Operations Research. Polyeder und Polytope. Polyeder und Polytope. Polyeder. Rainer Schrader. 11. Mai Gliederung. sei P R n

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1 Operations Research Rainer Schrader Polyeder und Zentrum für Angewandte Informatik Köln. Mai 27 / 83 2 / 83 Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder Polyeder und sei P R n Polyeder P heißt Polyeder, wenn es sich als Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen darstellen lässt d.h. es existieren eine Matrix A R m n und ein Vektor b R m derart, dass P = P(A, b) wie wir wissen, sind insbesondere folgende Mengen Polyeder: die leere Menge und der R n lineare oder affine Teilräume des R n die Matrix A und der Vektor b sind jedoch nicht eindeutig typischerweise gibt es unendlich viele verschiedene (endliche) lineare Ungleichungssysteme mit demselben Lösungsraum P 3 / 83 4 / 83

2 Polyeder Polyeder es ist sogar möglich, dass sich ein Polyeder als Lösungmenge eines nichtlinearen Ungleichungssystems ergibt Beispiel sei P die Punktmenge im nichtnegativen Quadranten der euklidischen Ebene P = {(x, x 2 ) R 2 + x 2 + 2x x x 2 2x 3x 2 } Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder P entspricht der Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems damit ist P ein Polyeder x + x 2 x + 2x 2 x, x 2 5 / 83 6 / 83 seien S, T R n beliebige Teilmengen die Minkowski-Summe S + T ist definiert als P = conv V + cone W = {v + w v conv V, w cone W }, (2) S + T = {s + t s S, t T }, wobei S + = S. () seien V = {v,..., v k } und W = {w,..., w l } zwei endliche Teilmengen des R n mit W sei P die Menge + = P = conv V + cone W = {v + w v conv V, w cone W }, (2) P besteht also aus der Menge aller Linearkombinationen z vom Typ d.h. die Minkowski-Summe der endlich erzeugten konvexen Menge conv V und des endlich erzeugten konvexen Kegels cone W z = kx lx µ i v i + λ j w j mit µ i, λ j, i= j= kx µ i =. i= 7 / 83 8 / 83

3 Sei P = conv V + cone W (2) Lemma Die Menge P = conv V + cone W ist ein Polyeder. wir wollen zeigen: P ist ein Polyeder und jedes Polyeder hat eine Darstellung vom Typ (2) in diesem Sinn sind Polyeder endlich erzeugt wir führen den Beweis in mehreren Schritten. wir betrachten V und W als Matrizen mit Spaltenvektoren v i und das davon erzeugte Ungleichungssystem z V x W y = T x = x, y die Lösungen (x, y, z) bilden ein Polyeder P in R k +m+n P ist die Projektion von P auf die z-koordinaten, damit folgt die Behauptung aus dem Projektionslemma. bzw. w j 9 / 83 / 83 der Beweis von Lemma zeigt: für P kann im Prinzip mit dem FM-Eliminationsverfahren ein Ungleichungssystem Ax b berechnet werden, so dass P = P(A, b) sei nun P ein beliebiges Polyeder mit P dann gibt es eine endliche Indexmenge I und Ungleichungen a i x b i derart, dass P = {x R n a T i x b i, i I}. wegen P dürfen wir b i {, } annehmen entsprechend zerfallen die Ungleichungen in die Typen A () x und A () x. Lemma 2 Seien A und B Matrizen und P = {x Ax, Bx }. Dann gilt für die Polare des Polyeders P: P pol = conv[a T, ] + cone B T. P pol besteht aus allen Vektoren c derart, dass die Ungleichung c T x von den Ungleichungen Ax und Bx impliziert ist nach dem Lemma von Farkas bedeutet dies: P pol = {c R n c = A T y + B T z, y, z, y T } = {c R n c = A T y + y + B T z, y, z, y, y T + y = } = conv[a T, ] + cone B T. / 83 2 / 83

4 Satz 3 (Dekompositionsatz von Weyl-Minkowski) Eine Teilmenge P R n ist genau dann ein Polyeder, wenn es endliche Mengen V, W R n gibt mit der Eigenschaft P = conv V + cone W. nach Lemma ist die Bedingung hinreichend wir beweisen die Notwendigkeit wir nehmen obda P an und unterscheiden die Fälle P und / P P: dann kann P geschrieben werden als P = {x Ax, Bx } nach Lemma 2 ist P pol = conv[a T, ] + cone B T nach Lemma ist dann Q = P pol ein Polyeder da P, gilt nach Satz.4 P = (P pol ) pol und somit P = (P pol ) pol = Q pol. wiederum aus Lemma 2 schließen wir: P kann als Minkowski-Summe einer endlich erzeugten konvexen Menge und eines endlich erzeugten konvexen Kegels ausgedrückt werden. 3 / 83 4 / 83 / P: wähle ein beliebiges t P und betrachte die Translation (Minkowskisumme) P = P + { t}. wegen P gibt es endliche Mengen V und W derart, dass für V = V + t und W = W folgt: P = conv V + cone W conv V + cone W = conv`v + t + cone W = conv V + t + cone W = P + t = P Nach dem Satz von Weyl-Minkowski erlaubt ein Polyeder P zwei zueinander duale Sichtweisen: Implizit: Explizit: P ist Lösungsmenge eines endlichen linearen Ungleichungssystems Ax b P ist die Menge aller Punkte, die von endlichen Mengen V und W gemäß (2) erzeugt werden. Wir werden gleich zeigen: zwischen den Darstellungen kann im Prinzip mit Hilfe des FM-Verfahrens gewechselt werden. 5 / 83 6 / 83

5 Die Situation verallgemeinert damit die bei linearen oder affinen Teilräumen A R n bekannte: einerseits ist A Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax = b andererseits gibt es eine endliche Menge S = s,..., s k derart, dass A die Menge aller affinen Linearkombinationen ist: x = λ s λ k s k mit Die Umrechungen zwischen den Darstellungen sind kx λ i = im linearen/affinen Fall effizient möglich (z.b. mit dem Gauss-Verfahren) im allgemeinen Fall im Prinzip einfach möglich Wir untersuchen dazu zuerst den Fall von Kegeln. i= für P = {x Ax, Bx } gilt nach Lemma 2: P pol = conv[a T, ] + cone B T speziell für einen Kegel P(B, ) folgt somit P(B, ) pol = cone B T nach Lemma.3 stimmen für Kegel Polare und dualer Kegel überein: P(B, ) = cone B T cone B T ist die Projektion auf die z-koordinaten des Systems z B T y = y berechne mit Fourier-Motzkin eine Matrix A mit der Eigenschaft cone B T = P(A, ). 7 / 83 8 / 83 berechne mit Fourier-Motzkin eine Matrix A mit der Eigenschaft cone B T = P(A, ). nach Satz.4 gilt für konvexe Kegel K = (K ) somit: P(B, ) = (P(B, ) ) = (cone B T L..3 pol L. 2 ) = P(A, ) = cone A T. das Vorgehen lässt sich auf allgemeine Polyeder verallgemeinern: zu P(A, b) wollen wir endliche Mengen V und W bestimmen mit P(A, b) = conv V + cone W. wir betrachten dazu den polyedrischen Kegel j» ff x K = R n+ Ax bt, t. t also bilden die Spaltenvektoren von A T (bzw. die Zeilenvektoren von A) ein Erzeugendensystem für den Kegel P(B, ). dann gilt: x P(A, b)» x K. Problem: diese Berechnungsmethode eines Erzeugendensystems über das FM-Verfahren ist im allgemeinen nicht effizient. 9 / 83 2 / 83

6 wie vorher bestimmen wir Vektoren h,..., h k R n mit der Eigenschaft j» ff x K = R n+ Ax bt, t = cone{h t,..., h k } wir können annehmen, dass die Erzeugenden folgende Form haben:» h h i = i mit t i = oder t i =. t i im Fall t i > können nämlich wir einfach den Vektor h i durch Division mit t i entsprechend normieren wir behaupten, dass die folgenden Mengen das Gewünschte leisten: V = {h i t i = } und W = {h j t j = }, denn wir haben für alle x P(A, b)» x = X» h µ i i hi V für geeignete µ i und λ j + X h j W ein Blick auf die letzte Komponente zeigt zudem und somit = X h i V µ i.» h λ j j x = X µ i h i + X λ j h j conv V + cone W. hi V h j W 2 / / 83 Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder Polyeder und Optimierung linearer Funktionen viele Anwendungsprobleme lassen sich als spezielle mathematische Optimierungsprobleme modellieren dabei ist eine lineare Funktion f (x) = c T x über dem Schnitt von (endlich vielen) linearen Ungleichungen zu maximieren Lineares Programm gegeben c R n, A R m n und b R m betrachte das Problem max c T x (3) x R n s.d. Ax b diskussionswürdig ist die Verwendung von max anstelle von sup bevor wir darauf eingehen noch ein paar Bemerkungen 23 / / 83

7 Optimierung linearer Funktionen max c T x (3) x R n s.d. Ax b die Ungleichungen werden auch als Restriktionen bezeichnet die Matrix A als die Restriktionsmatrix der Vektor b als die rechte Seite und f (x) = c T x als die Zielfunktion wir werden lineare Programme auch in einer anderen Form betrachten: u.a. anstelle von max cx die Aufgabe min cx anstelle von Optimierung linearer Funktionen max c T x (3) x R n s.d. Ax b betrachten wir auch lineare Programme in der Form s.d. max c T x (4) Ax = b x die Restriktionen lassen sich in die ursprüngliche Form bringen: Ax b A b Ax = b Ax b 4 A5 x 4 b5 x x I min cx ist jedoch äquivalent zu max ( c)x 25 / / 83 umgekehrt gilt Optimierung linearer Funktionen Ax b Ax + s = b s die beiden Formen sind damit äquivalent Ax+ Ax + s = b x +, x, s die s-variablen werden auch als Schlupfvariablen bezeichnet wir diskutieren jetzt die Verwendung des max anstelle von sup Optimierung linearer Funktionen nach Weyl-Minkowski können wir den Lösungsraum P = P(A, b) als P = conv V + cone W darstellen, dann ergibt sich sofort: () ist P =, so hat das lineare Optimierungsproblem keine Lösung () gibt es ein w cone W mit c T w >, so sind die Zielfunktionswerte nach oben unbeschränkt ( ) (2) gilt c T w für alle w cone W und ist V, dann ist max x P ct x = max v V ct v <. 27 / / 83

8 Optimierung linearer Funktionen Beweis von (2): unter den angenommenen Umständen gilt max x P ct x = max x conv V ct x. c sei V = {v,..., v k } und v = P k i= µ i v i conv V ein beliebiges Element c wegen µ i und P i µ = folgt: und somit c T v = kx µ i c T v i ( max j=,...,k ct v j ) i= c max x P ct x = max v V ct v. kx i= µ i = max v j V ct v j 29 / 83 3 / 83 Optimierung linearer Funktionen Theoretisch lässt sich somit das lineare Optimierungsproblem auf das folgende reduzieren: (i) stelle fest, ob P(A, b) = (ii) andernfalls stelle fest, ob für ein w W die Ungleichung c T w > gilt (iii) andernfalls, löse das Problem max v V c T v. Bemerkung Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder Polyeder und das Problem ist also entweder leer, unbeschränkt oder das Maximum wird angenommen damit ist die Verwendung von max motiviert (ii) gilt nicht c P(W T, ) = W für alle w W die Frage ist, inwieweit dieser Ansatz praktikabel ist 3 / / 83

9 Rezessionskegel Rezessionskegel seien V und W endliche Mengen mit W sei P = conv V + cone W das erzeugte Polyeder der Rezessionskegel von P ist der konvexe Kegel P = cone W sei jetzt P = (A, b) implizit gegeben über den Rezessionskegel haben wir bereits gesehen: mit seiner Hilfe kann die Unbeschränktheit eines linearen Programms getestet werden er kann aufwendig mittels FM-Elimination berechnet werden es stellt sich daher die Frage, ob er einfacher berechnet werden kann Lemma 4 Seien A R m n und b R m so, dass P(A, b) = conv V + cone W und W. Dann gilt: cone W = P(A, ). sei p ein beliebiger Punkt in P(A, b) dann ist p = v + w mit v conv V und w cone W da v + λw P(A, b) für alle λ, folgt folglich Aw und somit cone W P(A, ) lim λ(aw) = lim A(λw) b Av λ λ 33 / / 83 Rezessionskegel und somit cone W P(A, ) weiter gilt für alle v conv V und z P(A, ): A(v + z) = Av + Az b + = b d.h. P = conv V + cone W conv V + P(A, ) P und somit P = conv V + cone W = conv V + P(A, ) außerdem hatten wir für beliebige Koordinatenvektoren c festgestellt: Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder Polyeder und c (cone W ) (3) besitzt Optimallösung c P(A, ) also folgt (cone W ) = P(A, ) da für Kegel K = (K ) gilt, folgt daraus cone W = P(A, ). 35 / / 83

10 ein Polytop ist ein beschränktes Polyeder, d.h. es existiert ein R > mit x R für alle x P. damit sind die genau die kompakten Polyeder dabei lassen wir P = als leeres Polytop zu nach Weyl-Minkowski ist eine Menge P R n genau dann ein Polytop, wenn eine endliche Menge V R n existiert mit P = conv V. Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel Lineare Optimierung und Diskrete Optimierung und rationale Polyeder Polyeder und Lemma 5 P(A, b) ist genau dann ein Polytop, wenn P(A, ) = {}. 37 / / 83 wir betrachten lineare Zielfunktionen f (x) = c T x über einem Polytop wir wissen: P = conv V = max x P ct x = max v V ct v. diese Eigenschaft gilt aber auch umgekehrt. Lemma 6 Sei P R n ein Polytop und V P eine endliche Teilmenge. Dann gilt: P = conv V max x P ct x = max v V ct v für alle c R n. Lemma 7 Sei P R n ein Polytop und V P eine endliche Teilmenge. Dann gilt: P = conv V max x P ct x = max v V ct v für alle c R n. es ist noch zu beweisen, dass die Eigenschaft hinreichend für P = conv V ist angenommen, es gäbe ein y P conv V, nach dem Trennungslemma gibt es dann ein c mit der Eigenschaft c T y > max{c T x x conv V }, was die Bedingung verletzen würde. 39 / 83 4 / 83

11 Lemma 8 Sei V R n endlich und v V so, dass v / conv(v {v }). Dann ist v Ecke von conv V. sei P = conv V und S = conv(v {v }) da v / S, existieren v S und c R n sei z = c T v c T v > c T v c T x dann ist z Optimalwert des Problems so, dass für alle x S max x S ct x = max v V {v } ct v andererseits gilt z < c T v max x P ct x = max v V ct v =: z d.h. z = c T v. sei x ein beliebiger Punkt in P = conv V, d.h. ist c T x = z, so folgt x = X v V λ v v mit λ v, X v V λ v = z = c T x = λ v c T v + X v v λ v c T v λ v z + ( λ v )z. wegen z < z folgt daraus λ v = und deshalb x = v also folgt P {x R n c T x = z } = {v } d.h. v ist Ecke von P. 4 / / 83 Satz 9 Jedes nichtleere Polytop P ist die konvexe Hülle seiner Ecken. sei V eine minimale Erzeugendenmenge mit P = conv V dann gilt v / conv(v {v}) für alle v V da ansonsten P = conv(v {v}) im Widerspruch zur Minimalität von V nach Lemma 8 besteht V dann nur aus Ecken von P. Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel Lineare Optimierung und Diskrete Optimierung und rationale Polyeder Polyeder und Der obige Satz garantiert insbesondere, dass jedes nichtleere Polytop auch Ecken hat. Für Polyeder ist dies im Allgemeinen nicht richtig (z.b. bei linearen oder affinen Räumen) 43 / / 83

12 Ein Grundproblem der diskreten Optimierung kann wie folgt formuliert werden: gegeben eine Grundmenge E eine Gewichtsfunktion w : E R auf der Grundmenge eine Familie F 2 E von Teilmengen der Grundmenge setze die Gewichtsfunktion auf Teilmengen fort mittels: w (X ) = X e X w (e) für X E gesucht ist eine Teilmenge in F mit maximalem Gewicht max F F w (F ). (5) wir ordnen der Teilmengenfamilie F 2 E wie folgt ein Polytop zu: repräsentiere jedes F F durch seinen Inzidenzvektor χ F R E, wobei j, wenn e F χ F (e) =, wenn e / F sei nun P(F) = conv{χ F F F} R E nach Lemma 6 gilt für jede endliche Teilmenge V : P = conv V max x P ct x = max v V ct v für alle c R n. d.h. es macht keinen Unterschied, ob wir lineare Funktionen über V oder conv V optimieren 45 / / 83 damit wird das diskrete Optimierungsproblem: max F F w (F ). (5) zu: maximiere die lineare Funktion mit den Koeffizienten w e = w (e) über dem Polytop P(F): Beispiel: sei E = {e, e 2, e 3 } sei F =, {e }, {e 2 }, {e 3 }, {e, e 2 }, {e 2, e 3 } das Polytop P(F) sieht dann wie folgt aus: max F F X w (F ) = max w e χ F (e) F F e E = max x P(F) e E = max x P(F) wx X w e x e,,,,,,,, 47 / 83,,,, 48 / 83

13 maximiere die lineare Funktion mit den Koeffizienten w e = w (e) über dem Polytop P(F): max w (F ) = max wx F F x P(F) wir haben damit das diskrete Optimierungsproblem auf ein lineares Optimierungsproblem zurückgeführt die Form entspricht jedoch noch nicht der von uns verlangten max c T x Ax b der Zulässigkeitsbereich ist nämlich nicht implizit über Ungleichungen sondern explizit als konvexe Hülle von endlich vielen Punkten gegeben das Polytop ist explizit und nicht implizit gegeben als Ax b in einem weiteren Schritt wird dann versucht, eine implizite Beschreibung zu gewinnen zur Veranschaulichung dieses Ansatzes folgen zwei Beispiele beim ersten lässt sich eine implizite angeben beim zweiten ist eine solche nicht bekannt 49 / 83 5 / 83 Beispiel : Matchings seien S und T zwei endliche Mengen mit S = T wir betrachten die Menge aller Paare S T = {(s, t) s S, t T } eine Zuordnung (bzw. ein perfektes Matching) ist eine bijektive Abbildung π : S T wir stellen uns die Zuordnung als Menge von Paaren vor: M = M(π) = {(s, π(s)) s S} S T. M sei die Menge aller Zuordnungen sei w : S T R eine Gewichtsfunktion, die jedem Paar einen Wert zuordnet das Zuordnungsproblem ist nun: X max M M (s,t) M w (s, t) im Spezialfall w : S T {, } spricht man auch vom Heiratsproblem sei P(M) das Zuordnungspolytop es ist die konvexe Hülle aller Inzidenzvektoren von Zuordnungen damit ist das Zuordnungsproblem äquivalent zu max w T x x P(M) 5 / / 83

14 n = 3: n = 3: die Inzidenzvektoren x haben Länge 9 sie haben die Form x = (x,, x,2, x,3, x 2,, x 2,2, x 2,3, x 3,, x 3,2, x 3,3 ) betrachte die Zuordnung S T P(M) ist in diesem Fall die konvexe Hülle der folgenden Vektoren: (,,,,,,,, ) (,,,,,,,, ) (,,,,,,,, ) (,,,,,,,, ) (,,,,,,,, ) (,,,,,,,, ) ihr entspricht der Inzidenzvektor x = (,,,,,,,, ) 53 / / 83 das Zuordnungsproblem ist äquivalent zu max w T x x P(M) sei jetzt x P(M) ein beliebiger Vektor welche Ungleichungen muss x erfüllen? ist x der Inzidenzvektor eines perfekten Matchings, dann gilt sicherlich: dies ist eine explizite Beschreibung wir suchen eine implizite Beschreibung, d.h. ein System linearer Ungleichungen dessen Lösungen x gerade die Punkte in P(M) sind. Zur Erinnerung: P(M) ist die konvexe Hülle von Inzidenzvektoren von Zuordnungen ein Inzidenzvektor einer Zuordnung hat die Länge S T x s,t für alle (s, t) S T (M) X x st = für alle s S (M) t T X x st = für alle t T (M2) s S diese Ungleichungen gelten natürlich auch für alle Konvexkombinationen von Zuordnungen und deshalb für alle x P(M) wir bezeichnen seine Komponenten mit x st d.h. x st =, wenn s S dem Element t T zugeordnet wird 55 / / 83

15 es stellt sich heraus, dass sie P(M) schon vollständig bestimmen: Lemma P(M) = {x R S T x erfüllt (M) - (M2)}. Bemerkung wir beweisen das Lemma hier nicht es wird sich als Folgerung aus einem allgemeineren Optimierungproblem ergeben es gibt S! viele Zuordnungen; alle sind Ecken von P(M) zur linearen Beschreibung von P(M) genügen aber schon 2 S Gleichungen und S Ungleichungen Beispiel 2: das Rundreiseproblem sei S eine endliche Menge und E = S S eine Rundreise (oder TSP-Tour) ist eine Anordnung der Elemente von S, τ = s s..., s n s, in τ tritt außer s kein Element zweimal auf wieder stellen wir τ als Menge von Paaren dar: sei d : S S R + T = T (τ) = {(s, s ),..., (s n, s )} eine Distanzfunktion auf den Paaren wir definieren die Länge von T als d (T ) = X d (s, t). (s,t) T 57 / / 83 sei T das die Menge aller Rundreisen Rundreiseproblem (TSP-Problem) ist X min d (T ) max T T T T (s,t) T d (s, t). auch hier kann man wieder das entsprechende Rundreisepolyeder P(T ) definieren die Struktur von P(T ) ist jedoch noch weitgehend ungeklärt ist es sind zwar sehr viele Klassen von gültigen Ungleichungen für P(T ) bekannt eine vollständige Beschreibung von P(T ) ist eines der großen gegenwärtigen offenen Probleme der Berechenbarkeitstheorie der theoretischen Informatik Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder 59 / 83 6 / 83

16 sei P ein nichtleeres Polyeder sei F P eine Seitenfläche von P F heißt Facette von P, wenn gilt: dim F = dim P Beispiel x 2 9x 2 9 4x +x 3 3 x 3 2x +x 3 9 x 2 Beispiel: E x 3 D A x B 6 / / 83 es ist: P {x R 3 x 2 = } dim P = 2 dim P = n rg x 2 9x 2 9 4x +x 3 3 x 3 2x +x damit existiert eine Teilmatrix A p «von A so, dass m = n rg A P und A P x = b P für alle x P Zur Erinnerung: sei P = P(A, b) ein Polyeder sei F = {x P c T x = z} eine nichtleere Seitenfläche von P im. Kapitel haben wir gesehen, dass sich F darstellen lässt als: wobei gilt: F = {x Ax b, A F x = b F } c T x = z ist eine nichtnegative Linearkombination von Zeilen A F x = b F aus Ax b A F x = b F sind genau die Zeilen i, für die A i x = b i für alle x F 63 / / 83

17 Lemma sei A p x b p das (möglicherweise leere) Teilsystem so, dass aff P(A, b) = {x A p x = b p }. A P x = b P für alle x P sei aff P die affine Hülle von P aff P ist der kleinste affine Raum, der P enthält dann gilt: Lemma aff P(A, b) = {x A p x = b p }. es ist P {x A p x = b p } damit gilt auch aff P {x A p x = b p } sei umgekehrt H = {x c T x = z} eine Hyperebene, die aff P enthält dann enthält H auch P damit ist H P die triviale Seitenfläche P dann ist c T x = z nichtnegative Linearkombination von Zeile in A p x = b p damit folgt x erfüllt A p x = b p x erfüllt c T x = z 65 / / 83 damit folgt x erfüllt A p x = b p x erfüllt c T x = z mit anderen Worten: {x A p x = b p } {x c T x = z} = H somit: {x A p x = b p } \ H = aff P P H Satz 3 Sei P = P(A, b) ein Polyeder. Dann ist jede echte Seitenfläche Durchschnitt von Facetten von P. sei m = dim P nach Lemma existiert eine Teilmatrix A p von A so, dass m = n rg A P und A P x = b P für alle x P. Korollar 2 dim P(A, b) = n rg A p. wir können obda annehmen, dass die Zeilen von A p sind linear unabhängig dim P = dim{x A p x = b p } = dim ker A p = n rg A p. analog existiert für die Seitenfläche F eine Teilmatrix A F, so dass F = {x P A F x = b F } und dim F = n rg A F. 67 / / 83

18 wir können wieder annehmen, dass die Zeilen von A F unabhängig sind jedes x F erfüllt auch die Gleichung A P x = b P linear angenommen, ai T x b i wird impliziert von»» AP bp A P x = b P = x A P b P damit können wir weiter annehmen, dass A P eine Teilmatrix von A F ist dann hat das Teilsystem die Form:» AP x = A F P» bp b F P nach dem Farkas-Lemma existiert dann Vektoren y, z so, dass a i = y T A P z T A P und y T b P z T b P b i insbesondere lässt sich dann a i aus den Zeilen von A P kombinieren sei nun a T i x b i eine beliebige Ungleichung in A F P x b F P im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Zeilen von A F somit gilt: F i = {x P A p x = b P, a T i x = b i } = P 69 / 83 7 / 83 somit gilt: F i = {x P A p x = b P, a T i x = b i } = P der Beweis des letzten Satzes zeigt insbesondere: die Gleichungen A P x = b P zusammen mit den Facettenungleichungen implizieren jede andere Ungleichung a T x b in Ax b d.h. F i ist echte Seitenfläche denn: sei a T x b eine weitere Ungleichung weiter ist rg» AP d.h. dim F i = dim P und F i a T i = rg A p + ist Facette offenbar ist F gerade der Durchschnitt aller solcher Facetten F i und damit Lösungsmenge der Gesamtheit der entsprechenden Gleichungen. und sei z = max x P a T x b. dann ist F a = {x P a T x = z} eine Seitenfläche und somit Durchschnitt von Facetten also implizieren die Facettenungleichungen a T x z b damit reicht das System A P x = b P zusammen mit den Facettenungleichungen aus, um P(A, b) eindeutig zu beschreiben. 7 / / 83

19 sei P = P(A, b) ein Polyeder wir haben gesehen, dass wir jedes Polyeder in die Form bringen können: P = {x R n Ax = b, x } äquivalent dazu ist: (i) v j = für alle j N; (ii) die Teilmatrix A B der r Spalten A j mit Index j / N bildet eine Spalten-Basis von A (Basislösung) zur Erinnerung: eine Ecke ist eine Seitenfläche F mit dim F = (iii) A B Bv B = b sei r = rg A und v dann ist v genau dann eine Ecke von P, wenn es eine Indexmenge N mit N = n r gibt derart, dass v eindeutige Lösung des folgenden Systems ist: Ax = b ej T x = (für alle j N). folglich: Ecke von P nichtnegative Basislösung von Ax = b diese Beziehung ist im allgemeinen nicht - es ist hilfreich, sich A B als die Matrix der ersten r Spalten vorzustellen dann ist v nichtnegative Lösung des Systems: A B v B + A N v N = b mit v i = für i N 73 / / 83 Beispiel: 2x 2 +x 3 2x +x 3 2x +x x 2 +x 3 8 x x 2 x 3 2x 2 +x 3 2x +x 3 2x +x x 2 +x 3 8 x x 2 x 3 Einfügen von Schlupvariablen (alle Variablen nichtnegativ):,4, 2,2,4 4,4, 2x 2 +x 3 +s = 2x +x 3 +s 2 = +2x +x 3 +s 3 = 8 +2x 2 +x 3 +s 4 = 8 x, x 2, x 3, s, s 2, s 3, s 4,, 4,, 75 / / 83

20 2x 2 +x 3 +s = 2x +x 3 +s 2 = +2x +x 3 +s 3 = 8 +2x 2 +x 3 +s 4 = 8 x, x 2, x 3, s, s 2, s 3, s 4 führt zu folgender Matrix A mit rg A = 4: A = A Umbenennen der Schlupfvariablen: 2x 2 +x 3 +x 4 = 2x +x 3 +x 5 = +2x +x 3 +x 6 = 8 +2x 2 +x 3 +x 7 = 8 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 eine mögliche Basislösung: A x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = A 8 8 A 2,2,4 mit Lösung x = (,,,,, 8, 8) Ecke (,, ),4, 4,4,,, 4,, 77 / / 83 weitere Basislösungen: A x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = A 8 8 A 2,2,4 Weiter ergibt sich: Lemma 4 P hat höchstens es gibt `n r Ecken. `n r Teilmengen von r Spalten von A mit Lösung x = (2, 2, 4,,,, ) Ecke (2, 2, 4) x -2 x 2 B 2 A x 3 x 4 2 B x x 6 A x 7 mit Lösung x = (2, 2, 4,,,, ) Ecke (2, 2, 4) = 8 8,4, A,4, 4,, 2,2,4 4,4, 4,4, nicht jede dieser Teilmenengen muss eine Spaltenbasis bilden nicht jede Spaltenbasis führt zu nichtnegativen Basislösungen.,, 4,, 79 / 83 8 / 83

21 Gliederung Polyeder Optimierung linearer Funktionen Rezessionskegel und polyedrische Kegel rationale Polyeder Rationale Polyeder in konkreten Anwendungen muss man sich oft auf den Körper Q beschränken ein Polyeder P R n heißt rational, wenn P mit rationalen Parametern dargestellt werden kann wir wissen, dass dies auf zwei Arten möglich ist: Implizit: P ist Lösungsmenge eines endlichen linearen Ungleichungssystems Ax b mit A Q m,n, b Q m Explizit: P ist die Menge aller Punkte, die von endlichen Mengen V Q n und W Q n gemäß (2) erzeugt werden. 8 / / 83 Rationale Polyeder wir haben gesehen, dass die Umrechnungen exlizit implizit mit dem FM-Verfahren möglich sind das beruht nur auf den folgenden Operationen: Multipikation mit einem positiven Skalar; (Komponentenweise) Addition von Vektoren. diese Operationen führen nicht aus dem Skalarbereich Q heraus damit gilt: sämtliche Kenngrössen rationaler Polyeder sind rational. 83 / 83