3 Polytope. 3.1 Polyeder

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1 28 3 Polytope 3.1 Polyeder Polytope in der Ebene und im Raum standen neben Kreis und Kugel schon während der griechischen Antike im Mittelpunkt des mathematischen (und philosophischen) Interesses. Durch ihre spezielle Seitenstruktur kann man relativ einfach Volumen und Oberfläche berechnen, man kann durch Polytope beliebige konvexe Körper approximieren und sie spielen in anderen Bereichen wie Linearer Optimierung oder Spieltheorie eine wichtige Rolle. Im folgenden werden wir die üblichen Bezeichnungen Ecke für eine 0-Seite, Kante für eine 1-Seite und Facette für eine (dim K 1)-Seite einer konvexen Menge K verwenden. Weiter bezeichnen wir mit vertk die Eckenmenge der konvexen Menge K. Anschaulich lassen sich die bekannten Polytope im IE 2 und IE 3 auch als Durchschnitte von endlich vielen Halbräumen darstellen. Deshalb betrachten wir in diesem Abschnitt zuerst solche Mengen: Definition Der Durchschnitt endlich vieler abgeschlossener Halbräume heißt Polyeder. Speziell betrachten wir und IE d als Polyeder. Bemerkungen (1) Die Lösungsmenge von endlich vielen linearen Ungleichungen mit d Unbekannten ist ein Polyeder im IE d. (2) Ein Polyeder ist abgeschlossen und konvex, aber i.a. nicht beschränkt. (3) Endliche Durchschnitte von Polyedern sind wieder Polyeder. Beispiele (1) Jede Hyperebene H, jeder Halbraum H und jeder affine Unterraum von IE d ist ein Polyeder. (2) Ist {e 1,...,e d } die kanonische Basis des IE d, dann sind P 1 := {(ξ 1,...,ξ d ); ξ i 0}, P 2 := {(ξ 1,...,ξ d ); ξ i 0, d ξ i 1}, P 3 := {x; 1 xe i 1} Polyeder. Der nächste Satz beschreibt, wie man die Facetten eines Polyeders erhält und wie diese die Seitenstruktur des Polyeders festlegen:

2 3. Polytope 29 Satz Sei n IN, H i := {x IE d ; a i x α i }, 1 i n, Hyperebenen im IE d, K ein Polyeder mit n K := Hi (aff K) und F i := K H i, 1 i n. Weiter sei K weder ein affiner Unterraum noch kann man bei der Durchschnittsbildung einen der Halbräume weglassen. Dann gilt (a) relintk = {x K; a i x < α i, 1 i n}. (b) relbdk = n F i. (c) F 1,...,F n sind Facetten von K und es gibt keine weitere. (d) Für jede eigentliche Seite A von K gilt A = A F i F i. (e) K hat eine endliche Anzahl von Seiten, und jede eigentliche ist exponiert. (f) Jede Seite von K ist ein Polyeder. (g) Ist A j eine j-seite von K, A k eine k-seite von K mit 0 j k 2 und A j A k, dann gibt es Seiten A j+1,...,a k 1 von K, so daß A i Facette von A i+1, j i k 1. Allgemein folgt Satz Sei K ein Polyeder. Dann gilt: (a) K hat nur endlich viele Seiten und jede der eigentlichen Seiten ist exponiert und wieder ein Polyeder. (b) Jede eigentliche Seite ist Durchschnitt aller Facetten von K, die die Seite enthalten. (c) relbd K ist die Vereinigung aller Facetten (in aff K). (d) F 1,...,F n sind Facetten von K und es gibt keine weitere. (e) Hat K eine nichtleere j-seite, dann hat K auch k-seiten für jedes k mit j k dimk. Der nächste Satz gibt ein Kriterium dafür, wann eine beliebige konvexe Menge ein Polyeder ist. Satz Sei K eine abgeschlossene konvexe Menge. (a) Hat K nur endlich viele exponierte Seiten, dann ist K ein Polyeder. (b) Hat K nur endlich viele Seiten, dann ist K ein Polyeder.

3 3. Polytope Die Seiten eines Polytops Polytope wurden als konvexe Hüllen von endlich vielen Punkten definiert. Damit ergibt sich für Linearkombinationen konvexer Polytope: Satz Sind α i IR, P i Polytope, 1 i n, dann ist n α i P i ein Polytop. Bemerkung Die Summe von endlich vielen Strecken im IE d ist also ein Polytop, das man Zonotop nennt. Spezielle Zonotope sind die Parallelotope und damit die Quader und Würfel im IE d. Als Summe der 3 Strecken in der Ebene links ergibt sich das Zonotop rechts: Bei der Betrachtung der endlichen Punktmenge, die ein Polytop erzeugt, kann man sich auf die Eckenmenge von P beschränken und die Seiten eines Polytops sind konvexe Hüllen von Teilmengen der Eckenmenge vert P: Satz Sei P = conv ( {x 1,...,x n } ) ein Polytop und W V = vertp. Es gilt: (a) vertp {x 1,...,x n }. (b) P = conv(vertp). (c) Jedes Polytop hat nur endlich viele Seiten, und jede Seite ist ein Polytop. (d) convw ist Seite von P genau dann, wenn aff W conv(v \W) =. Bemerkungen Ist V = {v 0,...,v d } die Eckenmenge eines d-simplexes S = convv, dann ist für jede Teilmenge W V convw eine Seite von S. Polytope sind spezielle Polyeder, denn es gilt: Satz X IE d ist ein Polytop genau dann, wenn X ein beschränktes Polyeder ist. Bemerkungen Damit folgt speziell: (1) Der Durchschnitt zweier Polytope ist wieder ein Polytop. (2) Der Durchschnitt eines Polytops mit einem affinen Unterraum ist wieder ein Polytop. (3) Es gelten die Aussagen von Satz

4 3. Polytope 31 (4) Jede (dimp 2)-Seite eines Polytops P ist Durchschnitt von genau 2 Facetten von P. (5) Ist F 1 exponierte Seite eines Polytops P und F 2 exponierte Seite von F 1, dann ist F 2 exponierte Seite von P. Für konvexe Mengen gilt das nicht immer. Wir wollen nun die kombinatorische Struktur der Seiten eines festen Polytops untersuchen. Definition Seien P und P Polytope mit Eckenmengen V bzw. V. P und P heißen kombinatorisch äquivalent, wenn es eine bijektive Abbildung f : V V gibt, so daß für jede Menge W V gilt: convw ist Seite von P genau dann, wenn conv ( f(w) ) Seite von P ist. Beispiele (1) Alle Strecken sind zueinander kombinatorisch äquivalent. (2) Zwei Polygone sind zueinander kombinatorisch äquivalent genau dann, wenn sie dieselbe Eckenzahl haben. (3) Würfel, Quader, Parallelotope im IE 3 sind kombinatorisch äquivalent, ein Würfel und eine Pyramide über einem n-eck im IE 3 sind nicht kombinatorisch äquivalent. Bemerkung Sind zwei Polytope kombinatorisch äquivalent, dann müssen Sie dieselbe Eckenzahl haben. Andererseits haben eine Pyramide über einem Viereck und eine Doppelpyramide über einem Dreieck im IE 3 jeweils 5 Ecken, sind aber nicht kombinatorisch äquivalent. Eine Möglichkeit, die kombinatorische Struktur der Seiten eines d-polytops im IE d 1 darzustellen, ergibt sich aus folgendem Satz: Satz Sei P ein d-polytop mit Facetten F i und zugehörigen Stützhyperebenen H i, 1 i n. Dann gibt es zu jedem F i ein x i mit x i inth + i und x i H j für alle j i. Definition Sei P ein d-polytop mit Facette F, x wie im vorigen Satz, dann heißt das Bild von P unter der Zentralprojektion von x auf F Schlegel-Diagramm von P. Beispiele Tetraeder Würfel Oktaeder

5 3. Polytope 32 Für den zu einem Polytop polaren Körper gilt: Satz Sei P ein Polytop mit 0 intp, S(P) der Seitenverband von P, d.h. die Menge aller Seiten von P, und F S(P). Dann gilt: (a) P ist ein Polytop. (b) F ( ) := {y P ;yx = 1 für alle x F}. Dann ist F ( ) Seite von P und es gilt F ( )( ) = F. (c) f : S(P) S(P ) mit f(f) = F ( ) ist eine bijektive, inklusionsumkehrende Abbildung. Beispiele Das polare Polytop zu einem Würfel ist ein Kreuzpolytop, zu einem d-simplex ist ein d-simplex. Definition Zu P P d heißt das Polytop Q dual, falls es eine bijektive, inklusionsumkehrende Abbildung f : S(P) S(Q) gibt. Satz Zu jedem P P d existiert ein duales Polytop. 3.3 Spezielle Polytope und der Satz von Euler Wir bezeichnen im folgenden mit f i (P), 1 i dimp, die Anzahl der i-dimensionalen Seiten eines Polytops und setzen f i (P) := 0 für i < 1 und i > dimp. Definition Sei Q P d mit dimq d 1. (a) Ist x IE d, x aff Q, dann heißt P = conv{q,x} d-pyramide (über Q). Q heißt Basis von P, x heißt Spitze von P. (b) Jedes P P d heißt 0-fache Pyramide mit Basis P. Für r = 1,...,d heißt P P d r-fache Pyramide, falls P Pyramide über einer (r 1)-fachen Pyramide Q ist. (c) Sei I eine Strecke mit dim(relintq relinti) = 0. Dann heißt P = conv(q I) Doppelpyramide über Q. (d) Eine r-fache Doppelpyramide wird analog zur r-fachen Pyramide definiert. Beispiele (1) Ein d-simplex ist eine d-fache Pyramide. (2) Sei{e i ;1 i d}diekanonischebasisdesie d.dasd-kreuzpolytopx d = conv{±e 1,...,±e d } ist eine d-fache Doppelpyramide.

6 3. Polytope 33 Satz (a) Für eine r-fache Pyramide P mit Basis Q gilt f k (P) = Für ein d-simplex gilt f k (P) = ( ) d+1. k +1 (b) Für eine Doppelpyramide P mit Basis Q gilt { fk (Q)+2f k 1 (Q) 0 k d 2 f k (P) = 2f d 2 (Q) k = d 1 ( ) d Für das d-kreuzpolytop gilt f k (X d ) = 2 k+1, 1 k d 1. k +1 r i=0. ( ) r f k i (Q). i Satz (a) Sei P P d eine (d 1)-fache oder d-fache Pyramide. Dann ist P ein Simplex. (b) Sei P P d eine (d 1)-fache Doppelpyramide und dimp = d. Dann ist P eine d-fache Doppelpyramide. Definition Sei Q P d und x aff Q. Dann heißt P = Q +conv{ x,x} Prisma mit Basis Q. Das r-fache Prisma wird analog zur r-fachen Pyramide definiert. Ein d-faches Prisma heißt Parallelotop oder Parallelepiped. Ist P Parallelotop und Vektorsumme von d gleichlangen paarweise orthogonalen Strecken, dann heißt P Würfel. Analog zu den Pyramiden gilt Satz (a) Für ein Prisma P mit Basis Q gilt { 2f0 (Q) für k = 0 f k (P) = 2f k (Q)+f k 1 (Q) für 1 k d. Für ein d-parallelotop C gilt ( ) d f k (C) = 2 d k, 0 k d. k (b) Sei P P d ein (d 1)-faches Prisma und dimp = d. Dann ist P ein d-faches Prisma. Betrachtet man die Seitenverbände von Doppelpyramiden und Prismen, dann ergibt sich folgender Zusammenhang: Satz Sei {e i ;1 i d} die kanonische Basis des IE d, H die Hyperebene durch 0 orthogonal zu e d und Q,Q H polare Polytope mit 0 relintq. Weiter sei P = Q+conv{ e d,e d } das Prisma mit Basis Q, P = conv{q, e d,e d } die Doppelpyramide mit Basis Q. Dann sind P und ˆP polar, d.h. es gilt ˆP = P.

7 3. Polytope 34 Korollar Sind Q,Q P d dual, und ist P Prisma über Q, P Doppelpyramide über Q, so sind P und P dual. Speziell sind d-würfel und d-kreuzpolytop dual. Bemerkungen (1) Ist S ein d-simplex mit 0 ints, dann ist das polare Polytop S ebenfalls ein d-simplex. Je zwei d-simplices sind zueinander dual. (2) Als weitere besondere und für die kombinatorische Theorie wichtigen Beispiele betrachtet man folgende Polytopklassen: Ein Polytop P heißt simplizial, wenn jede eigentliche Seite von P ein Simplex ist. Beispiele simplizialer Polytope sind die d-simplices, die d-doppelpyramiden über einer simplizialen Basis und (speziell) das d-kreuzpolytop. EinPolytopP heißteinfach,wennjedeeckevonp ingenaudfacetten vonp liegt. Beispieleeinfacher Polytope sind die d-prismen über einer einfachen Basis und (speziell) das d-parallelotop. Es gilt: Ein zu einem simplizialen Polytop duales Polytop ist einfach und umgekehrt. Der folgende Satz gibt eine Beziehung zwischen den Seitenzahlen eines Polytops Satz (Satz von Euler) Sei P ein d-polytop und f i (P), i = 1,...,d, die Anzahl der i-seiten von P. Dann gilt d ( 1) i f i (P) = 0 i= 1 bzw. d 1 ( 1) i f i (P) = 1 ( 1) d. i=0 Der Satz von Euler gibt die einzige lineare Identität für die f i an, der alle Polytope genügen: d 1 Satz Für alle Polytope P P d gelte λ i f i (P) = µ, µ,λ i IR, 0 i d 1. Dann gibt es ein c IR mit λ i = c( 1) i, 0 i d 1, µ = c (1 ( 1) d ). i=0 Bemerkung Für simpliziale Polytope gelten die Dehn-Sommerville-Gleichungen d 1 ( ) i+1 ( 1) i f i (P) = ( 1) d 1 f k (P), k+1 i=k 0 k d 1. Für k = 1 hat man die Euler-Gleichung. Je [ 1 2 (d+1)] (mit Gauß-Klammer [ ]) dieser Gleichungen (zusammen mit der Euler-Gleichung) sind linear unabhängig.