Zusammenfassung. von Kapitel 8 und Dezember Zusammenfassung. 8 Vektorräume. 9 Lin. Algebra. Vektorraum Unterraum allg. Rechenregeln.
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- Judith Pohl
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1 von Kapitel 8 und 9 9. Dezember 2013
2 Die Definition des es K ist ein Körper, dann heißt die Menge Î K-VR, falls:
3 Die Definition des es K ist ein Körper, dann heißt die Menge Î K-VR, falls: 1. Î ist bez. + eine abelsche Gruppe.
4 Die Definition des es K ist ein Körper, dann heißt die Menge Î K-VR, falls: 1. Î ist bez. + eine abelsche Gruppe. 2. Î ist bez. (Skalarmultiplikation) abgeschlossen: k 1,k 2 K,v 1,v 2 Î gilt: 1 1 v = v (Einselement)
5 Die Definition des es K ist ein Körper, dann heißt die Menge Î K-VR, falls: 1. Î ist bez. + eine abelsche Gruppe. 2. Î ist bez. (Skalarmultiplikation) abgeschlossen: k 1,k 2 K,v 1,v 2 Î gilt: 1 1 v = v (Einselement) 2 (k 1 +k 2 )v = k 1 v +k 2 v und (k 1 k 2 )v = k 1 (k 2 v)
6 Die Definition des es K ist ein Körper, dann heißt die Menge Î K-VR, falls: 1. Î ist bez. + eine abelsche Gruppe. 2. Î ist bez. (Skalarmultiplikation) abgeschlossen: k 1,k 2 K,v 1,v 2 Î gilt: 1 1 v = v (Einselement) 2 (k 1 +k 2 )v = k 1 v +k 2 v und (k 1 k 2 )v = k 1 (k 2 v) 3 k (v 1 +v 2 ) = kv 1 +kv 2
7 Die Definition & Satz des es Î ist K-VR und Í Î, dann heißt Í ein von Î, falls gilt:
8 Die Definition & Satz des es Î ist K-VR und Í Î, dann heißt Í ein von Î, falls gilt: 1 Ist u 1,u 2 Í, so ist u 1 +u 2 Í
9 Die Definition & Satz des es Î ist K-VR und Í Î, dann heißt Í ein von Î, falls gilt: 1 Ist u 1,u 2 Í, so ist u 1 +u 2 Í 2 Ist u Í,k K, so ist ku Í
10 Die Definition & Satz des es Î ist K-VR und Í Î, dann heißt Í ein von Î, falls gilt: 1 Ist u 1,u 2 Í, so ist u 1 +u 2 Í 2 Ist u Í,k K, so ist ku Í Gilt Í i Î für i I, so ist i I U i ein UR von Î
11 Die Definition & Satz des es Î ist K-VR und Í Î, dann heißt Í ein von Î, falls gilt: 1 Ist u 1,u 2 Í, so ist u 1 +u 2 Í 2 Ist u Í,k K, so ist ku Í Gilt Í i Î für i I, so ist i I U i ein UR von Î Sind U 1,U 2 UR von Î, dann ist U 1 U 2 ein UR von Î, wenn U 1 U 2 oder U 2 U 1
12 Die Definition & Satz des es Weitere Rechenregeln für den K-VR Î : Für Ï Î ist < Ï >= Í das Erzeugnis von Ï in Í
13 Die Definition & Satz des es Weitere Rechenregeln für den K-VR Î : Für Ï Î ist < Ï >= Í das Erzeugnis von Ï in Í Î =< Ï > Ï Î heißt Ï Erzeugendensystem von Î
14 Die Definition & Satz des es Weitere Rechenregeln für den K-VR Î : Für Ï Î ist < Ï >= Í das Erzeugnis von Ï in Í Î =< Ï > Ï Î heißt Ï Erzeugendensystem von Î Ist Ï Î {, so ist } n < Ï >= k j m j m j Ï,k j K,n N j=0
15 Die Definition & Satz des es Weitere Rechenregeln für den K-VR Î : Für Ï Î ist < Ï >= Í das Erzeugnis von Ï in Í Î =< Ï > Ï Î heißt Ï Erzeugendensystem von Î Ist Ï Î {, so ist } n < Ï >= k j m j m j Ï,k j K,n N j=0 Für Í 1,...Í k Î gilt: < U 1 Í k >=< Í 1,...,Í k >= Í 1 + +Í k
16 Die Definition & Satz des es Weitere Rechenregeln für den K-VR Î : Für Ï Î ist < Ï >= Í das Erzeugnis von Ï in Í Î =< Ï > Ï Î heißt Ï Erzeugendensystem von Î Ist Ï Î {, so ist } n < Ï >= k j m j m j Ï,k j K,n N j=0 Für Í 1,...Í k Î gilt: < U 1 Í k >=< Í 1,...,Í k >= Í 1 + +Í k Î heißt endlich erzeugbar, falls Î Ï { = {v 1,...,v } n }, n n < mit Î =< Ï >, also Î = k j v j k j K j=1
17 Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimensionen ( ) vi i I ist lin. unabh., falls k j v j = 0 k i = 0 j J
18 Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimensionen ( ) vi i I ist lin. unabh., falls k j v j = 0 k i = 0 j J heißt eine Basis von Î, wenn linear unabh. ist und Î vollständig durch erzeugt wird: v = j Jk j v j
19 Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimensionen ( ) vi i I ist lin. unabh., falls k j v j = 0 k i = 0 j J heißt eine Basis von Î, wenn linear unabh. ist und Î vollständig durch erzeugt wird: v = j Jk j v j Basen müssen nicht eindeutig sein (Steinitz scher Austauschsatz)
20 Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimensionen ( ) vi i I ist lin. unabh., falls k j v j = 0 k i = 0 j J heißt eine Basis von Î, wenn linear unabh. ist und Î vollständig durch erzeugt wird: v = j Jk j v j Basen müssen nicht eindeutig sein (Steinitz scher Austauschsatz) Î = = n ist die Dimension von Î und bez. die Anzahl der lin. u. Elemente in Î und kann endlich oder -groß sein
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