Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 11

2 Erinnerung Proposition Es sei (v i ) i I eine Familie von Vektoren aus einem reellen Vektorraum V. Die Familie ist linear unabhängig, bzw. ein Erzeugendensystem von V, bzw. eine Basis von V, genau dann wenn jeder Vektor aus V auf höchstens bzw. mindestens bzw. genau eine Weise als Linearkombination in den v i dargestellt werden kann. Proposition Eine Familie (v i ) aus Vektoren des Vektorraums V ist genau dann linear abhängig, falls es ein j I gibt, so dass v j als Linearkombination in den v i mit i I, i j geschrieben werden kann, d.h. v j span(v i ) i I,i j. Alexander Lytchak 2 / 11

3 Beispiel Gibt es ein i I mit v i = 0, so ist (v i ) i I linear abhängig. Falls I aus nur einem Element besteht, so ist (v i ) i I = (v) genau dann linear unabhängig, falls v 0. Gibt es i, j I mit i j und v i = v j, so ist (v i ) i I linear abhängig. Eine aus zwei Vektoren bestehende Familie ist genau dann linear abhängig, falls einer der Vektoren ein Vielfaches des Anderen ist. Ist I I eine Teilmenge und ist (v i ) i I linear abhängig, so ist auch (v i ) i I linear abhängig. Die Familie ist genau dann linear abhängig, falls es eine endliche linear abhängige Teilfamilie gibt. Alexander Lytchak 3 / 11

4 Proposition Es sei (v i ) ein Familie von Vektoren in V. Dann sind äquivalent: a) (v i ) ist eine Basis von V. b) (v i ) ist ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V, d.h. (v i ) ist ein Erzeugendensystem und für jede echte Teilmenge I I ist (v i ) i I kein Erzeugendensystem. c) (v i ) ist unverlängerbar linear unabhängig, d.h. (v i ) ist linear unabhängig, und ist I I eine echte Obermenge, und erweitern wir (v i ) i I zu einer Familie (v i ) i I, so ist (v i ) i I linear abhängig. Definition Ein Vektorraum V heißt endlichdimensional, falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Ansonsten heißt er unendlichdimensional. Alexander Lytchak 4 / 11

5 Satz (Basisauswahlsatz) Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und (v 1,..., v k ) sei ein Erzeugendensystem von V. Dann bildet eine Teilfamilie dieser Familie eine Basis von V. Insbesondere hat jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis. Alexander Lytchak 5 / 11

6 Basisergänzungssatz Zum Basisauswahlsatz gibt es ein Gegenstück, den Basisergänzungssatz. Das nächste Resultat bildet das Fundament dazu: Proposition Es sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum mit Basis (v 1,..., v n ), n N. Dann ist jede Familie in V, die aus mindestens n + 1 Vektoren besteht, linear abhängig. Folgerung Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Basen von V endlich und haben die gleiche Länge. Alexander Lytchak 6 / 11

7 Dimension eines R-Vektorraums Definition Es sei V ein R-Vektorraum. Wir sagen, dass die Dimension von V gleich n ist, falls V eine Basis aus n Elementen besitzt. Wir schreiben dim V := n Falls V nicht endlichdimensional ist, setzen wir dim V :=. Bemerkung Da alle Basen in einem endlichdimensionalen Vektorraum die gleiche Länge haben, hängt diese Definition nicht von der Wahl der Basis ab. Für den Nullvektorraum haben wir dim 0 = 0, denn die leere Familie bildet eine Basis von 0. Beispiel Für alle n N gilt dim R n = n. Alexander Lytchak 7 / 11

8 Basisergänzungssatz Satz (Basisergänzungssatz) Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n und (v 1,..., v k ) eine linear unabhängige Familie. Dann gilt k n. Falls k = n, so ist die gegebene Familie bereits eine Basis von V. Falls k < n, so lässt sich diese Familie durch Vektoren v k+1,..., v n V zu einer Basis von V ergänzen. Folgerung Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und W V ein Untervektorraum. Dann ist auch W endlichdimensional und es gilt dim W dim V. Falls dim W = dim V, so ist W = V. Beispiel Da die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme mit n Unbestimmten Untervektorräume des R n sind, sind diese Lösungsmengen also endlichdimensional und haben Dimension n. Alexander Lytchak 8 / 11

9 Basisaustauschsatz Folgender Satz, der sogenannte Austauschsatz von Steinitz, ist eine Verschärfung des Basisergänzungssatzes: Satz Sei (v 1,..., v k ) eine linear unabhängige Familie eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V. Sei S = w 1,..., w n ein Erzeugendensystem von V. Dann gibt es eine Teilmenge von S, die zusammen mit den v i eine Basis von V bildet. Alexander Lytchak 9 / 11

10 Gauß Verfahren und Basen Sei (v 1,..., v k ) ein Erzeugendensystem eines Untervektorraumes V R n. Wie findet man eine Teilfamilie, die eine Basis ist? Hierzu löst man das Gleichungssystem λ 1 v λ k v k = 0 mittels des Gauß schen Verfahrens. Hat man eine Lösung mit λ j 0, so ist v j von den übrigen v i linear abhängig. Dann wiederholt man das Verfahren mit der Teilfamilie (v 1,..., v k ) \ {v j }. Auf eine ähnliche Weise kann man auch eine linear unabhängige Familie (v 1,..., v k ) des R n zu einer Basis von R n mit Hilfe des Gauß schen Verfahrens ergänzen. Alexander Lytchak 10 / 11

11 Unendlichdimensionale Räume Auch für unendlichdimensionale Vektorräume gelten die meisten der obenbewiesenen Sätze, manchmal in leicht modifizierter Form. Die Grundlage bildet dabei der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Der Beweis benötigt eine Aussage aus der Mengenlehre, das sogenannte Zornsche Lemma, das eigentlich ein Axiom ist. Dieser Beweis ist im Skritp dargestellt. Wenn die Zeit reicht, wird er am Ende der Vorlesung nachgeholt. Wir werden bis auf einige Beispiele immer nur mit endlichdimensionalen Räumen arbeiten. Alexander Lytchak 11 / 11