Hüllen und Kombinationen

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1 Hüllen und Kombinationen 2 Die zulässigen Bereiche in der Linearen Optimierung sind Lösungen von linearen Ungleichungssystemen. Deswegen müssen wir die Werkzeuge der linearen Algebra um Elemente erweitern, die Vorzeichen stärker berücksichtigen. Obwohl man diese Theorie über beliebigen geordneten Körpern entwickeln könnte, beschränken wir uns auf Körper K mit Q K R. Zunächst einmal wiederholen wir aber Inhalte der linearen Algebra, wenn auch vielleicht unter etwas anderen Namen als Sie sie kennen gelernt haben. 2.1 Affine Unterräume des K n Affine Unterräume des K n sind genau die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme. Wir werden gleich zeigen, dass affine Unterräume abgeschlossen unter affinen Kombinationen sind. Definition 2.1 Seien a 1,..., a k K n. Eine Linearkombination a = λ i a i dieser Elemente mit λ i K heißt affine Kombination von a 1,..., a k, wenn darüber hinaus gilt λ i =1. Eine affine Kombination heißt echt, wenn es λ i =/0=/ λ j mit a i =/ a j gibt. c Springer-Verlag GmbH Deutschland W. Hochstättler, Lineare Optimierung, DOI / _2

2 26 2 Hüllen und Kombinationen Wir sagen, a 1,..., a k sind affin unabhängig, wenn aus k λ i a i = 0 und k λ i = 0 notwendig folgt, dass λ 1 =... = λ k = 0 gilt. Andernfalls heißen die Vektoren affin abhängig. Proposition 2.2 Sei M K n. Dann sind folgende Aussagen paarweise äquivalent: i M ist ein affiner Unterraum von K n. ii M ist abgeschlossen unter affinen Kombinationen. iii M = oder M := {y z y, z M} K n ist ein Untervektorraum des K n und für alle x M gilt M = x + M := {x + u u M}. iv M = oder es gibt ein x M sowie einen Untervektorraum U des K n mit Beweis M = x + U. i ii Seien A K m n, b K m mit M = {x K n Ax = b} und a 1..., a k M sowie λ 1,..., λ k K mit k λ i = 1. Dann ist ( A λ i a i = λ i Aa i = λ i b = b, da k λ i =1.AlsoistM unter affinen Kombinationen abgeschlossen. ii iii Ist M leer, so ist nichts zu zeigen. Wir verifizieren zunächst das Unterraumkriterium aus der linearen Algebra, falls M =/. Seien u, v M und λ, μ K. Seien ferner y u, y v, z u, z v M mit u = y u z u und v = y v z v. Dann gilt nach ii Also ist (1 μy u + μy v M und auch λz u + μz v +(1 λ μy u M. λu + μv = λy u + μy v (λz u + μz v =(1 μy u + μy v (λz u + μz v +(1 λ μy u M. Also erfüllt M das Unterraumkriterium. Da ferner für x M M = x + {m x m M} x + M, bleibt nur noch die andere Inklusion x + M M Seien also m M und y m, z m M mit m = y m z m.

3 2.1 AffineUnterräumedesK n 27 Dann ist x+y m z m eine affine Kombination in x, y m und z m also, nach ii in M. iii iv Dies ist mit U := M offensichtlich. iv i Wir wählen eine Orthogonalbasis von U und ergänzen diese durch a 1,..., a k zu einer Orthogonalbasis von K n. Sei A K k n die Matrix, deren Zeilen a 1,..., a k sind. Dann ist U =ker(a. Sei nun x M und b = Ax. Dann ist M = x + U nach linearer Algebra die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax = b, also ein affiner Unterraum des K n. Für einen affinen Unterraum M K n nennen wir dim M := { dim M, falls M =/, 1, falls M =, die Dimension von M. Ist S K n, so nennen wir die Menge aller affinen Kombinationen mit Elementen in S die affine Hülle Aff(S von S. Die Menge aller Linearkombinationen von Elementen in S nennen wir die lineare Hülle Lin(S von S. Proposition 2.3 Sei M K n ein affiner Unterraum des K n der Dimension k. Dann gibt es k + 1 affin unabhängige Vektoren in M und je k + 2 Vektoren in M sind affin abhängig. Beweis Ist M leer, so ist die Aussage offensichtlich richtig. Andernfalls sei x M und seien b 1,..., b k eine Basis von M. Wir werden zeigen, dass dann gilt, dass x, x + b 1,..., x + b k affin unabhängig sind. Sei also λ 0 x + λ i (x + b i = 0 und λ i =0. i=0 Dann ist λ 0 = k λ i und somit λ 0 x + λ i (x + b i = λ i x + = λ i b i. λ i (x + b i Da die b i linear unabhängig sind, folgt hieraus notwendig λ 1 =... = λ k = 0 und somit wegen k i=0 λ i = 0 auch λ 0 =0. Für die zweite Aussage betrachten wir a 1,..., a k+2 M. Da die Vektoren in einem k-dimensionalen affinen Raum liegen, gilt dies auch für ( 0 ( a 1,..., 0 a k+2 K n+1 und ebenso für ( 1 ( a 1,..., 1 a k+2 K n+1. Also spannen letztere einen höchstens

4 28 2 Hüllen und Kombinationen (k + 1-dimensionalen linearen Unterraum auf, sind also linear abhängig. Folglich gibt es eine nicht-triviale Linearkombination k+2 ( 1 λ i = a i ( 0, 0 die offensichtlich beweist, dass a 1,..., a k+2 affin abhängig sind. Aufgabe 2.4 Sei S K n. Zeigen Sie: i Aff ist ein Hüllenoperator, d. h. Aff erfüllt die Axiome H1 S K n : S Aff(S. H2 S, T K n :(S T Aff(S Aff(T. H3 S K n : Aff(Aff(S = Aff(S. ii Aff (S ist ein affiner Unterraum von K n. iii Aff (S = A S A A ist affiner U.raum (Extensivität (Monotonie (Idempotenz Lösung siehe Lösung Konvexe Kegel im K n Definition 2.5 Seien a 1,..., a k K n. Eine Linearkombination a = λ i a i dieser Elemente mit λ i K + heißt konische Kombination von a 1,..., a k.einekonische Kombination heißt echt, wenn es λ i =/0=/ λ j mit a i und a j linear unabhängig gibt oder der einzige Nicht-Nulleintrag λ i =/ 1 ist. Eine Teilmenge C K n heißt konvexer Kegel, wenn sie abgeschlossen unter Bildung konischer Kombinationen ist. Ist S K n, so bezeichnen wir die Menge aller konischen Kombinationen von Elementen in S als konische Hülle Cone(S von S. a 1,...a l heißen konisch unabhängig, wenn es keine nicht-triviale Linearkombination der Null l μ i a i =0

5 2.2 Konvexe Kegel im K n 29 gibt, bei der genau ein Koeffizient μ i0 negativ ist. Ansonsten heißen die Vektoren konisch abhängig. Proposition 2.6 =/ C K n ist genau dann ein konvexer Kegel, wenn λ, μ K + x, y C:λx + μy C. Beweis Da ein konvexer Kegel per definitionem unter konischen Kombinationen abgeschlossen ist, ist die Notwendigkeit der Bedingung trivial. Dass sie auch hinreichend ist, zeigen wir mittels vollständiger Induktion über die Anzahl der Summanden in einer konischen Kombination. Ist die Anzahl der Summanden Null, so erhalten wir den Nullvektor. Nach Voraussetzung gibt es ein x C. Wegen 0=0 x +0 x ist der Nullvektor in C enthalten. Sei also nun eine konische Kombination k λ i x i mit k > 0 Summanden gegeben. Nach Induktionsvorausssetzung ist k 1 λ ix i C, also ist auch λ i x i =1 ( k 1 λ i x i + λ k x k C. Ist C ein konvexer Kegel, so setzen wir dim (C =dim(lin(c gleich der Dimension des von C erzeugten Vektorraumes Lin(C. Der folgende Satz besagt, dass man, um ein bestimmtes Element in der konischen Hülle einer Menge S konisch zu kombinieren, höchstens dim (Cone(S Elemente braucht. Proposition 2.7 Sei S K n und x Cone(S. Dann gibt es k dim(cone(s und a 1,..., a k S sowie λ 1,..., λ k K + mit x = λ i a i. Beweis Indem wir eventuell einen Isomorphismus zwischen Lin(S und K dim (Cone(S anwenden, können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon ausgehen, dass Cone(S volldimensional ist. Seien nun die a i und die λ i so gewählt, dass k minimal ist. Wir werden zeigen, dass dann k n ist. Ist k 1, so ist nichts zu zeigen. Wir können also annehmen, das k 2 ist. Dann gilt offensichtlich 0 <λ i < für i =1,..., k. Angenommen k > n,sosinda 1,..., a k linear abhängig. Sei nun μ i a i =0

6 30 2 Hüllen und Kombinationen eine nicht-triviale Linearkombination der Null. Wir können, eventuell nach Multiplikation mit 1 annehmen, dass mindestens ein μ i > 0 ist. Sei nun { } i 0 argmax k μi, wobei argmax die Indizes bezeichnet, an denen das Maximum angenommen wird. Dann ist μ i0 > 0 und x = λ i ( λ i0 λ i μ i a i. μ i0 λ ( i0 i =1,..., k:λ i μ i = λ i 1 μ i λ i0 μ i0 λ i μ i0 }{{} 1 0. λ i0 Weil darüber hinaus λ i0 μ i0 μ i0 = 0 ist, haben wir x als konische Kombination mit weniger als k Nicht-Nullkoeffizienten dargestellt, im Widerspruch zur angenommenen Minimalität von k. Alsomussk n gelten. Was die Maximalzahl konisch unabhängiger Elemente angeht, liegen die Verhältnisse anders als bei der linearen Unabhängigkeit. Wir werden im nächsten Abschnitt zeigen, dass es für n 3imR n konisch unabhängige Mengen von überabzählbarer Kardinalität gibt. Für K 1, K 2 liegen die Verhältnisse allerdings anders. Proposition 2.8 i Es gibt zwei Vektoren im K 1, die konisch unabhängig sind. ii Je drei Vektoren im K 1 sind konisch abhängig. iii Es gibt vier Vektoren im K 2, die konisch unabhängig sind. iv Je fünf Vektoren im K 2 sind konisch abhängig. Beweis i 1, 1 K n können nur beide mit positivem Vorzeichen oder beide mit negativem Vorzeichen zur Null linear kombiniert werden, sind also konisch unabhängig. ii Seien a 1, a 2, a 3 K.Isteina i = 0, so leistet 1 a i das Gewünschte. Ansonsten gibt es i =/ j mit a i a j > 0. Dann ist sign(a i = sign(a j und a i a j a j a i = sign(a i a }{{} i a j + ( 1sign(a j a j a i =0 }{{} >0 <0 beweist die konische Abhängigkeit der Vektoren. iii e 1 = ( 1 ( 0, 1 0, e2 = ( 0 ( 1, 0 1 sind konisch unabhängig, da in jeder Linearkombination der Null die Koeffizienten von e i und e i gleiches Vorzeichen

7 2.3 Konvexe Mengen im K n 31 haben müssen, die Gesamtanzahl der Koeffizienten mit gleichen Vorzeichen also immer gerade sein muss. iv Liegen zwei Elemente auf einem Halbstrahl, von der Null ausgehend, so folgt wie in Teil ii, dass diese zwei Elemente konisch abhängig sind. Wir können also davon ausgehen, dass wir die Elemente a 1,..., a 5 so angeordnet haben, dass die Winkel der Polarkoordinaten der Vektoren 0 ϕ 1 <... < ϕ 5 < 2π sind. Da die konische Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit invariant unter Isomorphismen des K 2, also insbesondere unter Drehungen der Ebene ist, können wir annehmen, dass ϕ 1 = 0 und ϕ 3 <πist, denn die Summe zweier benachbarter Winkel muss irgendwo kleiner als π sein. In Polarkoordinaten ist a 1 = ( r 10, a2 = ( r 2 ϕ 2 und a 3 = ( r 3 ϕ 3. Wir betrachten nun das Dreieck a1,0,a 3. Wegen 0 <ϕ 3 <πhaben alle Punkte dieses Dreiecks eine nicht-negative y Koordinate. Insbesondere sind die y Koordinaten der Strecke a 1 a 3 echt positiv, außer in a 1. Der Halbstrahl durch a 2 ausgehend von 0 startet wegen 0 <ϕ 2 <ϕ 3 innerhalb des Dreiecks, muss also die Strecke a 1 a 3 irgendwo schneiden. Folglich gibt ein λ>0und ein t ]0, 1[ mit λa 2 = ta 1 +(1 ta 3. Da alle beteiligten Punkte Koordinaten in K 2 haben, ist auch λ K, dawirλ als Lösung eines linearen Gleichungssystems über K erhalten. Somit beweist die Linearkombination 0= λa 2 + ta 1 +(1 ta 3 die konische Abhängigkeit der Vektoren. 2.3 Konvexe Mengen im K n Wenn Sie in diesem Abschnitt den Eindruck erhalten, dass große Teile aus dem letzten Abschnitt wörtlich kopiert und nur leicht modifiziert worden sind, so liegen Sie völlig richtig. Wenn Sie darüber hinaus die Unterschiede sorgfältig beachten, so haben Sie von den Techniken der Homogenisierung und Dehomogenisierung, die in Kap. 4 eine wichtige Rolle spielen werden, schon Einiges verstanden. Definition 2.9 Seien a 1,..., a k K n. Eine Linearkombination a = λ i a i dieser Elemente mit λ i K + und k λ i = 1 heißt Konvexkombination von a 1,..., a k. Eine Konvexkombination heißt echt, wenn sie als affine Kombination echt ist.

8 32 2 Hüllen und Kombinationen Eine Teilmenge C K n heißt konvex, wenn sie abgeschlossen unter Bildung von Konvexkombinationen ist. Ist S K n, so bezeichnen wir die Menge aller Konvexkombinationen von Elementen in S als konvexe Hülle Conv(S von S. a 1,...a l heißen konvex unabhängig, wenn es keine nicht-triviale Linearkombination l μ i a i =0 der Null mit l μ i =0 gibt, bei der genau ein Koeffizient μ i0 negativ ist. Ansonsten heißen die Vektoren konvex abhängig. Also sind konvex abhängige Vektoren sowohl konisch als auch affin abhängig. Proposition 2.10 C K n ist genau dann konvex, wenn t [0, 1] K x, y C : tx +(1 ty C, also wenn die Menge mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke enthält. Beweis Da eine konvexe Menge per definitionem unter Konvexkombinationen abgeschlossen ist, ist wiederum die Notwendigkeit der Bedingung klar. Dass sie auch hinreichend ist zeigen wir mittels vollständiger Induktion über die Anzahl der Summanden in einer Konvexkombination. Ist C leer oder einelementig, so ist nichts zu zeigen. Sei also nun C > 1 und eine Konvexkombination k λ i x i mit k > 1 Summanden gegeben. Wir können annehmen, dass alle Koeffizienten von Null verschieden sind, insbesondere, dass 0 < λ k < 1für1 i k ist. Nach Induktionsvorausssetzung ist k 1 offensichtlich λ i 1 λ k > 0 und k λ k λ i x i C, denn für alle i =1,..., k 1 gilt k λ i = λ i = 1 λ k 1 λ k Nach Voraussetzung des Satzes ist auch k 1 λ i x i =(1 λ k }{{} t 1 1 λ k (1 λ k =1. 1 λ i x i + λ k 1 λ k }{{} 1 t x k C.

9 2.3 Konvexe Mengen im K n 33 Ist C eine konvexe Menge, so setzen wir dim(c = dim(aff(c gleich der Dimension des von C erzeugten affinen Unterraumes von K n. Die Übertragung von Proposition 2.7 heißt Satz von Carathéodory. Satz 2.11 (Carathéodory 1911 Sei S K n und x Conv(S. Dann gibt es ein k n + 1 und a 1,..., a k S sowie λ 1,..., λ k K + mit x = λ i a i und λ i =1. Beweis Seien die a i und die λ i in einer Konvexkombination von x so gewählt, dass k minimal ist. Wir werden zeigen, dass dann k n+1 ist. Offensichtlich gilt zunächst einmal λ i > 0füri =1,..., k. Angenommen k > n +1,sosinda 1,..., a k nach Proposition 2.3 affin abhängig. Sei nun μ i a i =0 eine nicht-triviale Linearkombination der Null mit k μ i = 0. Sei nun Dann ist 0 <μ i0 und i 0 argmax k x = { μi λ i }, ( λ i0 λ i μ i a i, μ i0 λ ( i0 i =1,..., k:λ i μ i = λ i 1 μ i λ i0 μ i0 λ i μ i0 }{{} 1 ( λ i0 λ i μ i = λ i =1 μ i0 0, λ i0 und λ i0 μ i0 μ i0 = 0. Also haben wir x als Konvexkombination mit weniger als k Nicht-Nullkoeffizienten dargestellt, im Widerspruch zur angenommenen Minimalität von k.alsomussk n + 1 gelten. Schon in der Ebene gibt es unendlich viele konvex unabhängige Elemente. Für K 1 gilt:

10 34 2 Hüllen und Kombinationen Proposition 2.12 i Es gibt zwei Vektoren im K 1, die konvex unabhängig sind. ii Je drei Vektoren im K 1 sind konvex abhängig. Beweis Offensichtlich sind 1 und 1 konvex unabhängig. Seien nun a b c drei Vektoren im K 1. Gilt a = c, so zeigt 1 2 a b c =0, dass die drei Elemente konvex abhängig sind. Ansonsten leistet dies c b c a a b + b a c a c =0. Satz 2.13 Die Menge C = {( } sin (ϕ ϕ [0, 2π[ cos (ϕ ist eine überabzählbare Menge konvex unabhängiger Punkte in der Ebene R 2. Beweis Zunächst einmal zeigen wir, dass eine Menge von Vektoren im K n genau dann konvex unabhängig ist, wenn sie keinen Vektor enthält, der Konvexkombination der übrigen ist. Sei dazu zunächst einmal a 0 = k λ i a i eine Konvexkombination, dann ist ( 1 a 0 + k λ i a i = 0 eine nicht-triviale Linearkombination der Null, die beweist, dass a 0, a 1,..., a k und damit auch jede ihrer Obermengen konvex abhängig sind. Sind umgekehrt a 0,..., a k konvex abhängig, so können wir evtl. nach Umnummerierung und Reskalierung annehmen, dass ( 1 a 0 + λ i a i =0, λ i 0, 1 + λ i =0. Also ist a 0 Konvexkombination von a 1,..., a k. Zum Beweis des Satzes genügt es also nun zu zeigen, dass kein Element in x C eine Konvexkombination von Elementen in C \ x ist. Nehmen wir an, ( sin (ϕ = cos (ϕ ( sin (ϕi λ i, cos (ϕ i

11 2.4 Zusammenfassung 35 wäre eine Konvexkombination mit 0 ϕ 1 <...<ϕ i <ϕ<ϕ i+1 <...<ϕ k < 2π. Da die Drehung der Ebene um ϕ ein Isomorphismus des R 2 ist, können wir sogar annehmen, dass 0=ϕ<ϕ 1 <...<ϕ k < 2π. Dann ist aber ( sin (ϕ ( cos (ϕ = 0 1 und für alle i =1..., k: cos (ϕi < 1 im Widerspruch zu λ i cos (ϕ i = cos (ϕ = 1 und λ i =1,λ 1,...λ i > 0. Bemerkung 2.14 Im Falle eines beliebigen Körpers K zwischen Q und R erhalten wir durch Schnittbildung eine Menge konvex unabhängiger Punkte höchstens der Kardinalität von K. Aufgabe 2.15 Sei n 3. Zeigen Sie: Es gibt eine konisch unabhängige Menge C R n mit überabzählbar vielen Elementen. Lösung siehe Lösung 9.8. Aufgabe 2.16 Seien {a 1,..., a k } affin abhängig, aber gelte, dass für jedes i mit 1 i k die Menge {a 1,..., a k }\{a i } affin unabhängig ist. Zeigen Sie: Es gibt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Partition {1,..., k} = I J, so dass Conv ({a i i I} Conv ( {a j j J} =/. Diese Partition bezeichnen wir auch als Radon Partition von {a 1,..., a k }. Lösung siehe Lösung Zusammenfassung Wir haben in diesem Kapitel Einschränkungen von Linearkombinationen und deren Hüllenoperatoren kennen gelernt. Wir fassen dies hier noch einmal übersichtlich zusammen und skizzieren in Abb. 2.1 die geometrische Situation.

12 36 2 Hüllen und Kombinationen Abb. 2.1 Affine, konische und konvexe Hülle zweier Punkte in der Ebene Seien x 1,..., x k K n und λ K k. Dann heißt x = λ i x i Linearkombination von x 1,..., x k. Gilt zusätzlich λ 0 λ 0, konische k λ i =1, so heißt x affine k λ i =1 Konvex- Kombination. Die Kombination heißt echt, wenn es λ i =/ 0 =/ λ j mit x i =/ x j gibt, oder der einzige Nichtnulleintrag von λ, etwaλ i, von Eins verschieden ist und x i =/ 0 ist. Für S K n sei Lin(S Cone(S Aff(S Conv(S, die Menge aller linearen konischen affinen konvexen Kombinationen von Elementen in S. Wir sprechen von der linearen konischen affinen konvexen Hülle. Wir haben auch Unabhängigkeit und Abhängigkeit definiert. Die Gemeinsamkeit bei dieser Begriffsbildung liegt in folgender Aussage.

13 2.4 Zusammenfassung 37 Proposition 2.17 linear x 1,..., x k K n konisch sind genau dann abhängig, wenn es einen Index affin konvex lineare konische 1 i 0 k gibt, so dass x i0 Kombination von {x 1,..., x k }\{x i0 } ist. affine konvexe Beweis Übung. Aufgabe 2.18 Beweisen Sie Proposition 2.17 Lösung siehe Lösung 9.10.

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