ist C : pr q T BR wieder eine reelle symmetrische Matrix. Nach dem Spektralsatz existiert also eine orthogonale Matrix Q, so dass Q T CQ eine Diagonalmatrix ist. Mit S : R Q ist dann S T BS pr Qq T BpR Qq Q T pr q T BR Q Q T CQ eine Diagonalmatrix und S T AS pr Qq T ApR Qq Q T pr q T R T R R Q Q T Q I n ebenfalls, wie gewünscht. 6

7 Aliter: Da A symmetrisch und positiv definit ist, ist die Bilinearform ein Skalarprodukt auf R n. Wegen x, y : pv, wq ÞÑ v T Aw xa Bv, wy pa Bvq T Aw v T Bw v T ApA Bwq xv, A Bwy für alle v, w ist die Abbildung L A B selbstadjungiert bezüglich x, y. Nach dem Spektralsatz existiert also eine Basis b : pv,..., v n q, die orthonormal ist bezüglich x, y und aus Eigenvektoren von L A B besteht. Betrachte also die Matrix S mit den Spalten v,..., v n. Dann ist einerseits I n M b px, yq S T AS, also S S T A. Dies impliziert andererseits M b pl A Bq S pa BqS S T A A BS S T BS. Aber nach Konstruktion ist M b pl A Bq eine Diagonalmatrix; somit sind S T AS und S T BS simultan diagonal. (b) Für jede ˆ -Matrix S `a b c d berechnen wir ˆ ˆa S T c S ab cd ab cd b d ˆ ˆ ac ad ` bc S T S ad ` bc bd Diese Matrizen sind diagonal genau dann, wenn ab cd und ad bc ist. Ausserdem ist S invertierbar genau dann, wenn ad bc ist. Zusammen verlangt dies, dass ad bc ad bc ist. Insbesondere sind a, b, c, d alle ungleich Null. Durch Teilen von ad bc durch ab cd folgt d b ad ab bc cd b d, also p d b q, was in R gar nicht möglich ist. Somit kann die gesuchte Matrix S nicht existieren. 8. Sei β die Bilinearform px, yq ÞÑ x T Ay auf R für die symmetrische Matrix A : `5 5. Finde eine geordnete Basis B von R, bezüglich welcher β eine Darstellungsmatrix der Form ` hat. Lösung: Die Matrix A hat die Eigenwerte 3 und 7 zu den jeweiligen Eigenvektoren v : ` und v : `. Daher bilden b :? v und b :? v eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, bezüglich welcher β die Darstellungsmatrix `3 7 hat. Nun müssen wir nur noch die Basisvektoren richtig skalieren: Die Vektoren w :? 3 b? 6` und w :? 7 b? 4` bilden eine geordnete Basis von R, bezüglich welcher β die Darstellungsmatrix ` hat. 7