Lösung Serie 10: Elementare Zeilenumformungen & Elementarmatrizen, Rang & Inverse einer Matrix

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1 D-MATH/D-PHYS Lineare Algebra I HS 26 Dr. Meike Akveld Lösung Serie : Elementare Zeilenumformungen & Elementarmatrizen, Rang & Inverse einer Matrix. a) Sei w ImT + T 2 ), dann existiert ein v V, so dass w = T + T 2 )v) = T v) + T 2 v) ImT ) + ImT 2 ) Also ist ImT + T 2 ) ImT ) + ImT 2 ) und folglich RangT + T 2 ) = dim ImT + T 2 ) dim ImT ) + dim ImT 2 ) =RangT ) + RangT 2 ) b) Wir bemerken zuerst, dass ImS T ) = ImS ImT ) ), wobei S ImT ) HomImT ), W ) die Abbildung v ImT ) : S ImT ) v) := Sv) sei; d.h. S ImT ) ist die Restriktion von S auf den Unterraum ImT ) V. : Sei w ImS T ), dann ist w = S T )u) = ST u)) für ein u U und folglich w ImS ImT ) ). : Sei w ImS ImT ) ), dann gilt w = Sv) für ein v ImT ). Wegen v ImT ), existiert ein u U mit v = T u) und folglich w = ST u)) = S T )u) ImS T ) Aus der Diskussion folgt RangS T ) RangS), da ImS ImT ) ) ImS). Aus der Dimensionsformel erhalten wir dim ImT ) = RangS ImT ) ) + nullitys ImT ) ) RangS T ) und folglich RangS T ) RangT ). Beides zusammen liefert RangS T ) min{rangt ), RangS) Bitte wenden!

2 2. Aus der Dimensionsformel folgt, dass n = dim K n = RangL A ) + KerL A ) RangL A ) Da ImL A ) ein Unterraum von K m ist, ist RangL A ) = dim ImL A ) dim K m = m und beides zusammen liefert RangA) = RangL A ) min{m, n Für die zweite Aussage machen wir eine Induktion nach m, der Anzahl Zeilen von A. m = : Falls A =, dann ist RangL A ) =, da L A v) = für alle v K n und folglich ist nichts zu zeigen. Sei also A, dann existiert ein j n mit A j. Da L A e j ) = A j, ist RangL A ) und wegen L A : K n K ist RangL A ) =. Falls j >, vertauschen wir die Spalten A ) und A j), so dass wir im Folgenden annehmen können, dass A eine n-matrix mit A ist. Wir multiplizieren nun die erste Spalte von A mit A, so dass wir im Folgenden annehmen können, dass A eine n-matrix mit A = ist. Falls n =, dann sind wir fertig. Andernfalls addieren wir für j 2 n das A j -fache der ersten Spalte zur j-ten Spalte, so dass danach A j = für j 2 und folglich A = e T, wie gewünscht. m > : Wir schreiben A = ) B C B M m n K), C M n K) Sei r B := RangB). Nach Induktionsannahme existieren elementare Zeilen- und Spaltenumformungen, die A in A überführen, so dass ) A DB = C D B M m n K), C M n K) mit D B eine Diagonalmatrix für B wie in der Aufgabenstellung. Wir addieren nun das C j-fache der j-ten Zeile zur m-ten Zeile für j r B und können also annehmen, dass C j = für j r B. Das heisst, wir haben mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen A in eine Matrix I rb rb A n r B ) = m rb ) r B m rb ) n r B ) rb C Siehe nächstes Blatt!

3 überführt, wobei C M n rb )K). Da elementare Zeilen- und Spaltenumformungen den Rang erhalten, gilt RangA) = RangA ). Da die Spalten A ) j) für j r B linear unabhängig sind, gilt RangA ) r B. Andererseits sind die Spalten A ) j) für r B+ j n sicherlich linear abhängig, da sie allesamt Vielfache des Vektors e m E m sind. Also ist RangA) {r B, r B +. Angenommen RangA) = r B, dann ist dim ImL A ) = r B und folglich ist C = n rb ) und A hat die gewünschte Form. Falls RangA) = r B +, dann existiert ein r B < j n, so dass C j. Nach vertauschen der j-ten und der r B + )-ten Spalten von A können wir annehmen, dass C r B +). Wir multiplizieren die r B + )-te Spalte von A mit C r B +) ) und können im Folgenden annehmen, dass C r B +) =. Nun addieren wir für < j r B n das C r B +j) -fache der r B + )-ten Spalte von A zur r B + j)-ten Spalte von A und erhalten aus A mittels elementarer Spaltenumformungen eine Matrix A von der Form I rb rb A n r B ) = m rb ) r B m rb ) n r B ) e E n rb ) rb e T Nach vertauschen der r B + )-ten Zeile und der m-ten Zeile von A erhalten wir eine Matrix ) I D = rb + rb +) n r B +)) m rb +)) r B +) m rb +)) n r B +)) wie gewünscht.. Wir erinnern daran, dass L F AG = L F L A L G und dass wegen der Invertierbarkeit von F und G auch L F und L G invertierbar, und also bijektiv sind. a) Wegen der Invertierbarkeit von L F ist KerL F ) = {, und folglich v KerL F AG ) = L F AG v) = L F LA L G )v) ) = L A L G )v) = L A LG v) ) L G v) KerL A ) v L G KerLA ) ) und folglich KerL A ) = L G KerLF AG ) ). Für die Aussage über das Bild verwenden wir die Surjektivität von L G : w ImL F AG ) v K n : w = L F AG v ) Bitte wenden!

4 v 2 K n : w = L F AG L G v 2) ) = L F LA v 2 )) w L F ImLA ) ) und folglich ImL A ) = L F ImLF AG ) ) = L F ImLF AG ) ). b) Um unsere Vorgehensweise zu motivieren, bemerken wir, dass das Bild von L A gegeben ist durch die lineare Hülle der Spalten von A 2 2 ImL A ) = span,,, 2 2 Dies haben wir im Rahmen der Diskussion linearer Abbildung ausführlich besprochen. Um eine Basis von ImL A ) zu bestimmen, müssten wir eine maximale, linear Unabhängige Teilmenge des obigen Erzeugendensystem suchen, was mit probieren im Allgemeinen nicht einfach ist. Darum verwenden wir stattdessen Teilaufgabe a) und das Resultat aus Aufgabe 2, d.h. wir finden Produkte F, G von Elementarmatrizen, so dass F D G = A mit D wie in Aufgabe A = 2 2 = =:F =F =F 2 G F 2 := F F 2 ) 2 =:F 2 = F 2 G F := F 2 F ) =:F G Siehe nächstes Blatt!

5 = F G G 2 := G 2 G ) =:G 2 = F G2 F 4 := F F 4 ) =:F 4 = F 4 G 2 G := G G2 ) =:G Da es sich bei den Matrizen F, F 2, F, F 4 sowie G, G 2, G allesamt um Elementarmatrizen handelt und da die invertierbaren Matrizen für jede Dimension) eine Gruppe bilden, sind F 4 und G invertierbar und für F := F 4, G := G gilt = F AG Der Vorteil oben durchgeführter Umformungen ist, dass man aus F AG sofort eine Basis des Bildes sowie des Kernes ablesen kann. Im Folgenden ist e i E k der i-te Vektor der Standardbasis von K k k =, 4). Wir sehen, dass e, e 4 KerL F AG ) insbesondere gilt nullityl F AG ) 2 und wegen ImL F AG ) = span{f AG) j) j 4 = span{e, e 2, dass RangL F AG ) = 2. Aus der Dimensionsformel folgt nullityl F AG ) = dim K 4 RangL F AG ) = 4 2 = 2 und somit ist {e, e 4 eine Basis von KerL F AG ). Da invertierbare Abbildungen linear unabhängige Mengen auf linear unabhängige Mengen abbilden, sind nach Teilaufgabe a) die Mengen L G {e, e 4 ) = {L G e ), L G e 4 ) beziehungsweise L F {e, e 2 ) = {L F e ), L F e 2 ) Basen von KerL A ) beziehungsweise von ImL A ). Wir berechnen F = F 4 = F F 2 F F 4 Bitte wenden!

6 Folglich ist = 2 2 = G G = = G G 2 G ) = G G 2 G = 2 = 2 eine Basis von ImL A ) und eine Basis von KerL A ). 2,, 2 c). Wir berechnen A = = = 2 = 2 Siehe nächstes Blatt!

7 = 2 Somit ist A ein Produkt von Matrizen vollen Ranges nämlich ein Produkt von Elementarmatrizen) und somit die Darstellungsmatrix einer Verknüpfung bijektiver Abbildungen und als solche insbesondere die Darstellungsmatrix einer surjektiven Abbildung. Folglich hat A vollen Rang, d.h. RangA) =. 2. In F 2 gilt + =, also ist A = = = = ) Somit ist A von der Form A = F I2 2 2 G, wobei F, G Produkte von Elementarmatrizen sind. Da Elementarmatrizen den Rang erhalten, folgt ) I2 RangA) = Rang 2 = Wir bezeichen im Folgenden mit die Überführung einer Matrix in eine andere Matrix mittels elementarer Zeilen- bzw. Spaltenumformung, wobei wir indizieren mit λz i bzw. λs j ) im Falle der elementaren Umformung Multiplikation der i- ten Zeile bzw. der j-ten Spalte) mit λ R, mit Z i Z i bzw. S j S j ) im Falle der elementaren Umformung Vertauschung der i-ten und der i -ten Zeile bzw. der j-ten und der j -ten Spalte) und mit Z i +λz i bzw. S j +λs j ) im Falle der elementaren Umformung Addition des λ-fachen der i -ten Zeile zur i-ten Zeile bzw. des λ-fachen der j -ten Spalte zur j-ten Spalte). Bitte wenden!

8 Man berechnet mit elementaren Zeilenumformungen A = und ebenso 4 A 2 = Als Beispiel invertieren wir A A I 4 ) = Z 2 +Z Z 2Z Z 4 Z Z Z 4 Z 4 +Z 2 Z 2 5Z Siehe nächstes Blatt!

9 Z 2 +6Z 4 Z 2Z Z +Z 4 Z 2 Z Z Z 4 Z 4 Z 2Z 4 Z 7Z / 7/ 5/ / / / 6/ 7/ 5/ 5/ 6/ / 2 / / / 6/ 7/ 5/ Folglich ist A = Bitte wenden!

10 5. Wir berechnen 2 A = = = ) = 2 = ) = 2 5 = ) = 5 = 2 2 5/2 8 2 ) = = 2 5/2 2 8 /8 2 ) = /8 = 2 5/2 2 8 /8 2 ) = 2 5 Siehe nächstes Blatt!

11 2 7/8 = 2 /4 2 5 /8 =:R 2 ) = 2 R hat die gewünschte Form und für 2 B := 2 gilt BA = R. Man kann B berechnen, indem man das Produkt der Inversen der oben auftauchenden Elementarmatrizen in der richtigen Reihenfolge) bestimmt, oder mittels Gauss-Elimination. In der Notation zur Lösung von Aufgabe liefert dies: B I ) = Z 2 +Z Z Z Z +2Z 2 Z Z 2 2 Z 2 8 Z Z 2 2Z Z +Z /2 / /2 /2 /8 /4 /8 /4 /4 /8 /4 /8 /8 /4 /8 /4 /4 /8 /4 /8 Bitte wenden!

12 und folglich ist /8 /4 /8 B = /4 /4 /8 /4 /8