MafI 1 Repetitorium Übungen

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1 MafI 1 Repetitorium Übungen M. Sc. Dawid Kopetzki KW 23 ( ) M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 1 / 10

2 Intro Themenübersicht Themen der heutigen Übung (Algebra): Wiederholung: Teilraum / Untervektorraum Lineares Gleichungssystem / Linearkombination Erzeugendensystem / Basis M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 2 / 10

3 Teilraum/Unterverktorraum Teilraum, Untervektorraum Sei (K, +, ) Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V. U heiÿt Teilraum von V wenn folgende Bedingungen gelten: 1 U 2 v, w U ( v + w) U 3 s K, v U (s v) U M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 3 / 10

4 Teilraum/Unterverktorraum Teilraum, Untervektorraum Sei (K, +, ) Körper und (V, +, ) ein K-Vektorraum. Sei U V. U heiÿt Teilraum von V wenn folgende Bedingungen gelten: 1 U 2 v, w U ( v + w) U 3 s K, v U (s v) U Aufgaben Sei V, +, ein K-Vektorraum und U 1, U 2 Teilräume von V. Zeigen Sie: U 1 U 2 ist Teilraum von V U 1 U 2 U 2 U 1 Tipp: Führen Sie einen Wiederspruchsbeweis. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 3 / 10

5 Lineare Gleichungssysteme Erweiterte Koezientenmatrix Das lineare Gleichungssystem: Kann durch die Koezientenmatrix 2x + 2y = 2 y + z = 4 x + z = 1 M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 4 / 10

6 Lineare Gleichungssysteme Erweiterte Koezientenmatrix Das lineare Gleichungssystem: 2x + 2y = 2 y + z = 4 x + z = 1 Kann durch die Koezientenmatrix dargestellt werden. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 4 / 10

7 Lineare Gleichungssysteme Umformung von Gleichungssystemen Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems über K ändert sich nicht, wenn man 1 zwei Gleichungen vertauscht 2 das c-fache einer Gleichung zu einer anderen addiert (c K ) 3 eine Gleichung mit c K \ {0} multipliziert M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 10

8 Lineare Gleichungssysteme Umformung von Gleichungssystemen Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems über K ändert sich nicht, wenn man 1 zwei Gleichungen vertauscht 2 das c-fache einer Gleichung zu einer anderen addiert (c K ) 3 eine Gleichung mit c K \ {0} multipliziert Elementare Zeilenumformungen Elementare Zeilenumformungen auf Matrizen aus K n m sind Abbildungen der folgen Form (für 1 k, l n) 1 V k,l : K n m K n m : Vertausche k-te und l-te Zeile einer Matrix 2 A k,l (c) : K n m K n m für c K : Addiere das c-fache der k-ten Zeile zur l-ten Zeile einer Matrix 3 M k (c) : K n m K n m für c K \ {0} Multipliziere die k-te Zeile einer Matrix mit c M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 5 / 10

9 Lineare Gleichungssysteme Elementare Zeilenumformungen Elementare Zeilenumformungen auf Matrizen aus K n m sind Abbildungen der folgen Form (für 1 k, l n) 1 V k,l : K n m K n m : Vertausche k-te und l-te Zeile einer Matrix 2 A k,l (c) : K n m K n m für c K : Addiere das c-fache der k-ten Zeile zur l-ten Zeile einer Matrix 3 M k (c) : K n m K n m für c K \ {0} Multipliziere die k-te Zeile einer Matrix mit c Aufgabe Für welche c R ist das folgende lineare Gleichungssystem lösbar? Geben Sie gegebenfalls die Lösungsmenge an. x + 2y + z = 6c 3x + 4y + z = 9c 3 x z = 12c M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 6 / 10

10 Lineare Gleichungssysteme Linearkombinationen Sei (V, +, ) ein K-Vektorraum mit Vektoren v 1,, v n V, dann heiÿt v V Linearkombination der Vektoren { v 1,..., v n } wenn es s 1,..., s n K gibt mit v = s 1 v s n v n Aufgabe Sind die Vektoren u = (2, 1, 2) t, v = ( 1, 0, 1) t und w = (0, 1, 1) t des R 3 linear abhängig? Gegeben sind die Vektoren u = (2, 1, 2) t, v = (0, 5, 2) t w = (1, 2, 1) t und z = (3, 2, 3) t des R 3. Stellen Sie z als Linearkombination u, v und w dar M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 7 / 10

11 Erzeugendensystem/Basis Erzeugnisse, Erzeugendensystem Sei (v, +, ) ein K-Vektorraum. Ist M V eine Teilmenge von V, so denieren wir das Erzeugnis von M als } M = df { n i=1 s i v i s i K, v i M, i = 1,..., n M heiÿt auch der von M erzeugte Teilraum von V. Die Menge M heiÿt Erzeugendensystem von M Aufgabe Seien u = (1, 3, 2) t, v = (4, 5, 6) t und w = (3, 2, 1) Vektoren des R 3. Ist die Menge { u, v, w} ein Erzeugendensystem für R 3? M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 8 / 10

12 Erzeugendensystem/Basis Eine Charakterisierung einer Basis Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem M von V ist eine Basis für V Aufgabe Seien u = (1, 3, 2) t, v = (4, 5, 6) t und w = (3, 2, 1) Vektoren des R 3. Ist die Menge { u, v, w} eine Basis für R 3? Aufgabe Zeigen Sie, dass die Menge { W = df x R 3 x = (x 1, x 2, x 3 ) mit x 1 + x 2 = 0 } ein Vektorraum ist. Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von W. M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 9 / 10

13 Erzeugendensystem/Basis Aufgaben Seien die Mengen U 1, U 2 deniert durch U 1 = df {x R 3 x 1 + x 2 x 3 = 0} U 2 = df {x R 4 x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 4 = 0} Zeigen Sie: 1 U 1 (U 2 ) ist Teilraum von R 3 (R 4 ) 2 Bestimmen Sie eine Basis für U 1 und U 2 3 Zeigen Sie die Basiseigenschaften M. Sc. Dawid Kopetzki MafI 1 Repetitorium Übungen 10 / 10