Von einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte A =(1, 5), C =(13, 4) und D =(5, 7) bekannt. Berechne den Punkt B.

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1 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt Übung. Von einem Parallelogramm ABD sind die Punkte A =(, 5), =(3, 4) und D =(5, 7) bekannt. Berechne den Punkt B. Übung 2. Stelle rechnerisch fest, ob das Viereck A =(5, 3), B =(, 7), =(23, 3), D =(6, 6) ein Trapez ist und gib gegebenenfalls an, welche Seiten zueinander parallel sind. Übung 3. Stelle fest, ob die gegebenen Punkte auf einer Geraden liegen und bestimme gegebenenfalls eine Parameterdarstellung derselben. A =( 3, ) B =(4, ) =(8, 2) Übung 4. Bestimme das (eindeutig bestimmte) Polynom p(x) =a + a x + a 2 x 2 über R, dasdie Werte p() =, p() = 2 und p(2) = annimmt. Übung 5. Bestimme den Schnitt der Ebene E und der Geraden g, die gegeben sind durch g = {(,, 2) + t(, 3, ) : t R} E = {(x,x 2,x 3 ) R 3 : x +2x 2 3x 3 =5} Übung 6. Gegeben sind die Punkte u, v, w im R 3. Stelle fest, ob es eine eindeutige Ebene gibt, die diese drei Punkte enthält, und wenn ja, bestimme ihre Gleichung. (a) u =(, 2, ), v =(2, 2, 2), w =(4, 2, 4). (b) u =(,, ), v =(, 2, 2), w =(,, 2). Übung 7. Bestimme den Schnitt der Ebenen E und E 2, wobei E = {(x, y, z) R 3 : x 2y +5z =} E 2 = {(,, 2) + t (, 5, 2) + s (,, ) : s, t R} Übung 8. Durch ein Dreieck gegeben durch (3,, ), (, 3, ) und (3, 3, 3) (Einheiten gemessen in m) strömt ein Gas mit Geschwindigkeit v = 4m/sec in Richtung (,, ). Welches Gasvolumen strömt in sec durch?

2 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 2 Übung 9. Zeichne die folgenden Teilmengen der komplexen Ebene. (a) {z 2 :< z 3i < 7} (b) {z 2 : z + z + z z <} (c) {z 2 : =(z 2 ) < 4} Übung. Löse das Gleichungssystem über Z 7. 4 x +5y = 5 x +4y = Übung. Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene im (Z 2 ) 3. g = {(,, ) + t(,, ) : t 2 Z 2 } E = {(,, ) + s(,, ) + t(,, ) : s, t 2 Z 2 } Übung 2. Zeige, daß in einem beliebigen Vektorraum mit Nullvektor o gilt Übung 3. Betrachte R 2 mit den Operationen a = o =) Welche Vektorraumaxiome sind erfüllt? =_ a = o (x, y) (x,y )=(x + x, ) (x, y) =( x, ) Übung 4. Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume über Q bzw. R? (a) Q n (b) R n

3 Übung 5. Welche der folgenden Mengen (mit den üblichen Operationen + und ) bilden Untervektorräume des R n (n 2)? (a) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x =} (b) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x } (c) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x 6=} (d) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x =} (e) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x x 2 =} (f) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x =2x 2 } (g) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x = x 2 = = x n } (h) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x apple x 2 apple applex n } (i) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x 2 + x x 2 n =} (j) {(x,x 2,...,x n ) 2 R n : x 3 + x x 3 n =} Übung 6. Welche der folgenden Mengen (mit den üblichen Operationen + und )bilden Vektorräume über R? (a) {p(x) =ax 3 + bx 2 + cx+ d : a, b, c, d 2 R,p() = } (b) {p(x) =ax 3 + bx 2 + cx+ d : a, b, c, d 2 R,p() = } (c) {p(x) =ax 3 + bx 2 + cx+ d : a, b, c, d 2 R,p() = p()} (d) {p(x) =ax 3 + bx 2 + cx+ d : a, b, c, d 2 R,b=} Übung 7. Sei g R n eine Gerade. Zeige, daß g ein Unterraum des R n ist genau dann, wenn 2 g. Übung 8. (a) Gib eine nichtleere Teilmenge U R 2 an, sodaß U unter Addition und Bildung additiver Inverser abgeschlossen ist (d.h., 8u, v 2 U : u + v 2 U, u v 2 U), aber doch kein Untervektorraum ist. (b) Gib eine nichtleere Teilmenge U R 2 an, sodaß U unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist (d.h., 8 2 R,u 2 U : u 2 U), aber doch kein Untervektorraum ist.

4 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 3 Übung 9. Bestimme im R 2 die linearen Hüllen der Mengen (a) {(, )} (b) {(,y):y 2 R} (c) {(,y):y 2 R} Übung 2. Drück den Vektor (2,, ) 2 R 3 als Linearkombination der Vektoren ~a =(,, ), ~ b = (,, 3) und ~c =(3, 5, 3) aus. Übung 2. Welche der folgenden Mengen sind linear unabhängig? (a) im R 3 (b) im (Z 5 ) = < 9 8 = < 9 = A : 2 ; : ; : ; Übung 22. Stelle fest, ob die folgenden Vektoren im 3 linear unabhängig sind. 8 i 2 i i 9 = A : +i ;. Übung 23. Stelle fest, ob die Polynome p i 2 R[t] linear unabhängig sind: p =(t ) 2 p 2 =(t +2) 2 p 3 =(t +)(t +2) Übung 24. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und x, y und z 2 V linear unabhängig. (a) Zeige: x z, y x + z und x + y z sind linear abhängig. (b) Für welche Werte von 2 K sind die Vektoren x + y und x y linear unabhängig? (c) Welche Bedingung muß K erfüllen, damit x + y, x + z und y + z linear unabhängig sind? Übung 25. Sei V ein K-Vektorraum und {a,a 2,...,a m } und {b,b 2,...,b n } jeweils linear unabhängige Mengen. Seien A = span{a,a 2,...,a m } und B = span{b,b 2,...,b n } die linearen Hüllen. Zeige: Die Vereinigungsmenge {a,a 2,...,a m,b,b 2,...,b n } ist linear unabhängig, genau dann wenn A \ B = {}.

5 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 4 Übung 26. Sei V = Q 4 und M = {(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )}, M 2 = {(,,, ), (,,, )}. Zeige, daß V von M erzeugt wird und daß M 2 linear unabhängig ist, und ergänze M 2 durch Hinzunahme von Elementen aus M zu einer Basis von V. Übung 27. Sei U ein der Unterraum von R 4,dervondenVektoren {[2,,, 2], [, 3, 3, ], [ 2,, 4, 2], [, 3,, 3], [, 3,, 3]} aufgespannt wird. (a) Bestimme die Dimension und eine Basis von U. (b) Erweitere die Basis zu einer Basis von R 4. Übung 28. Bestimme eine Basis des von der Menge {x 3 2ix 2 ix i, x 3 +(2+i) x i, x 3 ix 2 x + i, 2ix 2 +(4+2i) x 2i, x 3 ix 2 + x i} erzeugten Untervektorraums von [x]. Übung 29. Zeige, daß 8 >< U := >: (a,a 2,a 3,a 4 ): 9 a +3a 2 a 3 +3a 4 =>= 2a a 2 + a 3 3a 4 = 4a +5a 2 a 3 +3a 4 = >; einen Unterraum von (Z 7 ) 4 bildet und bestimme eine Basis von U. Übung 3. Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum über K und A V eine Teilmenge (nicht unbedingt endlich), sodaß V = L(A). Zeige, daß man eine endliche Teilmenge B A finden kann, die eine Basis von V bildet. Hinweis: Bestimme zunächst eine endliche Teilmenge von A, die den Vektorraum erzeugt. Übung 3. Zeige, daß die Polynome, (x a), (x a) 2,...,(x a) n eine Basis des Vektorraums R[x] n der Polynome vom Grad apple n bilden und bestimme die Koordinaten eines beliebigen Polynoms p(x) =a + a x + + a n x n bezüglich dieser Basis. Hinweis: die Ableitungen an der Stelle a betrachten! Übung 32. Sei K ein Körper und K[x] n der Vektorraum der Polynome vom Grad apple n. Mußjede Basis von K[x] n jeweils ein Polynom vom Grad,,...,n enthalten?

6 Übung 33. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K mit Basis {b,b 2,...,b n } und seien v,v 2,...,v k 2 V Vektoren mit eindeutigen Darstellungen v i = P n i= ijb j. Zeige: {v,v 2,...,v k } is linear unabhängig genau dann, wenn die Menge der Koordinatenvektoren {(, 2,..., n), ( 2, 22,..., 2n),...,( k, k2,..., kn)} linear unabhängig in K n ist.

7 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 5 Übung 34. Bestimme Durchschnitt und Summe der folgenden Teilräume von R 4 : U =[{(2,,, ), (,,, ), (3,, 2, )}] U 2 =[{(,,, ), (,,, ), (,, 2, )}] Übung 35. Seien W und W 2 Unterräume eines Vektorraums V.Zeige:W [ W 2 ist ein Unterraum genau dann, wenn entweder gilt W W 2 oder W 2 W. Übung 36. Sei V ein Vektorraum der Dimension n and seien U und W zwei verschiedene Unterräume der Dimension n. Zeige, daß dim(u \ W )=n 2. Übung 37. Sei V ein Vektorraum und seien U,U 2,U 3 V Unterräume. Zeige folgende Rechenregeln : (a) U + U = U (b) U + U 2 = U 2 + U (c) (U + U 2 )+U 3 = U +(U 2 + U 3 ) (d) (U \ U 2 )+(U \ U 3 ) U \ (U 2 + U 3 ). Konstruiere ein Beispiel, in dem (U \ U 2 )+(U \ U 3 ) ( U \ (U 2 + U 3 ). Übung 38. Gib drei Untervektorräume U, V und W des R 2 an, sodaß zwar U \V = {}, V \W = {} und U \ W = {}, aberu + V + W keine direkte Summe ist. Übung 39. (Austauschsatz). Sei V =[M]einvoneinerendlichenMengeM erzeugter Vektorraum und A V eine linear unabhängige Teilmenge. Zeige: Es existiert eine Teilmenge T M mit T = A und mit der Eigenschaft, daß M =(M \ T ) [ A wieder ein Erzeugendensystem von V ist. Übung 4. Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. (a) Zeige, daß die Anzahl der k-dimensionalen Unterräume von K n gegeben ist durch n k q = (qn )(q n q) (q n q k ) (q k )(q k q) (q k q k ). Hinweis: Bestimmezunächst die Anzahl der Möglichkeiten, k linear unabhängige Vektoren in einem m-dimensionalen Vektorraum über K zu wählen. (b) Zeige, ohne die explizite Formel aus (a) zu benützen, daß n k q n = k q + q n k n k Hinweis: Eink-dimensionaler Unterraum von K n ist entweder in K n {} enthalten oder nicht.. q

8 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 6 Übung 4. Bestimme den Rang der Matrix 3 5 B A 5 über R durch (a) Zeilenumformungen (b) Spaltenumformungen und bestimme jeweils eine Basis des Zeilenraums und des Spaltenraums. Übung 42. Bringe die Matrix B A über Z 7 durch Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Form A Übung 43. Wir betrachten das Gleichungssystem a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m x + a m2 x a mn x n = b m (a) Zeige, daß das Gleichungssystem genau dann lösbar ist, wenn b im Spaltenraum der Matrix a a 2... a n a A = B 2 a a A a m a m2... a mn enthalten ist. (b) Zeige, daß das Gleichungssystem genau dann lösbar ist, wenn der Rang der Matrix A gleich ist dem Rang derjenigen Matrix A b, die entsteht, wenn man den Vektor b als zusätzliche Spalte an die Matrix A anhängt.

9 Übung 44. Welche der folgenden Abbildungen f : R[x]! R sind linear? (a) f (p) =p(2) (b) f 2 (p) =p (2) (c) f 3 (p) =p () (d) f 4 (p) = p () p () 2 Übung 45. Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (a) f :R 2! R 2, (b) f 2 :R 2! R, x x 7! 2 x 2 5x +3x 2 7! x x x x 2 2 x (c) f 3 :R R! R, g 7! g() (d) f 2 :R 3! R x x 2 A x x 7! 2 x 3 Übung 46. Welche der folgenden Abbildungen f : R[x]! R[x] sindlinear? (a) f (p)(x) =p (x) (b) f 2 (p)(x) =p (x ) (c) f 3 (p)(x) =x 2 p(2x) (d) f 4 (p)(x) =2p(x 2 ) Übung 47. Seien U, V, W Vektorräume über einem Körper K und seien f : U! V und g : V! W lineare Abbildungen. Zeige, daß g f : U! W ebenfalls linear ist. Übung 48. Bestimme die Hintereinanderausführung g f : R[x]! R[x] f der Abbildungen g : R[x]! R p(x) 7! 2 p (2x)+ p(x) 7! p (2) Welche der involvierten Abbildungen sind linear?

10 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 7 Übung 49. Welche der folgenden Mengen bilden mit den angegebenen Verknüpfungen Gruppen? Welche sind kommutativ? (a) (N, ) mit x y = max(x, y) (b) (Q \{}, ) mit x y =2xy Übung 5. Zeige, daß es genau eine lineare Abbildung von f :(Z 5 ) 3! Z 5 mit den Werten f((,, )) =, f((,, 4)) = 2, f((,, )) = gibt und bestimme a, b, c 2 Z 5 so, daß f((x, y, z)) = ax + by + cz für alle x, y, z 2 Z 5 gilt. Übung 5. Bestimme die Matrix der linearen Abbildung f : R 2! R 3 ~x 7! A ~x,wobei A A bezüglich der Basen (, ) T, (, ) T R 2 und (,, ) T, (,, ) T, (,, ) T R 3 Übung 52. Bestimme die Matrixdarstellung der Abbildung Q : R[x] 2! R[x] 3 p(x) 7! x p(x) bezüglich der Basen (U,U,U 2 )für R[x] 2 und (U,U,U 2,U 3 )für R[x] 3,wobei U (x) = U (x) =x U 2 (x) =x 2 U 3 (x) =x 3 2x. Übung 53. Seien V, W Vektorräume und f : V! W eine lineare Abbildung. Seien weiters v, v 2,...,v n 2 V. Zeige: Wenn {f(v ),f(v 2 ),...,f(v n )} linear unabhängig ist, dann auch {v,v 2,...,v n }. Wann gilt auch der umgekehrte Schluß? Übung 54. Sei V ein Vektorraum F : V! V eine lineare Abbildung. Wir bezeichnen mit F k die k- fache Hintereinanderausführung F F {z F}. Sei v 2 V ein Vektor mit der Eigenschaft, k daß F n (v) 6= ist aber F n (v) =. Zeige, daß {v, F(v),F 2 (v),...,f n (v)} linear unabhängig sind. Übung 55. Sei f : V! W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und A deren Matrixdarstellung bezüglich Basen B V und W. Zeige, daß der Bildraum f(v )={f(v) :v 2 V } einen Unterraum von W bildet und daß rank f := dim f(v )= rank A.

11 Übung 56. (a) Seien U, V, W endlichdimensionale Vektorräume und f : U! V, g : V! W lineare Abbildungen. Zeige, dass rank g f apple min{rank g, rank f}. (b) Gegeben m, n 2 N und r apple min(m, n), finde lineare Abbildungen f und g, sodaß rank f = m, rank g = m und rank g f = m.

12 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 8 Übung 57. Berechne alle möglichen Matrixprodukte von jeweils zwei der folgenden Matrizen 2 A = 2 4 A 2 = A = A 4 4 = 4 A 5 = A A A 7 A Übung 58. Zeige oder widerlege: (a) Wenn A und B quadratische Matrizen 6= (Nullmatrix) sind, dann ist AB 6=. (b) Wenn A und B jeweils 2 2MatrizensindundAB =,dannistba =. (c) AB + BA = =) A 2 B 3 = B 3 A 2. (d) A 3 = =) I A invertierbar. Übung 59. Zwei n n-matrizen A und B kommutieren miteinander, wenn AB = BA. (a) Zeige, daß die Menge {A} aller Matrizen, die mit einer gegebenen n n-matrix A kommutieren, einen Unterraum von K n n bildet. Zeige, daß dieser Unterraum auch bezüglich der Matrixmultiplikation abgeschlossen ist, d.h., B 2{A} ^ 2{A} =) B 2{A}. (b) Bestimme die Menge aller Matrizen, die mit der A kommutieren. Übung 6. (a) Zeige, daß für zwei (kompatible) Matrizen A und B gilt (A B) T = B T A T (b) Zeige, daß für zwei invertierbare n n-matrizen A und B gilt: A B ist invertierbar und (A B) = B A (c) Zeige, daß die Matrizen eine Untergruppe von GL(n, K) bilden. {A 2 GL(n, K) :A t = A }

13 Übung 6. Sei V ein Vektorraum der Dimension n über einem Körper K. WeiterhinseienB = {b,b 2,...,b n } und = {c,c 2,...,c n } zwei Basen von V,für die gilt: nx c j = und Zeige, daß die Matrizen B =( ij )und invertierbar sind. b j = i= nx i= ijb i ijc i =( ij )zueinanderinversunddamitinsbesondere Übung 62. Sei A eine n n-matrix über einem Körper K und p(x) = P m k= a kx k 2 K[x] einpolynom vom Grad deg p = m. Wir definieren mx p(a) = a k A k, k= wobei A k das k-fache Matrixprodukt von A mit sich selbst ist und A := I die Einheitsmatrix. Sei M A der von {I, A, A 2,...} aufgespannte Teilraum von K n n. (a) Zeige, daß die Abbildung linear ist und daß darüberhinaus gilt f A : K[x]! K n n p(x) 7! p(a) (p q)(a) =p(a) q(a); dabei wird auf der linken Seite das Produkt der Polynome p(x) und q(x) gebildet und in x = A ausgewertet, während auf der rechten Seite das Matrixprodukt der Matrizen p(a) und q(a) gebildet wird. (b) Zeige, daß es ein Polynom p(x) 6= gibt,sodaßp(a) =unddaßdimm A mit dem kleinstmöglichen Grad eines solchen Polynoms zusammenfällt: dim M A =min{deg p : p(x) 2 K[x],p(x) 6=,p(A) =} Zeige weiters, daß es eine Basis von M A der Gestalt {I, A, A 2,...,A k } gibt und daß daher gilt dim M A =+max k :{I, A, A 2,...,A k } ist linear unabhängig. (c) Bestimme je ein Polynom mit kleinstmöglichem Grad wie in (b) für die A 2 2

14 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt 9 Übung 63. Seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Zeige, daß eine lineare Abbildung f : V! W genau dann surjektiv ist, wenn für jedes Erzeugendensystem E von V auch das Bild f(e) ein Erzeugendensystem für W ist. Übung 64. Sei A = und ' A : R 4! R 2,x7! A x. Bestimme jeweils eine Basis von ker ' A und im ' A. Übung 65. Bestimme alle linearen Abbildungen ' : R 5! R 2, deren Kern gegeben ist durch (a) ker ' = span{(,,,, ) t, (,,,, ) t, (,,,, ) t, (,,,, ) t } (b) 8 9 x x >< x 2 ker ' = Bx x 4 A : A x 2 Bx x >: 4 A = B A >; x 5 Übung 66. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ' : V! V ein Endomorphismus mit der Eigenschaft daß ' ' = ' ist. Diese Eigenschaft wird Idempotenz genannt und ein idempotenter Endomorphismus heißt Projektion. Zeige: (a) V = im ' ker ' (direkte Summe) (b) Sei B = {b,b 2,...,b n } eine Basis von V und B = {b,b 2,...,b n} die dazu duale Basis von V. Sei {b i,b i2,...,b im } B eine Teilmenge und U der davon aufgespannte Unterraum. Zeige, daß durch '(v) = P m j= hb i j,vib ij eine Projektion mit im ' = U definiert wird und bestimme ker '. (c) Folgere daraus, daß zu jedem Teilraum U V eine Projektion ' : V! V mit im ' = U existiert. Ist ' eindeutig? Übung 67. (a) Bestimme die duale Basis zur Basis 8 >< B = A >:, 2 2 A, 2 2A, x 5 A des R 4. (b) Bestimme die Matrix der eindeutigen (warum?) Projektionsabbildung ' : R 4! R 4 mit im ' = span{(,,, 2) t, (,, 2, ) t } und ker ' = span{(2,, 2, ) t, (,,, ) t }. 9 >= >;

15 Übung 68. Sei V = R[x] 2 der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 und es seien x,x,x 2 2 R voneinander verschiedene Punkte gegeben. (a) Zeige, daß die Linearformen b i, definiert durch b i (p(x)) = p(x i ), eine Basis B = {b,b,b 2} des Dualraums V bilden. (b) Bestimme eine Basis {p (x),p (x),p 2 (x)} von V, sodaß B dazu dual ist. Übung 69. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K, V der Dualraum und B eine Basis des letzteren. Zeige: (a) Für alle v 2 V gilt: v = () 8w 2 V : hw,vi = () 8w 2 B : hw,vi = (b) E V ist ein Erzeugendensystem genau dann, wenn gilt: 8w 2 V : (8v 2 E : hw,vi =) =) w =

16 Lineare Algebra WS2/22 Übungsblatt Übung 7. Bestimme die Lösungsmenge des reellen Gleichungssystems durch Gauß-Elimination. Übung 7. Invertiere die Matrix über Z 7. 2x + y + 2z w = 2x + y 2z + 2w = 2 3x + y 2w = A Übung 72. Bestimme diejenigen Werte von, für die das lineare reelle Gleichungssystem x + y z = 2x + 3y + z = 2 +3 x + y + z = (a) keine Lösung (b) genau eine Lösung (c) unendlich viele Lösungen hat und gib jeweils die Lösungsmenge an. Übung 73. Für welche Werte von a ist die a a 4A a 2 über Z 7 invertierbar? Übung 74. Es sei ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A 2 K m n und b 2 K m gegeben. Die Faustregel Anzahl der freien Parameter = Anzahl der Unbekannten - Anzahl der Gleichungen tri t nicht immer zu: (a) Gib ein Beispiel eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen in zwei Unbekannten an, das genau eine Lösung besitzt. (b) Gib ein Beispiel eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen in drei Unbekannten an, das keine Lösung besitzt. (c) Wie könnte eine exakte Formulierung der Faustregel lauten? Wann ist ein System von m Gleichungen mit n Unbekannten lösbar und wie berechnet man die Anzahl der freien Parameter?