8. Konvexe Polytope. Tobias Boelter. Mittwoch, 5. März TopMath Frühlingsschule

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1 1 / Konvexe Tobias Boelter TopMath Frühlingsschule Mittwoch, 5. März 2014

2 2 / 31 Es können auch nicht konvexe untersucht werden, wir beschränken uns hier aber auf konvexe. Mit einem Polytop ist hier deshalb immer ein konvexes Polytop gemeint. sind konvexe Mengen mit mehr Struktur und haben interessante (Geo)metrische und kombinatorische Eigenschaften spielen z.b. eine wichtige Rolle in der Optimierung (Vorträge 10, 11 morgen) Das Thema füllt ganze Bücher: Branko Grünbaum: Convex s, 1967 ( 450 Seiten) Günter Ziegler: Lectures on s, 1995, Springer ( 350 Seiten)

3 3 / 31 Gliederung Polyeder und Spezielle Graphen Eulerformel

4 4 / 31 Ein Polyeder ist der Schnitt endlich vieler Halbräume. für eine m n Matrix A und b R m P(A, b) def = {x R n : Ax b} x + y 2 y 2 x y 1 Bemerkung 8.1 Die Polyeder sind genau die Mengen P(A, b), denn jede Ungleichung definiert einen Halbraum.

5 5 / 31 Sei C eine konvexe Menge. Ein z C heißt Extrempunkt von C, falls für alle x, y C mit z xy gilt, dass x = z = y Für den Polyeder P = P(A, b) und z P sei A z die Matrix, die aus den aktiven Zeilen besteht, d.h. Zeilen a i mit a i z = b i Satz 8.2 z ist Extrempunkt von P rang A z = n Korollar 8.3 Ein Polyeder hat höchstens ( m) n Extrempunkte. Denn ( m) n ist die Anzahl der n n Teilmatrizen von A.

6 Beweis des Satzes: Sei z ein Extrempunkt. Angenommen rang A z < n. Dann gibt es ein c 0 : A z c = 0. Die Zeilen a i mit a i z < b i gehören nicht zu A z deshalb gibt es ein δ > 0 mit a i (z + δc) b i, a i (z δc) b i denn a i (z ± δc) = a i z ± δa i c und entweder a i c = 0 oder a i z b i > 0. Also A(z ± δc) b z ± δc P z + δc, z δc P 6 / 31

7 Sei umgekehrt z xy P mit rang A z = n. Es ist zu zeigen, dass x = z = y. Es ist also z = λx + (1 λ)y mit λ (0, 1). Für eine beliebige Zeile a i von A z gilt: b i = a i z = a i (λx + (1 λ)y ) = λa i x + (1 λ)a i y λb i + (1 λ)b i = b i a i x = b i und a i y = b i, denn beide Male kann keine echte Ungleichheit gelten. a i z = b i gilt sowieso Da rang A z = n, folgt x = z = y 7 / 31

8 8 / 31 Ein H-Polytop ist ein beschränkter Polyeder. Ein V-Polytop ist die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten. (H für Hyperplanes, V für Vertices) y 2 x + y 2 x y 1 x + y 0

9 9 / 31 Sei S R n kompakt und konvex. Eine Teilmenge F S heißt Seite, falls F =, F = S oder F = S H für eine Stützhyperebene H., S heißen uneigentliche Seiten, die anderen heißen echte Seiten. Falls dim F = k, heißt F eine k-seite. 0-Seiten heißen Ecken. 1-Seiten heißen Kanten. (n-1)-seiten heißen Facetten.

10 10 / 31 Eine Menge von Punkten {x 1,... x k } heißt minimale Darstellung des V-Polytops P = conv {x 1,... x k }, falls kein x i überflüssig ist, d.h. x i / conv j i x j Die minimale Darstellung eines V-Polytops existiert immer. Der folgende Satz besagt u.a. dass sie Eindeutig ist. Satz 8.4 Sei M = {x 1,... x k } eine minimale Darstellung von einem Polytop P. Dann sind äquivalent: i) x M ii) x ist Ecke von P iii) x ist Extrempunkt von P

11 11 / 31 H Beweis: i) ii) (x M x ist Ecke von P) Sei x M. Setze Q = conv(m \ {x}) Dann gibt es eine Hyperebene H, die {x } und Q strikt trennt verschiebe diese parallel sodass x H Q liegt jetzt obda in H + und deshalb auch P H + H stützt jetzt P an x Weil H P = {x } ist x 0-Seite. x Q

12 ii) iii) (x ist Ecke von P x ist Extrempunkt von P) a Sei H eine Stützhyperebene von P sodass H P = {x}. Sei x ab mit a, b P Da H nicht a und b trennen darf, muss ab in H liegen Da dim H P = 0 folgt a = x = b. iii) i) (x ist Extrempunkt von P x M) H x b Ein Extrempunkt kann nicht als Konvexkombination von zwei anderen Punkten in P dargestellt werden Deshalb muss er in der minimalen Darstellung enthalten sein. 12 / 31

13 13 / 31 Satz 8.5 Jede echte Seite eines V-Polytops P ist ein V-Polytop und die Anzahl der Seiten ist endlich. Beweis: Sei P = conv{x 1,..., x k } eine minimale Darstellung von P und H = [f : α] eine Stützhyperebene. obda sei {x 1,..., x r } H und f (x i ) > α für i = r + 1,..., k. { α falls i = 1,..., r Also f (x i ) = α + ɛ i falls i = r + 1,..., k mit ɛ i > 0

14 Sei x = k i=1 λ i x i, λ i 0, Dann ist Deshalb gilt λi = 1 ein beliebiger Punkt in P k f (x) = f ( λ i x i ) = = i=1 r λ i α + k λ i f (x i ) i=1 k λ i (α + ɛ i ) i=1 i=r +1 k k = α λ i + λ i ɛ }{{} i i=1 i=r +1 }{{} >0 =1 x H P f (x) = α (λ r +1,..., λ k ) = 0 x conv{x 1,..., x r } Wir haben also eine injektive Abbildung {Echte Seiten} Pot(x 1,..., x r ) Die Anzahl der Seiten ist deshalb endlich. 14 / 31

15 15 / 31 Satz 8.6 (Hauptsatz für ) Sei P R n. Dann gilt: P ist ein H-Polytop P ist ein V-Polytop Beweis: Sei P ein beschränkter Polyeder. Da P kompakt ist, ist P die konvexe Hülle seiner Extrempunkte. Die Anzahl der Extrempunkte von P ist nach Korollar 8.3 endlich. Also ist P ein V-Polytop Sei umgekehrt P ein V-Polytop und P = conv{x 1,..., x k } eine minimale Darstellung. obda sei dim P = n Seien F 1,..., F m die Facetten von P (nach Satz 8.5 endlich) und H i, H + i die zugehörigen Hyperebenen bzw. abgeschlossenen Halbräume d.h. F i = H i P und P H + i Wir wollen zeigen, dass P = H H + m Die Inklusion ist klar, da jeweils P H + i

16 16 / 31 zu zeigen: P H H + m Angenommen x H H + m aber x / P Wir setzen D def = B {x 1,...,x k } aff({x} B) #B=n 1 dim aff(b) = n 2 D ist also die endliche Vereinigung von affinen Unterräumen (flats) der Dimension höchstens n 1 Da dim P = n int P D Also gibt es einen Punkt y (int P) \ D Da y int P und x / P schneidet die Strecke xy den Rand des Polytops in einem Punkt z. z muss auf einer Facette von P liegen, denn sonst wäre z D und damit xy D im Widerspruch zu y / D Sei F j die Facette, die z enthält. Dann ist z H j Weil y int P H + j, muss x auf der anderen Seite von H j liegen. zu x H H + m

17 17 / 31 Skizze: H j x F j R 2 z y P

18 18 / 31 Gliederung Polyeder und Spezielle Graphen Eulerformel

19 19 / 31 Ein k-simplex S k ist ein Polytop mit k + 1 Ecken und Dimension k. Simplices können rekursiv konstruiert werden S 0 = {x 1 } S k = conv(s k 1 {x k +1 }) wobei x k +1 / affs k 1 Jede Seite des S n ist die konvexe Hülle von ein paar beliebigen Ecken Jede k-seite ist auch ein k-simplex Die Anzahl der k-seiten von S n ist damit gegeben durch ( n+1) k +1

20 20 / 31 Eine k-pyramide P k ist die konvexe Hülle eines Polytops der Dimension k 1 und einem davon affin unabhängigen Punkt x, genannt die Spitze Eine Pyramide ist damit eine Verallgemeinerung eines Simplex

21 21 / 31 Seien x 1,..., x k linear unabhängig. Dann ist X k def = conv{±x 1,..., ±x k } das k-kreuzungspolytop X 1 ist eine Strecke durch 0 X 2 ist ein Parallelogramm X 3 ist ein Oktaeder 0 0

22 22 / 31 Gliederung Polyeder und Spezielle Graphen Eulerformel

23 23 / 31 Mit Graphen können wir u.a. die kombinatorische Struktur von n erfassen Ein (einfacher, ungerichteter) Graph ist ein Paar G = (V, E) bestehend aus endlich vielen Knoten V und Kanten E {{u, v } u, v V } Graphen können in die Ebene gezeichnet werden V = {1,..., 6} E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {5, 6}} Mit K n bezeichnen wir den vollständigen Graphen auf n Knoten, d.h. V = {1,..., n} und E = {{u, v } u, v V }

24 24 / 31 Eine Folge von Knoten (x 1, x 2,..., x k ) heißt (x 1, x k )-Pfad, falls {x i, x i+1 } E für i = 1,... k 1. Ein (x,x)-pfad heißt Kreis falls kein Knoten zwei Mal durchlaufen wird. Ein Dreieck ist z.b. ein Kreis, eine 8 nicht. x y def (x = y oder es gibt einen (x,y)-pfad) ist eine Äquivalenzrelation Die Äquivalenzklassen bzgl. heißen Zusammenhangskomponenten Ein Graph G = (V, E) heißt zusammenhängend falls V eine Zusammenhangskomponente ist. Anders gesagt: Wenn zwischen je zwei Knoten ein Weg existiert

25 25 / 31 Zwei Graphen G 1 = (V 1, E 1 ), G 2 = (V 2, E 2 ) heißen isomorph falls es eine Bijektion f : V 1 V 2 gibt, die die Inzidenzen beibehält d.h. {u, v } E 1 {f (u), f (v )} E 2. Wie können beim Zeichnen von Graphen auch die Beschriftung der Knoten weglassen und damit die Äquivalenzklasse bzgl. Isomorphie ausdrücken.

26 26 / 31 Ein Graph heißt planar falls er so in die Ebene gezeichnet werden kann, dass sich Kanten nur in den Knoten Kreuzen. Kanten sind abei stetige, injektive Wege γ {u,v } : [0, 1] R 2 Äquivalent dazu ist, dass der Graph auf die Einheitsspähre S 2 im R 3 gezeichnet werden kann Denn R 2 und S 2 \ (0, 0, 1) sind homöomorph (Stereographische Projektion p) d.h. p, p 1 sind bijektiv, und stetig. Wege bleiben damit stetig und es können keine Kreuzungen entstehen (da bijektiv). Die Kanten teilen die Ebene bzw. Spähre nach dem Zeichnen in Regionen auf. Verantwortlich für das Entstehen von Regionen sind Kreise.

27 27 / 31 Zu einem Polytop P können wir den zugehörigen Graphen G(P) = (V, E ) definieren Seine Knoten sind die Ecken von P und {x, y } E falls conv{x, y } eine Kante von P ist. Beobachtung: G(P) ist immer zusammenhängend Beispiel 8.7 Die Graphen von 2-dim n sind Kreise G(S k ) = K k +1 Die Graphen von 3-dim n sind planar (Beweis später) Zwei heißen kombinatorisch äquivalent falls ihre Graphen isomorph sind.

28 28 / 31 Gliederung Polyeder und Spezielle Graphen Eulerformel

29 Sei P ein n-dim Polytop. Wir bezeichnen mit f k (P) die Anzahl der k -Seiten von P (0 k n 1) also f 0 (P) = #Ecken, f 1 (P) = #Kanten,... Die Euler-Charakteristik von P wird definiert durch n 1 χ(p) = ( 1) k f k (P) k =0 Satz 8.8 (Euler-Formel) χ(p) = 1 + ( 1) n 1 Beweis: Für die vorgestellten kann man die Formel einfach verifizieren (Buch von S. R. Lay) Den allgemeinen Beweis findet man in Grünbaums Buch. Wir werden später den Fall n = 3 verallgemeinern und beweisen, d.h. #Ecken + #Facetten = #Kanten / 31

30 Satz 8.9 Sei P ein 3-dim Polytop. Dann ist G(P) planar und zusammenhängend. Ecken werden zu Knoten, Kanten zu Kanten und Facetten zu Regionen. Beweis: Wir verschieben P sodass 0 rel int P. Jetzt können wir den Rand von P auf die Einheitssphäre injektiv und stetig projizieren durch proj: R 3 \ 0 S 2, x x x Die Bilder der Ecken und Kanten können wir dann als Zeichnung von einem Graphen auf die Einheitssphäre auffassen. Wegen der injektivität kreuzen sich dabei die Kanten nur in Knoten. Wege bleiben stetig. Facetten werden dabei zu Regionen. 30 / 31

31 31 / 31 Satz 8.10 (Euler-Formel) Sei G ein zusammenhängender, planarer Graph mit E Ecken, K Kanten und R Regionen. Dann gilt E + R = K + 2. Beweis (Induktion über K): Sei K = 0. Dann gilt E = 1 (Zusammenhang) und R = 1 Sei G ein Graph mit K Kanten, E Ecken und R Regionen. Wir unterscheiden zwei Fälle: Falls es keinen Kreis gibt, muss K = E 1 und R = 1 gelten. Andernfalls können wir eine Kreiskante entfernen Dadurch werden die Regionen, die rechts und links der Kante liegen verbunden. K und R vermindern sich um 1. Die Behauptung folgt durch Induktion.