Proseminar Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/11 2. Dezember 2010 Lösungen

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1 Proseminar Einführung in die Mathematik 1 WS 1/11. Deember 1 Lösungen 46) Wie kann man nach Wahl eines Nullpunktes die Zeichenebene in natürlicher Weise als Vektorraum betrachten? Skriptum Kapitel 4, Par. 1. Sei E dieser Vektorraum. Welche Untervektorräume von E gibt es? Skiieren Sie diese Untervektorräume. {}, Geraden durch, E Beschreiben Sie geometrisch die Bedingungen, dass ein n- Tupel von Punkten linear unabhängig ist, dass ein n-tupel von Punkten den Vektorraum E ereugt und dass ein n-tupel von Punkten eine Basis von E ist! Da E weidimensional ist, kann ein n-tupel nur für n bw. n bw. n = linear unabhängig bw. ein Ereugendensystem bw. eine Basis sein. v 1 ) ist genau dann linear unabhängig, wenn v 1 ist. v 1, v ) ist genau dann linear unabhängig, wenn, v 1, v nicht auf einer Geraden liegen. v 1,..., v n ) ist genau dann ein Ereugendensystem, wenn, v 1,..., v n nicht auf einer Geraden liegen. v 1, v ) ist genau dann eine Basis, wenn v 1, v ) linear unabhängig oder ein Ereugendensystem ist cf. Sat 1). Wählen Sie drei vom Nullpunkt verschiedene Punkte A, B, C und eichnen Sie A + B) + C, A + B + C), A und A B! 47) Was ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums? Siehe Definition 133. Was ist eine Gerade in einem Vektorraum? Eine Gerade ist ein eindimensionaler affiner Unterraum. Es sei G die Gerade in R mit Aufpunkt, 3), die ur Geraden durch, ) und 1, ) parallel ist. Es sei H die Gerade in R mit Aufpunkt, 1), die ur Geraden durch, ) und

2 3, 4) parallel ist. Berechnen Sie den Durchschnitt von G und H. Es ist G = {, 3) + c1, ) c R} und H = {, 1) + d3, 4) d R}. Gesucht sind reelle Zahlen c und d mit, 3) + c1, ) =, 1) + d3, 4). Das Paar c, d) ist eine Lösung des Systems linearer Gleichungen ) ) 1 3, ), 4 4 also ist c, d) = 1, 4). Der Durchschnitt von G und H ist {, 3) + 11, )} = {1, 17)}. und Berechnen Sie reelle Zahlen a, b, c, d, e, f so, dass G = {x 1, x ) ax 1 + bx = c} H = {x 1, x ) dx 1 + ex = f} ist. Dabei sollen die Zahlen a, b, d, e eigentlich nicht berechnet, sondern direkt hingeschrieben werden). Was ist dann {x 1, x ) ax 1 + bx = } und {x 1, x ) dx 1 + ex = }? Berechnen ) Sie schließlich die Lösungsmenge des durch die Matrix a b c und die Spalte gegebenen Systems linearer Gleichungen. d e f) Es ist G = {, 3) + c1, ) c R} = = {x 1, x ) x 1 + 1)x =. + 1). 3) = 7} und H = {, 1) + d3, 4) c R} = {x 1, x ) 4x 1 + 3)x = ).1) = 3}. Die Mengen {x 1, x ) x 1 + 1)x = } und {x 1, x ) 4x 1 + 3)x = } sind die u G und H parallelen Geraden durch. Die Matrixform des Gleichungssystems ist x 1 + 1)x = 7, 4x 1 + 3)x = 3 ) , ), 3) die eindeutig bestimmte Lösung davon ist 1, 17). Wir haben nun den Schnittpunkt von G und H mit Hilfe ihrer impliiten Formen berechnet).

3 48) Wie kann man ähnlich wie in Aufgabe 46) nach Wahl eines Nullpunktes den Anschauungsraum in natürlicher Weise als Vektorraum betrachten? Skriptum Kapitel 4, Par. 1. Sei V dieser Vektorraum. Welche Untervektorräume von V gibt es? Skiieren Sie diese Untervektorräume. {}, Geraden durch, Ebenen durch, V Beschreiben Sie geometrisch die Bedingungen, dass ein n- Tupel von Punkten linear unabhängig ist, dass ein n-tupel von Punkten den Vektorraum V ereugt und dass ein n-tupel von Punkten eine Basis von V ist! Da V dreidimensional ist, kann ein n-tupel nur für n 3 bw. n 3 bw. n = 3 linear unabhängig bw. ein Ereugendensystem bw. eine Basis sein. v 1 ) ist genau dann linear unabhängig, wenn v 1 ist. v 1, v ) ist genau dann linear unabhängig, wenn, v 1, v nicht auf einer Geraden liegen. v 1, v, v 3 ) ist genau dann linear unabhängig, wenn, v 1, v, v 3 nicht auf einer Ebene liegen. v 1,..., v n ) ist genau dann ein Ereugendensystem, wenn, v 1,..., v n nicht auf einer Ebene liegen. v 1, v, v 3 ) ist genau dann eine Basis, wenn v 1, v, v 3 ) linear unabhängig oder ein Ereugendensystem ist cf. Sat 1). 49) Stellen Sie die Gerade in R 3 1, die man als Durchschnitt der Ebenen und { x y x, y, R, x + y = 3} { 1 + s 1 + t 1 s, t R } 1 1 erhält, in Parameterform und in impliiter Form dar. Liegt ein Tripel P in der weiten Ebene, dann gibt es reelle Zahlen s, t so, dass P = s t, 1 + s + t, 1 s) ist. Dieses

4 Tripel liegt genau dann in der ersten Ebene, wenn s t) s + t) 1 s) = 3 ist, also t = 5s 4 ist. Also ist { 1 +s 1 +5s 4) 1 s R } = 8 3 +R die Parameterform des Durchschnitts der wei Geraden. Die Dimension einer Geraden ist 1, daher sind wei Gleichungen mit drei Unbekannten) für die impliite Form erforderlich. Diese können direkt aus der Parameterform abgelesen werden: 7x + 9y = ) = 9, x + 9 = = 1. 5) Wir betrachten den Anschauungsraum nach Wahl eines Nullpunktes als Vektorraum. Das Punktetripel P, Q, R) sei eine Basis dieses Vektorraums. Welche Koordinatenspalten haben die Punkte Q, P Q, P + Q + 3R beüglich dieser Basis? 1, 1, 1 3 Zeigen Sie, dass der Durchschnitt der Ebenen durch P, Q und R und durch, 1P + Q) und 1 Q R) eine Gerade ist 3 und berechnen Sie eine Parameterform davon. Die Parameterformen der wei Ebenen sind {P + sq P ) + tr P ) s, t R} und { 1aP + Q) + 1 bq R) a, b R}. Ist 3 ein Punkt im Durchschnitt dieser wei Ebenen enthalten, dann gibt es reelle Zahlen a, b, s, t mit P + sq P ) + tr P ) = 1 3 ap + Q) + 1 bq R), also 1 s t)p + sq + tr = 1 3 ap a + 1 b)q 1 br. Weil P, Q, R) eine Basis ist, folgt daraus 1 s t = 1 3 a, s = 1 3 a + 1 b, t = 1 b, somit muss t = 1 s sein. Daher ist die Parameterform des Durchschnittes der wei Ebenen gleich {P +sq P )+ 1 s)r P ) s R} = 1 P +R)+RQ R).

5 Berechnen Sie die Koordinaten beüglich der Basis P, Q, R)) des Schnittpunktes der Geraden durch und P + Q + R mit der Ebene durch P, Q und R. Die Parameterform der Ebene ist {P + sq P ) + tr P ) s, t R}, die Parameterform der Geraden ist RP +Q+R). Wir suchen reelle Zahlen c, s, t mit P + sq P ) + tr P ) = cp +Q+R). Weil P, Q, R) eine Basis ist, bedeutet das, Zahlen c, s, t mit 1 s t = c, s = c, t = c u finden. Also: c = 1 und 4 der Schnittpunkt ist 1 P + Q + R). 4 51) Es seien a, b, c, d und a, b, c, d reelle Zahlen mit c und c. Zeigen Sie: Die Mengen { x y x, y, R, ax + by + c = d} { x y x, y, R, a x + b y + c = d } sind Ebenen in R 3 1. Sie sind genau dann parallel, wenn die Tripel a, b, c) und a, b, c ) linear abhängig sind. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung ist ein affiner Unterraum. Die Dimension der wei gegebenen Lösungsmengen ist 3 rga b c)) bw. 3 rga b c )). Weil c bw. c ist, ist der Rang der Zeile a b c)) bw. rga b c ) gleich 1, die Dimension der Lösungsmengen also gleich. Daher sind die wei Mengen Ebenen. Diese sind genau dann parallel, wenn die Lösungsmengen der entsprechenden homogenen Gleichungen ax + by + c = und a x + b y + c = gleich sind. Das bedeutet aber, dass die Stufenformen von a b c) und a b c ) gleich sind. Die Stufenform einer Zeile erhält man aber durch Multiplikation der Zeile mit einer Zahl.