Aufbau der Projektiven Geometrie

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1 Seminararbeit zum Seminar aus Reiner Mathematik Aufbau der Projektiven Geometrie Leonie Knittelfelder Matr. Nr WS 2012/13

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Linearmengen Satz (1.3.1): Das Erzeugnis einer Menge U und einem Punkt P Basis und Dimension Basis Satz (1.3.2): Austauscheigenschaft Satz (1.3.3): Wann ist eine Menge eine Basis Satz (1.3.4): Verbindung von Basis und Erzeugendensystem Lemma (1.3.5) Austauschsatz von Steinitz für projektive Räume Satz (1.3.2): Austauschlemma Satz (1.3.7): Austauschsatz von Steinitz Korollar (1.3.8): Basisergänzungssatz Dimension Lemma (1.3.9) Lemma (1.3.10) Satz (1.3.11): Dimensionsformel Korollar (1.3.12)

3 1 Einleitung Diese Seminararbeit widmet sich dem Aufbau der projektiven Geometrie, einem Teilgebiet der projektiven Geometrie. Behandelt werden bekannte Sätze wie der Steinitzsche Austauschsatz für projektive Räume, dem Basisergänzungssatz oder die Dimensionsformel. Die Arbeit wurde ihm Rahmen der Lehrveranstaltung Seminar aus Reiner Mathematik im Wintersemester 2012/13 an der Karl-Franzens-Universität geschrieben. Das Buch Projektive Geometrie, erschienen im Vieweg und Teubner Verlag 2004, von Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum diente als Literatur. Speziell das Kapitel 1.3 Aufbau der Projektiven Geometrie diente als Grundlage. Die in Klammer geschriebenen Nummerierungen der Sätze, Lemma, ect. entsprechen denen im Buch. Der Inhalt dieser Seminararbeit ist in mehrere Kapitel und Unterkapitel gegliedert. Ersteres handelt von Linearmengen, deren Beispiele, wichtige Sätze und Definitionen, z.b. was heißt kollinear oder was ist das Erzeugnis? Zweiteres befasst sich mit den Begriffen Basis und Dimension. Ferner wird auch das Austauschlemma von Steinitz bis zur Dimensionsformel behandelt und bewiesen. Gute Unterhaltung und neue Erkenntnisse wünscht die Autorin (Leonie Knittelfelder) Matr. Nr

4 2 Linearmengen Sei P = (P, G, I) ein nicht ausgearteter projektiver Raum. Wobei P die Menge der Punkte, G die Menge der Geraden und I die Menge der Inzidenzen beschreibt. Man nennt P = (P, G, I) auch eine Inzidenzstruktur. Die Inzidenz ist die einfachste Realtion zwischen Punkten und Geraden. Definition: Sei U P. Man nennt U eine Linearmenge von P, wenn gilt: Für zwei verschiedene Punkte S und Q aus U, liegen auch alle Punkte auf der Gerade SQ in U. Jede Linearmenge U bildet eine Inzidenzstruktur P (U) = (U, G U, I U ), die wiederum ein projektiver Raum ist. Beispiele. Da Linearmengen Unterräume sind, kennt man die folgenden Beispiele schon aus der Linearen Algebra: Sowohl die leere Menge, alle Ein-Punkt Mengen, Geraden (als Menge der Punkte gesehen) und die Gesamtpunktmenge P. Außerdem gilt für jede Teilmenge U P, dass diese mindestens in einer Linearmenge enthalten ist. Definition: Punkte, die mit einer gemeinsamen Gerade inzidieren, nennt man kollinear. Gibt es keine solche Gerade, nennt man die Punkte nichtkollinear. Umgekehrt gilt für Geraden: Inzidieren mehrere Geraden mit einem Punkt, so nennt man diese kopunktal. Das Erzeugnis W mit W P ist die kleinste Linearmenge, die W enthält. W := {U W U, ULinearmenge} Insbesondere ist W ein von W aufgespannter Unterraum. Beispiele. Die Ebene ist beispielsweise das Erzeugnis von drei nichtkollinearen Punkten (Die eigentliche Definition einer Ebene folgt am Ende der Seminararbeit(. Die leere Menge erzeugt die leere Menge und ein Punkt S wieder den Punkt S. Zwei Punkte hingegen erzeugen die Verbindungsgerade. Anfangs wurde der Projektive Raum durch die kleinsten Linearmengen definiert, nun folgt man einem rekursiven Ansatz zum Aufbau, den der folgende Satz beschreibt. 2.1 Satz (1.3.1): Das Erzeugnis einer Menge U und einem Punkt P Sei U φ eine Linearmenge von P, P / U ein Punkt in P. Dann gilt U, P = {(P Q) Q U} wobei (P Q) die Menge der Punkte der Geraden P Q beschreibt. Ferner schneidet jede Gerade von U, P die Linearmenge U. 4

5 Beweis. : Trivial. U, P ist eine Linearmenge und enthält somit auch alle Geraden P Q mit Q U, d.h. U, P {(P Q) Q U}. : Zu zeigen ist, dass Γ := {(P Q) Q U} eine Linearmenge ist. Wir betrachten dazu eine Gerade g, die zwei verschiedene Punkte R und S aus Γ enthält, und zeigen, dass jeder Punkt X g in Γ liegt. Hier ist eine Fallunterscheidung nötig. 1. Fall: Gilt ebenfalls R, S U (Linearmenge), so ist natürlich := left(rs U Γ. 2. Fall: Inzidiert ein Punkt P mit der Geraden g, so ist sie von der Form g = P Q mit Q U. Die Gerade g enthält zwei verschiedene Punkte von Γ, also liegt der Punkt R P von der Gerade g ebenso auf (P Q) Γ mit Q U. Da es aber nur genau eine Gerade geben kann, die mit zwei verschiedenen Punkten inzidiert (Axiom 1), sind g und (P Q) ident. Daher nehme man an, dass g nicht mit dem Punkt R inzidiert. 3. Fall: Sei R U, aber S / U. Laut Annahme gilt S Γ, per Definition von Γ inzidiert die Gerade (P S) mit einem Punkt T U. Sei X g ein beliebiger Punkt. O.B.d.A. sei X R, S, weil wir zeigen wollen, dass X Γ gilt. So schneidet die Gerade P X die Seiten des Dreiecks aus den Punkten R, S, T genau in den verschiedenen Punkten X und P. Nach dem Axiom von Veblen-Young (Seien A, B, C, D vier Punkte. Die Geraden AB und CD inzidieren mit einem gemeinsamen Punkt, so haben auch AC und BD einen Schnittpunkt.) inzidiert die Gerade P X mit der Geraden RT. Man nenne diesen Schnittpunkt Z und Z (RT ) U, also auch X (P Z) Γ. 4. Fall: Seien R, S / U, aber R, S Γ, also gibt es R, S U, R (P R ) und S (P S ). g schneidet die Seiten des Dreiecks P, R, S in den verschiedenen Punkten R und S, weil g nicht mit P inzidiert. Durch Veblen-Young schneiden sich g und R S im Punkt Y U. Daraus folgt g = SY und mit Hilfe des vorigen Falles gilt dann (g) Γ. Daraus folgt nun: U, P = {V P V, U V, V Linearmenge} Γ Γ. Bemerkung. Laut diesem Satz sind alle Unterräume eines projektiven Raumes durch Angabe der Punkte, Geraden und Inzidenzen eindeutig festgelegt, daher kann die gesamte Geometrie beschrieben werden. 5

6 3 Basis und Dimension 3.1 Basis Satz (1.3.2): Austauscheigenschaft Sei U P eine Linearmenge und P P \ U. Dann gilt: Q U, P \ U P U, Q, insbesondere U, P = U, Q Beweis. Nach Satz (1.3.1) und Q U, P \ U gibt es Q U mit P (QQ ) U, Q. U U, Q P U, Q U, P U, Q Die andere Inklusion erfolgt analog. Definition: Sei B P eine Punktmenge. B heißt unabhängig, wenn B B P B \ B P / B. Umgekehrt heißt P abhängig von B, wenn P B. Man nennt eine Menge B, bestehend aus unabhängigen Punkten mit B = P, eine Basis von P. Beispiele. Eine Menge bestehend aus einem Punkt, zwei verschiedene Punkte oder drei Punkte, die nicht mit derselben Geraden inzidieren, sind unabhängig Satz (1.3.3): Wann ist eine Menge eine Basis Sei B P eine Menge aus Punkten. Sie ist genau dann eine Basis von P, wenn B ein minimales Erzeugendensystem ist, d.h. keine echte Teilmenge von B kann den Raum erzeugen. Beweis. = : Sei B eine Basis, also erzeugt diese P. Angenommen, B B : B = P. Daraus folgt P B \ B und daher gilt P B. Ein Widerspruch zur Unabhängigkeit von B. =: Sei B nun ein minimales Erzeugendensystem. Man muss nun zeigen, dass B unabhängig ist. Angenommen, B sei nicht unabhängig, also P B : P B \ {P }. P = B = B \ {P } {P } = B \ {P }, P B \ {P }. Hier hat bereits B \ {P } P erzeugt. Dies steht im Widerspruch zur Minimalität von B. Definition: Der projektive Raum P heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge B von Punkten existiert, die P erzeugt. Für die folgenden Sätze, Definitionen, etc. ist P immer ein endlich erzeugter projektiver Raum. 6

7 3.1.3 Satz (1.3.4): Verbindung von Basis und Erzeugendensystem Sei ξ ein endliches Erzeugendensystem von P. Dann hat P eine Basis B mit B ξ. Insbesondere ist diese Basis endlich. Beweis. Sei ξ 0 = ξ. Wenn ξ 0 ein minimales Erzeugendensystem ist, folgt, dass ξ 0 nach Satz (1.3.3) eine Basis. Ansonsten gilt: ξ 1 ξ 0 und diese erzeugt P. ξ ist endlich, also kommt man nach endlich vielen Schritten zu einer Basis B = ξ n ξ Lemma (1.3.5) Sei B P eine Menge von unabhängigen Punkten, seien B 1, B 2 B. Wenn B endlich ist, folgt: B 1 B 2 = B 1 B 2. Beweis. : B 1 B 2 B 1, B 2 B 1 B 2 B 1 B 2. : Man verwendet Induktion nach B 1. Für B 1 = 0 B 1 =, die triviale Aussage. Wir nehmen an B 1 1, also gilt die Aussage für Mengen mit B 1 1 Elementen. O.B.d.A sei B 1 B 2. Daher gilt: P B 1 \ B 2 ein Punkt. Nach Induktion gilt für B 1 := B 1 \ {P } die Behauptung. Annahme: Sei X ( B 1 B 2 ) \ B 1 B 2. Für X B 1 X B 1 B 2. Nach Induktion gilt also X B 1 B 2 und damit auch X B 1 B 2. Dies ist ein Widerspruch, also gilt: X B 1 \ B 1 = B 1, P \ B 1 Aus der Austauscheigenschaft folgt nun P B 1, X. Aber: X B 2 P B 1, X B 1, B 2 = B 1, B 2 = B 1 B 2 Aber P / B 2, B 1. Daraus folgt ein Widerspruch zur Unabhängigkeit von B, denn mit B 0 := B 1 B 2 B gilt: P B 0, aber P / B 0 7

8 3.2 Austauschsatz von Steinitz für projektive Räume Zuerst der Spezialfall: Satz (1.3.2): Austauschlemma Sei B eine endliche Basis von P. Dann gilt P P Q B (B \ {Q}) {P } ist eine Basis von P. Beweis. B < B B P B B B P / B Sei also Q B beliebig. 1. Sei P B \ {Q}, so folgt mit dem vorherigen Lemma (1.3.5) P B \ {Q} B = (B \ {Q}) B = B \ {Q} Dies ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von B, also P / B \ {Q} 2. Mit der Austauscheigenschaft und aus 1.) ergibt sich B 1 := B \ {Q} {P } = B \ {Q}, P = B \ {Q}, Q = B = P Daraus folgt, dass B 1 ein Erzeugendensystem von P ist. Man zeigt nun, dass B 1 unabhängig ist: Angenommen, B 1 sei abhängig, dann gilt X B 1 X B 1 \ {X}. Für X = P folgt, P B 1 \ {P }, was ein Widerspruch zu 1.) ist. Also muss X B\{Q}. Unsere Annahme behauptet: X B 1 \ {X} = B \ {Q, X}, P. B \ {Q} ist unabhängig, daraus folgt X / B \ {Q, X}. Mit der Austauscheigenschaft folgt nun aber P B \ {Q, X}, X = B \ {Q, X}, X = B \ {Q} Was wiederum zu einem Widerspruch zu 1.) führt, also ist B 1 unabhängig Satz (1.3.7): Austauschsatz von Steinitz Sei B eine endliche Basis von P. Wenn C eine unabhängige Menge ist, so gilt: 1. C ist eine endliche Menge mit C B. 2. B B : B = B C, sodass C B eine Basis von P. 8

9 Beweis. Sei B = r, C P : C = s. Wir führen eine Induktion nach s durch. s = 1: Die Behauptung ergibt sich durch das Austauschlemma. s > 1: Der Satz gelte für s 1. Sei P C ein beliebiger Punkt. Dann ist C = C \ {P } mit s 1 Punkten. Nach Induktion gilt s 1 r und B B B = r (s 1), sodass C B eine Basis von P. Wäre s 1 = r und damit B =, wäre bereits C eine Basis von P. Außerdem wäre P C, was ein Widerspruch zur Unabhängigkeit wäre, also gilt s r. Damit gilt Punkt 1). Zu Punkt 2): B < B C B : P B Angenommen, P ist in dem Erzeugnis einer echten Teilmenge von B enthalten. P B ( C B ) (1.3.5) = B ( C B ) = ( B C ) ( B B ) = B C C = C \ {P } Ein Widerspruch, also gilt B B. Für Q B B ist (C (B \ {Q})) {P } nach dem Austauschlemma eine Basis und es gilt: ( C ( B \ {Q} )) {P } = ( C {P } ) ( B \ {Q} ) = C ( B \ {Q} ) Man setze B := B \ {Q} und daraus ergibt sich Punkt 2). Abschließend nehme man an, C sei eine unendliche Menge, so gäbe es eine endliche Teilmenge mit r+1 = s r Elementen, dies stellt wiederum einen Widerspruch dar Korollar (1.3.8): Basisergänzungssatz Sei P ein endlich erzeugbarer projektiver Raum. Dann haben je zwei Basen von P dieselbe Anzahl an Elementen. Auch jede Basis eines Unterraums oder unabhänige Menge kann zu einer Basis von P erweitert werden. Beweis. Nach Satz (1.3.4) hat P eine endliche Basis mit r Elementen. Nach dem Austauschsatz von Steinitz (1.3.7) besitzt jede unabhängige Menge, speziell eine Basis, genau r Elemente. Sind nun B 1 und B 2 zwei Basen, folgt mit (1.3.7) Punkt 1 : Die Aussage folgt aus (1.3.7) Punkt 2. B 1 B 2 B 2 B 1 B 1 = B 2 9

10 3.3 Dimension Dimension: Sei P ein endlich erzeugter projektiver Raum. Ist nach dem Basisergänzungssatz d + 1 die Anzahl der Elemente einer Basis, so ist d die Dimension von P, dimp = d Lemma (1.3.9) Sei U P ein Unterraum. Dann gilt: 1. dim (U) dim (P). 2. dim (U) = dim (P) U = P Beweis. 1. Jede Basis U P ist unabhängig. Sie besitzt also höchstens dim (P) + 1 Elemente, also muss dim (U) endlich und es gilt: 2. =: Trivial. dim (U) dim (P) = : Aus dim (U) = dim (P) folgt, dass jede Basis B von U auch eine Basis von P ist, also U = B = P. Definition: Sei P ein projektiver Raum mit dim (P) = d <. Die Unterräume der Dimension 2 heißen Ebenen und die mit Dimension d 1 Hyperebenen von P. Die Menge aller Unterräume von P bezeichnet man mit U (P). Mit der Enthaltenseinrelation nennt man U (P) die zum projektiven Raum P gehörige projektive Geometrie. Die trivialen Unterräume sind die leere Menge und der gesamte Raum. Bemerkung. Da sich der projektive Raum und die projektive Geometrie gegenseitig eindeutig bestimmen, unterscheidet man die beiden sprachlich nicht Lemma (1.3.10) Sei P ein d-dimensionaler projektiver Raum, U ein t-dimensionaler Unterraum von P mit 1 t d. Dann gibt es d t Hyperebenen von P so, dass U der Durchschnitt dieser Hyperebenen ist. Beweis. Sei {P 0, P 1,..., P t } eine Basis von U. Man kann sie nun nach dem Austauschsatz von Steinitz zu einer Basis B = {P 0,..., P t, P t+1,..., P d } von P ergänzen. Man definiere H i := B \ {P t+i }, i = 1,..., d t 10

11 So erhalten wir d t Hyperebenen. Nun wird ihr Durchschnitt berechnet: H 1... H d t = {P 0,...P t, P t+2,..., P d }... {P 0,...P t, P t+1,..., P d 1 } (1.3.5) = {P 0,...P t, P t+2,..., P d }... {P 0,...P t, P t+1,..., P d 1 } = {P 0,..., P t } = U Satz (1.3.11): Dimensionsformel Seien U und W Unterräume von P. Dann gilt: dim ( U, W ) = dim (U) + dim (W) dim (U W). Beweis. Man wähle eine Basis A = {P 1,..., P s } von U W und ergänzen diese zu einer Basis B von U und C von W: B = {P 1,..., P s, P s+1,..., P s+t }, C = {P 1,..., P s, Q s+1,..., Q s+t }. Es genügt zu zeigen, dass B C eine Basis von U, W ist: 1. B C ist ein Erzeugendensystem von U, W wegen U, W = B C. 2. Man zeige B C ist unabhängig: Angenommen X U C \ A. Da C \ A W, gilt X W und vor allem X W U. X (U W) C \ A (1.3.5) = A C \ A =. Angenommen B C sei eine abhängige Menge. Dadurch gilt für einen Punkt P B C auch P (B C) \ {P }. O.B.d.A. kann man voraussetzen, dass P B ist. Dann folgt P (P C) \ {P } = B \ {P }, C \ A = B \ {P }, C \ A. Der Verbindungssatz (Sei M ein Teilraum und N / M, so gilt M {N} = {A + B B M}) besagt nun, dass es Punkte T C \ A und S B \ {P } U mit der Eigenschaft P (ST ). Angenommen (ST ) schneidet U in zwei Punkten, gelte ebenfalls, dass alle Punkte von (ST ) auch in U enthalten sind. Da T C \ A, entsteht hier aber ein Widerspruch. Also ist S der einzige Punkt in U und (ST ). Da P U ST, muss auch P = S B \ {P } gelten. Dies ist aber ein Widerspruch zur Unabhängigkeit von B. Also ist B C eine Basis von U, W. Damit folgt: dim ( U, W ) = B C 1 = s + t + s + t s 1 = s + t 1 + s + t (s 1) = dim (U) + dim (W) dim (U W). 11

12 Beispiel: Man nehme zwei verschiedene Geraden g, h. Diese spannen eine Ebene auf, wenn sie einen Punkt gemeinsam haben, da dim (g h) = 0, ansonsten erzeugen sie einen dreidimensionalen Unterraum Korollar (1.3.12) Sei P ein projektiver Raum, U ein beliebiger Unterraum und H eine Hyperebene. Dann gilt entweder U P : U H oder dim (U H) = dim (U) 1. Insbesondere trifft jede Gerade, die nicht in H enthalten ist, einen Punkt aus H. Beweis. Sei dim (P) = d und U H. Dann ist U, H ein Unterraum echt größer als H, also gilt U, H = P. Mit Hilfe der Dimensionsformel folgt: dim (U H) = dim (U) + dim (H) dim ( U, H ) = dim (U) + (d 1) d = dim (U) 1. 12