Musterlösung Serie 12

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1 D-MATH Lineare Algebra I HS 208 Prof Richard Pink Musterlösung Serie 2 Determinante und Ähnlichkeit Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: A : C :, B : Lösung: Durch Anwenden des Gaussverfahrens erhält man detpaq 4 detpbq 0 detpcq Alternativ kann man für detpbq direkt erkennen, dass die erste Spalte der Matrix B eine Linearkombination der dritten und fünften Spalte ist Die Matrix B ist daher nicht invertierbar, also detpbq 0 2 Berechne in Abhängigkeit von a, b, c, d, e die Determinante der Matrix a a a a a a b b b b a b c c c a b c d d a b c d e Lösung: Durch Subtrahieren der letzten Zeile von allen anderen Zeilen in der gegebenen Matrix erhält man 0 a b a c a d a e 0 0 b c b d b e A : c d c e d e a b c d e

2 Durch einmaliges zyklisches Permutieren der Zeilen, das heisst, durch Verschieben der untersten Zeile an die oberste Stelle, entsteht eine obere Dreiecksmatrix, deren Determinante das Produkt der Diagonaleinträge ist Da die Permutation gerade ist, erhalten wir die Antwort a a a a a a b b b b det a b c c c a b c d d detpa q apa bqpb cqpc dqpd eq a b c d e 3 Seien a und b Elemente eines Körpers K und für n ě sei A n die pn ˆ nq-matrix b a a a a a a b Beweise: detpa n q pb aq n `b ` pn qa Lösung: Sei B n die n ˆ n Matrix a a a a a b a a B n : a a a a a a a b Behauptung detpb n q pb aq n a Beweis Wir verwenden Induktion Wegen B paq gilt die Aussage für n Angenommen, die Aussage gilt für ein n ě Durch Subtrahieren der zweiten von der ersten Zeile von B n` erhält man die Matrix 0 a b 0 0 a b a a Bn` : a a a a a a a b und durch Entwickeln von B n` nach der ersten Zeile erhält man detpb n` q detpb n`q pb aq detpb n q IV pb aq n a 2

3 Behauptung detpa n q pb aq n `b ` pn qa Beweis Wir verwenden Induktion über n Wegen A pbq gilt die Aussage für n Angenommen, die Aussage gilt für ein n ě Durch Subtrahieren der zweiten von der ersten Zeile von A n` erhält man die Matrix b a a b 0 0 a b a a A n` : a a a a a a a b und durch Entwickeln von A n` nach der ersten Zeile erhält man detpa n` q pb aq detpa n q ` p qpa bq detpb n q IV pb aq n`b ` pn qa ` pb aq n a pb aq n pb ` naq Die Aussage gilt also auch für den Fall n ` Alternativ kann man wie folgt vorgehen: Durch Addieren der ersten n Spalten zur letzten Spalte, erhält man eine Matrix die in der letzten Zeile den Eintrag pb ` pn qaq p,, q T hat Durch Herausziehen des Faktors pb ` pn qaq und Subtrahieren des a-fachen der letzten Spalte von allen anderen Spalten erhält man eine obere Dreiecksmatrix mit Einträgen auf den Diagonalen b a,, b a, Es folgt b a b a 0 detpa n q pb`pn qaq det pb`pn qaqpb aq n 0 0 b a 0 0 *4 Die Zahlen 204, 484, 370 und 6996 sind alle durch 06 teilbar Zeige ohne zu rechnen, dass auch det durch 06 teilbar ist 3

4 Lösung: Wir addieren (000ˆ( Spalte) ` 00ˆ(2 Spalte) ` 0ˆ(3 Spalte)) zur 4 Spalte Wir ändern die Determinante dadurch nicht und erhalten: det det Da jeder Eintrag in der letzten Spalte durch 06 teilbar ist, gilt a det det 4 8 a a a 4 mit ganzen Zahlen a,, a 4 Da die Determinante einer Matrix mit Einträgen aus Z wieder in Z liegt, folgt die Aussage 5 Berechne die Determinante der 75ˆ75-Matrix C : pc kl q k,l,,75 mit # k 2 ` falls k l c kl : kl falls k l Lösung: Sei C pc klq die Matrix die aus C entsteht, indem man für alle ď k, l ď 75 die k-te Zeile mit {k und die l-te Spalte mit {l multipliziert In Formeln gilt # c kl kl c ` falls k l k kl 2 falls k l, oder auch 2 ` 4 C ` 75 2 Da C durch Zeilen- und Spaltenmultiplikation aus C entsteht, gilt det C p75!q 2 det C Sei nun C 2 die Matrix, die aus C durch Subtraktion der ersten Spalte von allen anderen entsteht Dann haben wir det C det C 2 mit C

5 Durch Addition des j 2 -fachen der j-ten Zeile zur ersten Zeile für alle 2 ď j ď 75 erhält man die untere Dreiecksmatrix 2 ` ř75 j2 j C mit Determinante detpc 3 q Insgesamt folgt 2 ` Mit der bekannten Formel ÿ75 j2 j 2 75 ź m2 m 2 detpcq p75!q 2 det C ` nÿ k 2 k kpk ` qp2k ` q 6 ÿ 2 75 ` j p75!q 2 j ÿ75 j j 2 für alle n ě, die man zum Beispiel mit Induktion beweist, schliessen wir detpcq ` *6 Seien x i und y i Elemente eines Körpers mit x i y j für alle i, j; und sei ˆ F n px,, x n, y,, y n q : det x i y j (a) Beweisen Sie für alle n ě die Rekursionsformel F n px,, y n q i,j,,n ś n i px n x i qpy i y n q ś n i px i y n q ś n i px n y i q F n px,, y n q Hinweis: Subtrahieren Sie die letzte Spalte von jeder anderen Spalte Subtrahieren Sie dann ein geeignetes Vielfache der letzten Zeile von jeder anderen Zeile (b) Leiten Sie daraus eine Formel für F n px,, y n q her 5

6 (c) Zeigen Sie, dass mit c n : ś n i i! gilt: 2 3 n det 2 n 3 n` 4 n` n`2 2n c4 n c 2n Lösung: (a) Sei A : pa ij q mit a ij : {px i y j q Durch die erste Subtraktion im Hinweis, die die Determinante nicht ändert, wird der Matrixeintrag a ij für j ă n zu b ij x i y j x i y n y j y n px i y j qpx i y n q, während die Einträge in der letzten Spalten gleich bleiben: b in {px i y n q Dann haben alle Einträge in der i-ten Zeile einen Faktor {px i y n q und alle Einträge in der j-ten Spalte mit j ă n einen Faktor py j y n q Verwendet man die Linearität der Determinanten in den Zeilen und Spalten, so erhält man ś n j det A py j y n q ś n i px i y n q det C, mit C pc ij q : x y x y n x n y x n y n Durch Subtrahieren der letzten Zeile von allen anderen Zeilen wird der Eintrag c ij für i, j ď n zu d ij x i y j x n y j x n x i px i y j qpx n y j q und die letzte Spalte ist p0,, 0, q T Es folgt dann wie oben ś n i det C px n x i q ś n j px n y j q det E mit E : x y x y n 0 x n y x n y n 0 Wegen det E F n px,, x n ; y,, y n q folgt die Behauptung 6

7 (b) Mit einem Induktionsbeweis folgt die Cauchysche Determinantenformel ˆ ś iăj det px j x i qpy i y j q ś x i y j i,j px i y j q (c) Mit x i i und y j j ` spezialisiert sich die Matrix p{px i y j qq ij aus der Aufgabe (a) zu der Matrix ph ij q p{pi ` j qq Sie heisst Hilbert-Matrix In diesem Fall lautet die Rekursionsformel F n ś n i pn iqp i ` nq ś n i pi ` n q ś n i pn ` i qf n pn q! 2 npn ` q p2n qnpn ` q p2n 2q F n pn q! 4 p2n q!p2n 2q! F n Aus F erhalten wir dann F n pn q! 4 pn 2q! 4! 4 p2n q!p2n 2q!p2n 3q!p2n 4q! 2!! c4 n c 2n 7 Entscheide, welche der folgenden Matrizen über Q ähnlich sind: ˆ 0 ˆ0 ˆ0 0 ˆ0 0 A :, A :, A :, A 0 4 :, 0 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ2 0 A 5 :, A 0 6 :, A 7 :, A 8 : 0 0 Lösung: Zur Vorbereitung betrachte ein beliebiges n ě 0 und eine beliebige invertierbare n ˆ n-matrix U Dann gilt erstens U I n U I n ; also ist die Einheitsmatrix I n nur zu sich selbst ähnlich Zweitens seien A eine n ˆ n-matrix und B : UAU, also B ähnlich zu A Dann gilt B 2 puau qpuau q UpA 2 qu ; also ist B 2 ähnlich zu A 2 Drittens sei v P K n ein von Null verschiedener Vektor mit Av v Dann ist w : Uv ein von Null verschiedener Vektor mit Bw puau qpuvq UAv Uv w Die Existenz eines von Null verschiedenen Vektors mit Av v ist also invariant unter Ähnlichkeit Insbesondere ist A 5 zu keiner anderen Matrix A i ähnlich Sodann sieht man durch Konjugieren mit der Vertauschungsmatrix `0 0, dass A ähnlich zu A 4, und A 2 ähnlich zu A 3 ist Weiter sind A 2 2 und A 2 3 und A 2 7 gleich der Nullmatrix, die übrigen 7

8 A 2 i aber nicht Wegen KernpL A7 q x` y probieren wir Konjugation von A7 mit ˆ 0 der Matrix U :, und erhalten U A 7 U ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ0 A Also sind A 3 und A 7 zueinander ähnlich Wegen KernpL A6 q x` y probieren wir ˆ Konjugation von A 6 mit der Matrix V :, und erhalten V A 6 V ˆ {2 {2 ˆ ˆ {2 {2 ˆ2 0 A Also ist A 6 ähnlich zu A 8 Schliesslich existiert ein von Null verschiedener Vektor v : ` 0 mit A v v, aber kein von Null verschiedener Vektor w P K 2 mit A 8 w w Also sind A und A 8 nicht ähnlich Da Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist, folgt insgesamt, dass A 2, A 3 und A 7, beziehungsweise A und A 4, beziehungsweise A 6 und A 8 ähnlich sind, aber keine weiteren Ähnlichkeiten der A i existieren 8 Sei KrXs ďn der Raum der Polynome über einem Körper K vom Grad ď n und seien x,, x n` paarweise verschiedene Elemente in K Zeige, dass die Abbildung Φ : KrXs ďn Ñ K n`, P pxq Ñ `P px q,, P px n` q ein Isomorphismus von Vektorräumen ist Hinweis: Übersetze die Aussage in eine Existenzaussage für Polynome Lösung: Wegen ΦpP ` Qq ppp ` Qqpx q,, pp ` Qqpx n` qq pp px q ` Qpx q,, P px n` q ` Qpx n` qq pp px q,, P px n` qq ` pqpx q,, Qpx n` qq ΦpP q ` ΦpQq ΦpλP q pλp px q,, λp px n` qq λφpp q für beliebige P, Q P Krxs ďn und λ P K ist die Abbildung linear Wir müssen zeigen, dass sie auch bijektiv ist Sei py,, y n` q P K n` ein beliebiges Element Behauptung Es existiert genau ein Polynom P P Krxs ďn mit ΦpP q py,, y n` q, also für welches gilt P px i q y i für i,, n ` 8

9 Beweis Eindeutigkeit: Sei pxq : P pxq P 2 pxq die Differenz zweier Polynome P und P 2 vom Grad n mit ΦpP q ΦpP 2 q py,, y n` q Dann ist ein Polynom von Grad ď n, das an den n ` verschiedenen Stellen x,, x n` verschwindet Aber ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad ď n hat höchstens n verschiedene Nullstellen Es folgt 0 Existenz: Für i,, n ` sei g i pxq : n` ź j i j X x j x i x j Dies ist ein Polynom vom Grad ď n mit g i px j q δ ij für alle j,, n ` Also ist P pxq : n` ÿ i y i g i pxq ein Polynom vom Grad ď n mit P px i q y i für alle i,, n`, wie gewünscht Aliter: Alternativ kann man die Bijektivität auch mit der Vandermonde-Determinante zeigen Die Monome, X,, X n bilden eine Basis B von KrXs ďn Die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung Φ bezüglich dieser Basis und der Standardbasis E von K n` ist gegeben durch x x 2 x n x 2 x 2 2 x n 2 EM B pφq x n` x 2 n` x n n` Ihre Determinante ist die Vandermonde-Determinante ś ďiăjďn` px j x i q, die ungleich Null ist für paarweise verschiedene x,, x n`, was wir als Voraussetzung haben Weil die Darstellungsmatrix eine von Null verschiedene Determinante besitzt, ist sie invertierbar und deshalb ist Φ ein Isomorphismus 9