VORLESUNG 11 Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt)

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1 VORLESUNG Lineare Optimierung (Viele Folien nach Ulf Lorenz, jetzt TU Darmstadt) 3

2 Wiederholung! Lineare Programme häufig geeignete Modellierung von Optimierungsproblemen! Verschiedene Darstellungen sind äquivalent: Kanonische Form, Standardform! Lösungsraum ist konvexes Polyeder! Optimum finden:! Graphisch: Hyperebene in Richtung c verschieben, bis das Polyeder gerade noch berührt wird! Simplex-Algorithmus: Ecken des Polyeders mit lokaler Suche ablaufen! Pivot-Spalte wählen, Zeile der niedrigsten Erhöhung wählen, Basiswechsel durchführen 32

3 Der Simplex-Algorithmus Algebraische Formulierung! Schritt (Initialisierung):! Beginne mit einer zulässigen Basis.! Schritt 2 (Optimalitätstest):! Falls alle Koeffizienten der Zielfunktion < 0: stop, sonst Schritt 3.! Schritt 3 (Basiswechsel):! Wähle eine Variable x i der Zielfunktion, deren Koeffizient positiv ist.! Suche die Zeile, die eine Erhöhung von x i am stärksten beschränkt.! Rechne das Gleichungssystem auf die neue Basis um.! Gehe zu Schritt 2.! Beh.: Durch den Basentausch springt der Simplex-Algorithmus von einer Ecke des konvexen Polyeders zur nächsten. 33

4 Simplex-Durchführung Graphische Veranschaulichung von Iteration x a: Phase II Iteration b: Phase II Iteration 2 c: Phase II Iteration optimale Lösung c 00 zulässiger Bereich b Isogewinngerade a x 34

5 Startlösung einfacher Fall! Wie kommt man zu einer zulässigen (nicht offensichtlich vorhandenen) Basis-Startlösung?! Einfach, falls die Ungleichungen folgende Form haben:! Ax b! mit b 0! Dann nichtnegative Schlupfvariablen verwenden! Vektor (x, s) mit x=0 und s=b ist eine zulässige Lösung! Basismatrix dazu ist Einheitsmatrix I 35

6 Startlösung konstruieren! Sei L = { max c T x u.d.n. x 0 und Ax = b gegeben, A 2 R mxn, b 0 }! Durch Multiplikation von einigen Zeilen mit -: b 0.! Füge künstliche Variablen x a,...,xa m ein und löse: L a = { max { -x a xa m : Ax + Ixa = b, (x,x a ) 2 R mxn, (x,x a ) 0} }! Startlösung: x=0, x a =b, zugehörige Basismatrix ist I! Falls x eine zulässige Lösung von L ist, ergibt sich mit (x, x a =0) eine Lösung mit Kosten 0 für L a! => Falls die optimalen Kosten von L a nicht 0 sind, ist L nicht lösbar! => Eine Lösung für L a mit Kosten 0 muss x a =0 genügen und x ist zulässige Lösung von L 36

7 Was fehlt noch zur Startlösung?! Können jetzt Nichtlösbarkeit entdecken oder eine zulässige Lösung des Originalproblems bestimmen! Aber: Brauchen für Start des Simplexalgorithmus (SA):! Zulässige Basislösung! Zugehörige Basismatrix B! Mglw. Tableau (später)! Einfach, falls der SA mit einer Basismatrix B terminiert, die nur aus Spalten von A besteht! Dann:! Spalten der künstlichen Variablen löschen! Neustart mit Originalproblem und verkleinerter Matrix B 37

8 Mögliches Problem mit Startlösung! Problem: SA terminiert mit zulässiger Lösung, aber einige künstliche Variablen sind in der zugehörigen Basis! Anders gesagt: Zielfunktion ist zunächst mit Hilfe von Basisvariablen ausgedrückt.! Abhilfe: Löse die Gleichungen nach x a auf und ersetze x a in der Zielfunktion 38

9 Korrektheit der Basis-Startlösung! Satz:. L a hat immer eine optimale Lösung. 2. L hat genau dann eine zulässige Lösung, wenn x a = 0 optimale Lösung von L a! Beweis:. Zielfunktion ist nach oben beschränkt. 2. sei x zulässige Lösung von L. Dann ist (x,0) T optimale Lösung von L a mit Wert 0. Sei (x,x a ) optimale Lösung mit x a = 0. Dann gilt für x 0: b = Ax + Ix a = Ax + 0 = Ax 39

10 Beispiel Futtermischung min 0,9 x s + 0,3 x m (z) so dass x s + x m 800 (a) 0,7 x s + 0,04 x m 0,4(x s + x m ) (b) 0,56 x s + 0,3 x m 0,30(x s + x m ) (c) x s, x m 0 wobei: x s Menge an Sojamehl in kg x m Menge an Mais in kg max 0,9 x 0,3x 2 = z so dass x x 2 + x 3 = 800 (a) 0,03x 0,0x 2 + x 4 = 0 (b) 0,26x + 0,7x 2 + x 5 = 0 (c) x, x 2, x 3, x 4, x

11 Beispiel Futtermischung max 0,9x 0,3x 2 = z max x 6 x 7 x 8 = z so dass x + x 2 x 3 + x 6 = 800 (a) 0,03x 0,0x 2 + x 4 + x 7 = 0 (b) 0,26x + 0,7x 2 + x 5 + x 8 = 0 (c) x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 mit x 6 = 800 x x 2 + x 3 x 7 = 0,03x + 0,0x 2 x 4 x 8 = 0,26x 0,7x 2 x 5 max 0,9x 0,3x 2 = z max ,77x +,07x 2 x 3 + x 4 + x 5 = z so dass x + x 2 x 3 + x 6 = 800 (a) 0,03x 0,0x 2 + x 4 + x 7 = 0 (b) 0,26x + 0,7x 2 + x 5 + x 8 = 0 (c) x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 4

12 Die nächsten Schritte! Formalere Beschreibung des Simplex-Algorithmus! Informationen über den Lösungsraum! Korrektheit des Simplex-Algorithmus 42

13 Beschreibung als Tableau! Achtung: Ab jetzt nur noch LPs hervorgegangen aus kanonischer Form geg. L: Ax b, x 0, c T x max, mit Schlupfvariablen t,...,t m, t i 0 L: Ax + t = b x 0, t 0 c T x max also L: Ax - b = -t x 0, t 0 c T x max 43

14 Simplextableau 4 Tableau Simplextableau für: L: Ax - b = -t x 0, t 0 c T x max MAX x... x n - a... a n b = -t a m... a mn b m = -t m c... c n 0 Basisvariablen t,... t m Nichtbasisvariablen x,..,x n (x = 0, i n; t j = b j, j m ist Primal Zulässige Basis) Tableau beschreibt folgendes System: x a... a n, 0,..., 0 a m... a mn 0,..., 0, x t = b, x n t (c,..., c n, 0,..., 0) max Nichtbasis invertierbare Teilmatrix = Basis t m 48 44

15 Pivotschritt = Basisaustauschschritt! Austausch einer Basis- mit einer Nichtbasisvariablen: x a... a r... a n, 0,..., 0 a sr x n t (c,..., c n, 0,..., 0) max a m... a mr... a mn 0,..., 0, t m x ã ã n, 0,.. ã,n+s..., 0 ã s,n+s ã m ã mn 0, 0,.. ã m,n+s..,0, x n t (c ~,.. 0.., ~ c n, 0,.. ~ c n+s.., 0) max t m 45

16 Pivotschritt im Tableau Gauß-Elimination ) Wähle s,r mit a sr 0 2) Vertausche die zu Zeile s und Spalte r gehörenden Variablen (Vorzeichen bleiben stehen) 3) ã sr := / a sr 4) ã sj := a sj / a sr für alle j r; b s := b s / a sr (für Zeile s) 5) ã i,r := -a ir / a sr für alle i s; c r := -c r / a sr (für Spalte r) 6) ã i,j := (a sr a ij - a sj a ir ) / a sr für alle i s und j r;! c j := (a sr c j - a sj c r ) / a sr! b i := (a sr b i b s a ir ) / a sr! z := (a sr z b s c r ) / a sr 46

17 Pivotschritt im Tableau am Beispiel MAX x x = -t = -t = -t MAX t 3 x 2 - -/2 3/2 5/2 = -t - 5 = -t 2 /2 /2 25/2 = -x x = t /2 0 -/2 x 5/ = 5 /2 0 0 /2 t 25/ MAX t 3 t /2 0 = -t - 5 = -x 2 -/2 0 = -x x* = (0,5) z* = 2750 = c T x* 47

18 Simplex-Algorithmus für primal zulässige Tableaus Ein Tableau heißt primal zulässig, wenn b 0. ) if (c 0) opt. Lösung gefunden mit Gewinn z: Stop. 2) Wähle r {,..., n} mit c r > 0 3) if (A *r 0) System ist unbeschränkt: Stop. 4) Wähle s {,..., m} so dass b s /a sr = min { b i /a ir a ir > 0} 5) Pivotschritt mit a sr 6) Gehe nach ) i m 48

19 Simplex-Algorithmus für primal zulässige Tableaus am Beispiel 2 8 A org = b = c = Maximiere c T x u.d.nb. Ax b A MAX x x = -t 2 0 = -t := x x 2 t t 2 = 8 0 Sei B := {t,t 2 } Basis-Indexmenge. Dann ist Teilmatrix A B = invertierbar und damit Basis ist offenbar PZBL für A B (PZBL : primal zulässige Basislösung)

20 Bezeichnungen Im folgenden seien A die Koeffizientenmatrix von Ax = b, die durch Einführung von Schlupfvariablen aus A org x org b hervorgegangen ist. A B sei diejenige Teilmatrix von A, die aus den Spalten einer Basis B bestehe. A N seien die übrigen Spalten. x B seien die Basisvariablen, x N die Nichtbasisvariablen. c B seien die Komponenten des Kostenvektors, die zu den Basisvariablen gehören. c N seien die übrigen. mit B = {B,...,B m } und N = {,...,n} \ B ist Ax = b, c T x max dann äquivalent zu (A B,A N ) (x B,x N ) = b, ct(x B,x N ) max (A - Bb,0) ist zulässige Basislösung 50

21 Simplextableau am Beispiel (Forts.) 4 Tableau, Beispiel, Fortsetzung A := MAX Pivotschritt x t MAX t x2 /2 -/2-5 /2 3/2 35 x 2 30 x = -t = -t ct=(30, 50, 0, 0) = -x 6 = -t /2 /2 3/2 -/2 0 x 8 x2 = 0 t t2 x x2 = t t (Teilmatrix von A) /2 0 invertierbar und damit Basis; und AB-=, und AN={t,x } = 2 0 -/2 B := {x,t2} Basis-Indexmenge. Dann ist AB = Beobachtungen: AB-AB = cb={x,t2} = (30,0)T, cn={t,x2} 0 0 klar. AB-AN = /2 /2 -/2 3/2 (vgl. Tableau) = (0,50)T, x cbtab-an = (5,5), cn - cbtab-an = (-5,35)T, ct t =

22 Zusammenfassung! Basis-Startlösung berechnet! Simplextableau als formale Darstellung des Algorithmus! Anwendung von Gauß-Elimination 52