Lineare Algebra Übungen

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1 Dr Andreas Maurischat Aachen 9 September 7 Lineare Algebra Übungen Vorkurs Mathematik 7 RWTH Aachen Aufgaben um Kapitel (Vektorrechnung Aufgabe Im R sind die Punkte P = (; ; Q = (; ; R = ( ; ; gegeben a Bestimmen Sie die Ortsvektoren p q und r der drei Punkte sowie sämtliche Verbindungsvektoren PQ QP PR etc b Welche dieser neun Vektoren sind Vielfache voneinander? c Rechnen Sie nach dass für diese Vektoren die Gleichung q + QP = RP gilt Aufgabe Im R sind die Punkte A = (; B = (; und C = (; gegeben (vgl Abbildung a Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB b Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S auf der Strecke MC der von C doppelt so weit entfernt ist wie von M c Zeigen Sie dass S auch auf der Strecke wischen A und dem Mittelpunkt M der Strecke BC liegt und war doppelt so weit von A entfernt wie von M d Zeigen Sie dass S auch auf der Strecke wischen B und dem Mittelpunkt M der Strecke AC liegt und war doppelt so weit von B entfernt wie von M e* Sind c und d speielle Eigenschaften der drei gewählten Punkte oder gelten Sie für beliebige Punkte A B und C?

2 Aufgabe Im R sind die Punkte P = (; ; Q = (; ; R = ( ; ; gegeben a Bestimmen Sie den Punkt Q den man erhält wenn man Q an P spiegelt b Bestimmen Sie den Punkt R den man erhält wenn man R an P spiegelt c Rechnen Sie nach dass Q R = QR gilt d* Zeigen Sie dass c für beliebige Punkte P Q und R gilt Aufgabe Bestimmen Sie jeweils eine Parameterform der Geraden durch die gegebenen Punkte a (; ; und (; ; b (7; 8; und (; ; c (; und (; Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen a (; ; und (; ; sowie (7; ; 8 b (; ; und (; ; sowie (; ; c (; ; und (; ; sowie (; 7; 6 Aufgabe 6 Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene welche die angegebenen Punkte bw Geraden enthält a (; ; und (; ; sowie (; ; b (; ; und (; ; sowie (; ; {( ( c (; ; und + s s R Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils ob die gegebenen Vektoren Vielfache voneinander sind a ( ( b ( ( c ( ( 6 d ( (

3 Aufgaben um Kapitel (Matrien Grundlagen der Matrixrechnung Aufgabe 8 Geben Sie die folgenden Matrien A expliit an a A = (a ij R mit a ij = i j für alle i j { b A = (a ij R mit a ij = i j (die j-te Poten von i für alle i j { c A = (a ij R mit a ij = i j für alle i { und j { d A = (a ij R mit a ij = (i + (j für alle i { und j { Aufgabe 9 Wie lauten die Einträge ( ( ( ( beiehungsweise ( (falls sie existieren der folgenden Matrien A = B = Aufgabe Welche der folgenden Matrien sind gleich? A = (a ij R mit a ij = i j B = (b ij R mit b ij = i + j C = (c ij R mit c ij = max{i j ( D = (d ij R mit d ij = i+j + j i ( E = (e ij R mit e ij = i j j+ + F = ( f ij R mit f ij = (i + + (j Argumentieren Sie geschickt und C = (? 7 Aufgabe Berechnen Sie jeweils (sofern möglich A + B und A B ( ( 6 9 a A = B = b A = 8 6 c A = 8 B = B =

4 Aufgabe Führen Sie jeweils die Skalarmultiplikation durch a ( b ( 8 7 Aufgabe Bilden Sie jeweils sofern möglich alle Produkte von je wei der folgenden Matrien also A AB BA B AC CA BC CB C A = E = ( ( B = C = ( D = F = G = ( ( H = Aufgabe a Bestimmen Sie für welche Matrien A und B sowohl das Produkt A B als auch das Produkt B A definiert ist b Geben Sie Beispiele von Matrien A und B wie in a an für die A B und B A von verschiedenem Format sind (verschiedene Anahlen Spalten bw Zeilen c Geben Sie Beispiele von Matrien A und B wie in a an für die A B und B A war vom gleichen Format aber nicht gleich sind Aufgabe Beweisen Sie das Assoiativgeset für die Matrixmultiplikation von reellen ( -Matrien Aufgabe 6 Bildet die Menge der reellen (n n - Matrien einen Körper? Geben Sie gegebenenfalls an welche Regel(n verlett ist (sind Aufgabe 7 Beweisen Sie dass ( n = ( für alle n N gilt

5 Aufgabe 8 Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe vollständiger Induktion: ( n ( n a Für alle n N gilt = n a a n b Für alle n N gilt a = a n dabei seien a a und a a a n reelle Zahlen n n n(n c Für alle n N gilt = n n d Für alle n N gilt = e Für alle n N gilt +( n ( n n ( n +( n = n *Aufgabe 9 Sei V eine Menge V heißt reeller Vektorraum oder auch R-Vektorraum falls auf V eine Addition + und eine skalare Multiplikation definiert ist sodass v + v V und r v V für alle v v V und r R erfüllt ist und weiterhin (V (v + v + v = v + (v + v (V es existiert ein V V mit V + v = v + V = v (V es existiert ein v mit v + ( v = ( v + v = V (V v + v = v + v (S r (v + v = r v + r v (S (r + r v = r v + r v (S (r r v = r (r v (S v = v für alle r r R und v v v V gilt Bildet die Menge der reellen (n m-matrien mit den aus der Vorlesung eingeführten Verknüpfungen + und (skalare Multiplikation einen R-Vektorraum?

6 Aufgaben um Kapitel (Lineare Gleichungssysteme Gauß-Verfahren Aufgabe Es seien folgende lineare Gleichungssysteme gegeben Geben Sie jeweils die ugehörige Koeffiientenmatrix und erweiterte Koeffiientenmatrix an: a b c x 7x + x + x = x + x x = x + x + x = x x + x = x + x x = 6x + x + x = x + x + x + x = x x x + x = Aufgabe Überseten Sie jeweils die Textaufgabe in ein lineares Gleichungssystem und lösen Sie es mit dem Additionsverfahren und/oder Einsetungsverfahren a Vor drei Jahren war Monika dreimal so alt wie Peter In vier Jahren ist Monika nur noch doppelt so alt wie Peter Wie alt sind Peter und Monika? b Drei normale Brötchen kosten so viel wie wei Körnerbrötchen Fünf normale Brötchen sind um 7 Cent teurer als drei Körnerbrötchen Wie viel kosten normale Brötchen und Körnerbrötchen? c Bei Zählungen am Gleisdreieck Mannheim-Friedrichsfeld wird festgestellt dass in dem beobachteten Zeitraum 8 Züge nach Mannheim fuhren oder aus Mannheim kamen Züge passierten das nördliche Ende Richtung Weinheim bw von Weinheim kommend und Züge fuhren nach Heidelberg oder kamen aus Heidelberg Wie viele Züge fuhren auf der Strecke Mannheim Weinheim wieviele auf der Strecke Heidelberg Mannheim und wie viele auf der Strecke Heidelberg Weinheim? Aufgabe Geben Sie jeweils ein (möglichst einfaches Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten an a das genau eine Lösung hat 6

7 b das unendliche viele Lösungen hat c das keine Lösung hat Aufgabe In Abbildung sind verschiedene (sphärische Polyeder abgebildet Für jeden solchen Polyeder gilt dass die Anahl k der Kanten genau um kleiner ist als die Summe der Eckenanahl e und der Flächenanahl f Bestehen alle Flächen aus Dreiecken so ist das Doppelte der Kantenanahl gleich dem Dreifachen der Flächenanahl (ählt man nämlich für jedes Dreieck die Kanten je so hat man am Ende jede Kante doppelt geählt weil jede Kante u wei Seitenflächen gehört Ähnlich erhält man einen Zusammenhang wischen der Eckenanahl und der Kantenanahl wenn an jeder Ecke gleich viele Kanten enden a Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für k e und f für den Fall des Oktaeders (lauter Dreiecke und an jeder Ecke enden Kanten auf und lösen Sie dieses b Stellen Sie entsprechend ein lineares Gleichungssystem auf für ein Polyeder dessen Seitenflächen lauter Dreiecke sind und bei dem an jeder Ecke fünf Kanten enden Lösen Sie auch dieses c Stellen Sie entsprechend ein lineares Gleichungssystem auf für ein Polyeder dessen Seitenflächen lauter Fünfecke sind und bei dem an jeder Ecke drei Kanten enden d Gibt es ein Polyeder aus lauter Dreiecken bei dem an jeder Ecke sechs Kanten enden? e Gibt es ein Polyeder aus lauter Fünfecken bei dem an jeder Ecke vier Kanten enden? Abbildung : Verschiedene Polyeder Aufgabe Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme a x x = x + x = b x +x = x x = x +x = c x +y + = x +9y + = x +y + = 7

8 Aufgabe Geben Sie jeweils an durch welche elementare Zeilenumformung die Matrix A in die Matrix B transformiert werden kann a A = und B = b A = c A = und B = und B = 7 Aufgabe 6 Geben Sie für jede der folgenden Matrien an ob sie in (Zeilen-Stufenform bw sogar reduierter Stufenform ist A = B = C = 8 6 D = E = F = Aufgabe 7 Transformieren Sie die nachfolgenden Matrien jeweils durch elementare Umformungen in eine Matrix in reduierter Stufenform 6 A = B = 6 C = D = 6 8

9 Aufgabe 8 Lösen Sie die in Aufgabe aufgestellten linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß- Verfahren Aufgabe 9 Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren a x + y + = x + 9y + = x + y + = b x x + 6x x = x + x x + x = x x + x x = c x + y + = y + = x + y + = Aufgabe Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren a x + y = x + 6y + = 8 x 7y = c x + = x + y + = x + y + = 6 e x + x + x = x + x + x + x = x + x x + x = x + x + x = b x + 8y = 6x + y + = x + 8y + = d x + x + x + x = x + x + x = x + x + 6x + x = f x + x + 8x = x + x + x + 6x = x + x + x = x + x + x + 8x = Aufgabe Bestimmen Sie jeweils alle Parameter a b c d R für die die Funktion f : R R x ax + bx + cx + d die gewünschten Bedingungen erfüllt a Es gilt f ( = und f ( = sowie f ( = b Es gilt f ( = und f ( = sowie f ( = c Die Gerade mit der Gleichung y = x ist die Wendepunkttangente des Graphen von f und die Wendestelle ist 9

10 *Aufgabe Gegeben sei das folgende Gleichstromnet: R I U R I R I I R In einem Gleichstromnet gelten die Kirchhoffschen Regeln Die Knotenregel besagt dass in jedem Knoten im Net die Summe der Ströme deren Pfeil auf den Knoten hinweist gleich der Summe der Ströme ist deren Pfeil vom Knoten wegweist Die Maschenregel besagt dass wenn man einen geschlossenen Weg durch das Net läuft und dabei die Produkte ±R k I k an den durchlaufenen Widerständen aufsummiert (mit positivem Voreichen wenn der Weg in Pfeilrichtung verläuft und mit negativem Voreichen wenn der Weg entgegen der Pfeilrichtung verläuft man die Summe der Spannungen der Spannungsquellen auf diesem Weg erhält Berechnen Sie mit diesen Regeln die Stromstärken in obigem Net wenn die Spannungsquelle 6 V hat und für die Widerstände R = Ω sowie R = Ω und R = Ω sowie R = Ω gilt Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine genau eine oder unendlich viele Lösungen hat a x + y = x + y + = y + = 6 b x + y + = x + y + = x + y + = c x y + = x y + = x y + = Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in Abhängigkeit von a R auf Lösbarkeit a x + ay + = a y a = x + (a y + (a + = a c x + y = a x + (a + y = a b x + = x + y + (a + = x + y + (a + = a + d x + a y = a x + y = a

11 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils in Abhängigkeit von a R ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine genau eine oder unendlich viele Lösungen hat a x + y + a = x + (a + y + = 7 x + y + a = b ax + y + = a ax + (a + y + (a + = a (a + ay + (a = Aufgabe 6 Bestimmen Sie aus dem Ergebnis von Aufgabe 9 a die Lösungsmenge von x + y + = x + 9y + = x + y + = (ohne erneutes Lösen eines Gleichungssystems Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils für die gegebene Matrix A ob das Gleichungssystem A x = b für alle b R lösbar ist a A = b A = c A = 6 Aufgabe 8 Aufgaben um Kapitel (Lagebestimmungen Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt (; ; auf der Geraden bw Ebene liegt {( ( a + r r R b c d {( {( 9 {( 9 ( + s s R ( ( + s + t ( ( + r + s s t R r s R

12 Aufgabe 9 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt P auf der Geraden QR liegt a P = (; ; Q = (; ; und R = (7; ; 8 b P = (; ; Q = (; ; und R = (; ; c P = (; ; Q = (; ; und R = (; 7; 6 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils ob die vier Punkte in einer Ebene liegen a (; ; und (; ; sowie (; ; und ( ; ; 8 b (; ; und (; ; sowie (; ; und (; ; c (; ; und (; ; sowie (; ; und ( ; 9; Aufgabe Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( ( 7 b ( ( ( 7 c ( 6 ( 7 ( 8 Aufgabe Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ob der dritte Vektor linear abhängig von den ersten beiden Vektoren ist a ( ( ( b ( ( ( 7 c ( ( ( 9 Aufgabe Argumentieren Sie möglichst geschickt ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind a ( ( 6 ( b ( 7 ( ( 6 c ( ( ( Aufgabe Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Geraden (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben genau einen Schnittpunkt; sind windschief und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt {( ( {( a + p p R und + q 9 ( q R

13 b c d e f {( {( 6 {( 6 {( {( 6 ( {( + p p R und + q ( {( 7 ( + r r R und + s ( {( 6 ( + r r R und + s 6 ( {( ( + t t R und + u ( + t t R und {( u ( 6 q R 8 ( s R s R u R u R Aufgabe Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr; Gerade und Ebene haben genau einen Schnittpunkt und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt {( ( {( 78 ( ( a + s s R und + q + r q r R b c 7 {( 6 {( 6 ( {( ( + r r R und + s + t 8 ( ( {( ( ( + p p R und + r + s s t R r s R Aufgabe 6 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade {( ( a + p + q b c d {( {( {( ( + r + s ( + q + r ( + t + u ( {( 6 ( ( p q R und + r + s ( r s R ( q r R ( t u R 6 {( 9 ( ( und + t + u {( ( ( und + s + t {( ( ( 6 und + r + s 7 r s R t u R s t R r s R

14 Aufgabe 7 Ein Parallelogramm ist ein Viereck dessen gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind Bestimmen Sie u den Punkten A = (; ; B = ( ; ; und D = (; ; einen vierten Punkt C so dass die vier Punkte ein Parallelogramm ABCD bilden indem Sie die Gerade durch B welche parallel u AD ist mit der Geraden durch D welche parallel u AB ist schneiden *Aufgabe 8 Seien A B C und D im R vier Punkte die in einer gemeinsamen Ebene liegen Definitionsgemäß ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm wenn gegenüberliegende Seiten ueinander parallel sind wenn also AB parallel u CD und AD parallel u BC ist a Zeigen Sie dass für ein Parallelogramm ABCD sogar AB = DC und AD = BC gelten (vgl Aufg 7 b Zeigen Sie dass genau dann AB = DC ist wenn AD = BC erfüllt ist c Zeigen Sie dass in einem Parallelogramm der Schnittpunkt der Diagonalen genau der Mittelpunkt beider Diagonalen ist d Zeigen Sie dass jedes Viereck dessen Diagonalen sich in ihren Mittelpunkten schneiden ein Parallelogramm ist Aufgaben um Kapitel (Skalarprodukt Längen und Winkel Aufgabe 9 Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren a ( ( b ( ( c ( ( d ( ( Aufgabe Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren a ( ( b ( ( c ( 9 (

15 Aufgabe Seien a b R m mit a a = a b = und b b = Berechnen Sie a a ( a + b b ( a + b ( a b c ( a + b ( a b Aufgabe Berechnen Sie jeweils die Länge des Vektors a ( b ( c ( d ( e ( f ( 8 6 Aufgabe Die drei Punkte A = (; ; B = (; ; und C = ( ; ; bilden ein Dreieck Untersuchen Sie ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist (dh wei Seiten gleich lang sind oder sogar gleichseitig ist (dh alle drei Seiten gleich lang sind Aufgabe Die drei Punkte A = (; ; B = ( ; ; und C = (; ; bilden ein Dreieck Untersuchen Sie ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist (dh wei Seiten gleich lang sind oder sogar gleichseitig ist (dh alle drei Seiten gleich lang sind Aufgabe Welche der folgenden Vektoren sind ueinander senkrecht? u = ( v = ( w = ( ( = Aufgabe 6 Bestimmen Sie jeweils alle s R für die v und w senkrecht aufeinander stehen a v = ( w = ( s ( s ( b v = w = s+ s ( s c v = s+ ( w = s Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils alle s R für die u senkrecht auf v und w steht a u = c u = ( s v = ( w = ( ( s s v = w = ( b u = ( s v = ( s ( ( ( s s s d u = v = s ( ss w = ( s w =

16 Aufgabe 8 Gegeben seien die drei Punkte A = (; 6; B = ( ; ; und C = (; ; a Zeigen Sie dass das Dreieck ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel bei B ist b Bestimmen Sie den Punkt D so dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils eine Koordinatenform der Geraden g = { u + r v r R im R wobei a u = ( und v = ( b u = ( und v = ( c u = ( und v = ( Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Koordinatenform gegebenen Geraden a {( x y R x + y = b { ( x x R x = Aufgabe 6 Berechnen Sie das Kreuprodukt der Vektoren v und w a v = w = b v = w = s s c v = 9 w = d v = s w = s + Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils das Kreuprodukt v w und geben Sie eine Normalenform und Koordinatenform der Ebene E = { u + p v + q w p q R an a u = b u = c u = ( ( ( v = v = v = ( ( ( w = w = w = ( ( ( 7 6

17 Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform und Koordinatenform der in Parameterform gegebenen Ebene {( ( a + p + q ( p q R {( ( b + p ( + q p q R Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Koordinatenform gegebenen Ebene {( a R xy x + y + = b R x y = Aufgabe 6 Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der gesuchten Geraden {( ( ( a Gerade senkrecht u + p + q p q R durch (; ; {( 8 ( {( 8 ( b Gerade senkrecht u + p p R und + q q R durch (; 8; c* Gerade die senkrecht auf g steht und in E enthalten ist wobei {( ( g = + p p R {( und E = + q ( + r ( q r R Aufgabe 66 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform und Koordinatenform der gesuchten Ebene {( ( a Ebene senkrecht u + p p R durch (; ; b Ebene die den Punkt (; ; enthält und senkrecht auf E und E steht wobei {( E = + p ( ( 7 { ( + q p q R und E = r + s c Ebene die die Gerade g enthält und senkrecht auf die Ebene E steht wobei g = {( + p 7 ( p R 6 {( 9 6 ( ( und E = + q + r ( r s R q r R Aufgabe 67 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt (; auf der gegebenen Geraden liegt a { ( x x R x + x = b { ( x x R x x = 7

18 Aufgabe 68 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Geraden und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt a { ( + r ( R r R und { ( x x R x + x = b { ( + r ( R r R und { ( x x R x x = Aufgabe 69 Untersuchen Sie jeweils ob der Punkt (; ; auf der gegebenen Ebene liegt a R x + y = b R x + y = Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene ist aber parallel u ihr; Gerade und Ebene haben genau einen Schnittpunkt und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt {( ( {( xy a + p p R und R x y + = b c 6 {( {( + p ( {( xy p R und ( 7 {( xy + p p R und R x + y = R x y + = Aufgabe 7 Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge und bestimmen Sie ggf die Schnittgerade a b c d e f g {( R 6 ( ( x y + = und + p + q {( R 8 ( ( 9 x y + = und + p + q {( R ( x y + = und + p + q {( R xy x + y + 8 = und {( R xy x + 7y + = und {( R xy x + y + 8 = und {( R xy x + y + 8 = und 6 6 ( R x + y + = p q R 7 p q R p q R R x + 9y + = R x + y + 6 = R x y 8 = 8

19 h {( R xy x y + = und R x y + = Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils den Winkel wischen den beiden Vektoren a ( ( b ( ( c ( ( Aufgabe 7 Berechnen Sie jeweils den Schnittwinkel der geometrischen Objekte in R {( 6 ( {( 6 ( a + p p R und + q q R b c {( {( ( ( {( ( + p + q p q R und + r + p ( + q ( r R {( ( ( p q R und + r + s r s R Aufgabe 7 Bestimmen Sie jeweils die Projektion des Vektors v in Richtung w a v = ( w = ( b v = ( w = ( c v = ( ( w = Aufgabe 7 Aufgaben um 6 Kapitel (Abstände Bestimmen Sie jeweils den Lotfußpunkt L von P auf der Geraden g bw der Ebene E {( 7 ( a P = (; ; und g = + r r R b P = (9; ; und g = {( ( + r r R {( ( ( c P = (7; ; 7 und E = + r + s {( ( ( d P = (; ; und E = + r + s 7 r s R r s R Aufgabe 76 Bestimmen Sie u den Daten aus Aufgabe 7 jeweils den Abstand von P und g bw E 9

20 Aufgabe 77 Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Geraden g bw der Ebene E {( 88 ( a P = ( ; ; und g = + r r R b P = (; 8; und g = {( 6 7 ( + r r R {( 8 ( ( c P = (; ; 7 und E = + r + s {( 6 ( 7 ( d P = ( ; 8; und E = + r + s 9 6 r s R r s R Aufgabe 78 Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Ebene E a P = ( ; 9; und E = R x + y = b P = (; ; und E = R 6x + y + = 7 Aufgabe 79 Berechnen Sie jeweils eine Normalenform oder Koordinatenform von E und bestimmen Sie dann den Abstand von P u E {( ( ( 9 a E = + p + q p q R und P = (; ; {( ( ( b E = + p + q p q R und P = (; ; c E = {( + p ( ( + q p q R und P = ( ; ; 9 Aufgabe 8 Untersuchen Sie jeweils ob die Gerade g ur Ebene E parallel ist und bestimmen Sie gegebenfalls den Abstand a g = + s s R und E = + s + t s t R 7 6 b g = + s s R und E = + s 6 + t 6 s t R

21 Aufgabe 8 Untersuchen Sie jeweils ob die Ebenen E und E parallel sind und berechnen Sie gegebenenfalls den Abstand von E und E {( ( ( {( xy a E = 6 + p + q p q R und E = 7 {( ( ( {( xy b E = + p + q p q R und E = {( c E = R xy x + y + = 9 und E = R x + y = R x + y + = R x y = Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Gerade g von der Geraden h a g = + s s R und h = + t t R b g = + s 8 s R und h = + t 7 t R Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Geraden g von der Geraden h bw der Ebene E sofern sie sich nicht schneiden {( ( a g = + p p R und h = {( ( {( b g = + p p R und h = 8 {( ( + q 7 + q ( q R q R {( ( {( ( ( c g = + p p R und E = + q + r {( ( {( 7 ( 6 ( 66 d g = + p p R und E = + q + r {( ( {( xy e g = + p p R und E = q r R q r R R x + y + =

22 Aufgabe 8 Aufgaben um 7 Kapitel (Kreise und Kugeln Welche geometrischen Figuren beschreiben die folgenden Mengen? {( x a R (x + (x + = 8 b c d e f x {( x x {( x x {( x x R (x (x + R x + x + x + 6x = R (x + x x (x + + x ( x = {( x x R (x x x + (x x + x ( + x + x 7 + x {( x x R (x x + x + x 8(x + x + x = 7 Aufgabe 8 Berechnen Sie u denen in Aufgabe 8 angegebenen geometrischen Objekten den Umfang den Flächeninhalt oder das Volumen Aufgabe 86 Gegeben sei eine Kugelfläche durch den Mittelpunkt P und einen Punkt Q auf der Kugelfläche Geben Sie jeweils eine expliite Darstellung der Kugelfläche an a P = (; ; Q = ( ; ; b P = (; ; Q = (; ; Aufgabe 87 Überprüfen Sie ob die Gerade g Sekante Tangente oder Passante des Kreises K ist und bestimmen Sie gegebenenfalls gemeinsame Punkte: {( ( {( x a g = + r r R und K = x {( ( {( x b g = + r r R und K = x {( ( c g = + r r R und K = K((; ; R (x + (x + = R x + x x + 8x + 9 =

23 d g = {( ( + r r R und K = {( x x R (x + (x = Aufgabe 88 Gegeben sei der folgende Kreisrand K((; ; = {( x x R (x + (x = sowie die Punkte ( P = Q = ( R = ( S = ( ( T = + und U = ( Welche Punkte liegen innerhalb des Kreises welche liegen genau auf dem Kreisrand und welche liegen außerhalb des Kreises Aufgabe 89 Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge der Kugelfläche K mit der Geraden g {( ( ( a g = + p p R und K = { x R x = 6 b g = {( 7 8 ( 9 + p p R und K = 9 { x R x ( {( ( { ( c g = + p p R und K = x R x = 7 =