1. Das klassische Transportproblem

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1 (03731) Das klassische Transportproblem 1.1. Formulierung der Aufgabe Problemstellung Die einfachste Transportaufgabe, nach Hitchcock benannt, läßt sich wie folgt formulieren: Ein homogenes Produkt soll von m Ausgangsorten A i, i = 1,..., m, zu n Bestimmungsorten B j, j = 1,..., n, transportiert werden. In den Ausgangsorten A i ist ein bestimmter Vorrat vorhanden. In den Bestimmungsorten B j liege ein bestimmter Bedarf vor. Gesamtvorrat und Gesamtbedarf sollen übereinstimmen. Ein Transport vom Ausgangsort A i zum Bestimmungsort B j ist grundsätzlich möglich und wird auch nicht durch Kapazitätsschranken beeinflußt. Die Transportkosten seien proportional zur transportierten Menge und proportional zur Entfernung. Gesucht ist ein Transportplan, charakterisiert durch die von den Ausgangsorten A i zu den Bestimmungsorten B j zu transportierenden Mengen, dessen Gesamtkosten minimal sind. Bezeichnungen: m n a i, b j, c ij, Anzahl der Ausgangsorte Anzahl der Bestimmungsorte i=1,...,m, Vorrat im Ausgangsort A i j=1,...,n, Bedarf im Bestimmungsort B j i=1,...,m, j=1,...,n, spezifische Transportaufwendungen für die Lieferung einer Mengeneinheit von A i nach B j Variable: x ij, z(x) i=1,...,m, j=1,...,n, von A i nach B j zu transportierende Menge Gesamttransportkosten

2 Modell KTP (Klassisches Transportproblem) (1.1) z(x) = m n c ij x ij min i=1 j=1 (1.2) (1.3) n x ij = a i, j=1 m x ij = b j, i=1 i = 1,..., m j = 1,..., n (1.4) x ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n Voraussetzungen: (1.5) a i > 0, i = 1,..., m b j > 0, j = 1,..., n (1.6) m n a i = b j i=1 j=1 (1.7) c ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n Bemerkung: Die formulierten Voraussetzungen resultieren aus dem vorliegenden praktischen Hintergrund. Für das formulierte mathematische Modell können noch Abschwächungen vorgenommen werden. Bezeichnungen: T = x Rm n n x ij = a i, i = 1,..., m, j=1 m x ij = b j, j = 1,..., n, i=1 x ij 0, (i, j) N } mit N = {(i, j) i = 1,..., m, j = 1,..., n} heißt Transportpolyeder (zulässiger Bereich). Jede zulässige Lösung des KTP heißt Transportplan.

3 Beispiel 1.1.: Auslieferung von Erbsen Die Kohl-AG stellt als eines ihrer Hauptprodukte Erbsen in Dosen her. Die Erbsen werden in drei Fabriken eingedost. Anschließend werden sie mit dem LKW an vier Auslieferungslager verteilt. Da die Transportkosten einen Hauptkostenblock bilden, hat das Management eine Studie in Auftrag gegeben mit dem Ziel, diese soweit wie möglich zu reduzieren. Für die kommende Saison ist der Ausstoß jeder Fabrik geschätzt worden und jedem Lagerhaus ein bestimmter Teil der Erbsenproduktion zur Verteilung vorgegeben worden. Die nachfolgende Tabelle zeigt diese Daten (als Einheit gelten LKW-Ladungen) zusammen mit den Transportkosten pro LKW-Ladung zwischen den einzelnen Fabriken und Lagerhäusern. Lager Ausstoß Fabrik Fabrik Fabrik Zuteilung Es ist ein Plan zu ermitteln, der die Transportmengen zwischen den Fabriken und Lagerhäusern so festlegt, daß die gesamten Transportkosten minimiert werden. Variable: x ij 0, (ganzzahlig), i=1,2,3, j=1,2,3,4 Anzahl der LKW-Ladungen, die von Fabrik i nach Lager j zu transportieren sind Abtransport/Antransport: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 75 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 125 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 100 x 11 +x 21 +x 31 = 80 x 12 +x 22 +x 32 = 65 x 13 +x 23 +x 33 = 70 x 14 +x 24 +x 34 = 85 Minimierung der Transportkosten: z = 630x x x x x x x x x x x x 34 min

4 Bemerkung: KTP ist eine spezielle lineare Optimierungsaufgabe mit m + n Gleichungsrestriktionen und m n Variablen. Die Restriktionsmatrix des KTP besitzt eine ganz spezielle Struktur. Sie ist bereits durch die Dimensionen m und n eindeutig beschrieben. Die Anwendung der gewöhnlichen Simplexmethode auf diese Struktur ist uneffektiv. Das KTP kann äquivalent durch die folgende Datentabelle repräsentiert werden: 1... j... n 1 c c 1j... c 1n a i c i1... c ij... c in a i m c m1... c mj... c mn a m b 1... b j... b n Für das Aufstellen von Transportplänen genügt die folgende Tabelle der Restriktionen: 1... j... n 1 x x 1j... x 1n a i x i1... x ij... x in a i m x m1... x mj... x mn a m b 1... b j... b n Für die weiteren Untersuchungen werden alle bekannten Begriffe und Aussagen der linearen Optimierung sinngemäß verwendet.

5 1.2. Qualitative Untersuchungen Satz 1.1 (Existenz von Optimallösungen) KTP besitzt unter den Voraussetzungen (1.5) (1.6) stets eine Optimallösung. Bemerkung: (1.6) ist notwendig. (1.5) kann durch a i 0, i = 1,..., m, und b j 0, j = 1,..., n, abgeschwächt werden. Wegen der Beschränktheit von T sind keine Vorausssetzungen an C nötig, also auch nicht (1.7). Es seien u i, i = 1,..., m, und v j, j = 1,..., n, beliebige reelle Zahlen. m n Eine weitere Zielfunktion sei durch z (x) = mit c ijx ij i=1 j=1 (1.8) c ij = c ij (u i + v j ), i = 1,..., m, j = 1,..., n gegeben. Satz 1.2 (Äquivalente Kostenmatrizen) Für alle x T gilt z(x) = z (x) + ω mit m n (1.9) ω = a i u i + b j v j. i=1 j=1 Bemerkung: Im Falle c ij 0, (ij) N, gilt z(x) ω für alle x T. Bemerkung: Kann man die Zahlen u i, i = 1,..., m, und v j, j = 1,..., n, so wählen, daß für ein x T die Beziehungen c ij = 0 für x ij > 0 c ij 0 für x ij = 0 gelten, dann wird x als optimal erkannt und es gilt z min = ω.

6 Zielfunktionsreduktion Einfache Abschätzungen für den Zielfunktionswert sind: z min (ij) N c ij m a i i=1 m z ( min c ij a i ) j=1,...,n i=1 n z ( min c ij b j ) i=1,...,m j=1 Bessere Abschätzungen erhält man durch Reduktion der Zielfunktion mit Hilfe der reellen Zahlen u o i = min c ij, i = 1,..., m j=1,...,n (1.10) vj 0 = min (c ij u 0 i=1,...,m i ), j = 1,..., n Die Matrix C 1 mit (1.11) c 1 ij = c ij (u 0 i + v 0 j ), i = 1,..., m, j = 1,..., n ist nichtnegativ und besitzt in jeder Reihe mindestens einen Nulleintrag. Die zugehörige Reduktionskonstante ist m n (1.12) ω 0 = a i u 0 i + b j vj 0. i=1 j=1 Wegen c 1 ij 0, (ij) N, gilt z ω 0. In (1.10) werden zuerst die Zeilenminima von C gebildet, dann von C abgezogen und dann die Spaltenminima der entstandenen Matrix C gebildet. Ändert man diese Reihenfolge, so erhält man durch (1.10 ) vj o = min ij i=1,...,m, j = 1,..., n u 0 i = min ij v 0 j=1,...,n j ), i = 1,..., m i.a. eine wertmäßig andere Reduktionskonstante ω 0.

7 Beispiel 1.1 (Fortsetzung) c ij a i einfache Zielfunktionsabschätzungen: z = (z ) z = z = Zielfunktionsreduktion (Z-S-orientiert): u 0 = C = ( ω = 75750) v 0 = ( ) T C 1 = ω 0 = = verbesserte Zielfunktionsabschätzungen: z (Mit der S-Z-orientierten Zielfunktionsreduktion erhält man z ).

8 Betrachtungen zur Restriktionsmatrix Die durch (1.2) (1.3) gebildete Restriktionsmatrix A hat für m = 3, n = 4 (vergleiche Beispiel 1.1) die Gestalt A = Allgemein gilt: A = s T 0 T... 0 T 0 T s T... 0 T T 0 T... s T E E... E Es sei a ij die zur Variable x ij gehörige Spalte der Matrix A. Dann gilt (1.13) a ij = ( e (m) i e (n) j ) = ( e (m+n) i + e (m+n) m+j ), wobei e (l) k ein l-dimensionaler Einheitsvektor, die Eins an der Stelle k, ist. Bemerkung: In der Matrix A stehen in jeder Spalte genau zwei Einsen und sonst nur Nulleinträge. Damit besitzt die Matrix A genau 2mn Einsen und ((m + n) 2)mn Nullen. Der Besetzungsgrad der Matrix A ist damit 2 m+n.

9 Satz 1.3 (Rang der Koeffizientenmatrix) Die Koeffizientenmatrix A des KTP besitzt den Rang m + n 1. Bemerkung: Es sei p die Anzahl der positiven Variable einer zulässigen Basislösung des KTP. Dann gilt max{m, n} p m + n 1. Definition 1.1 Eine Matrix A heißt vollständig unimodular, wenn jede ihrer Unterdeterminanten einen der Werte aus der Menge { 1 ; 0 ; 1} annimmt. Bemerkung: Wenn A vollständig unimodular ist, dann ist auch jede Teilmatrix von A vollständig unimodular. Insbesondere gilt a ij { 1 ; 0 ; 1} für alle Einträge. Satz 1.4 Die Koeffizientenmatrix A des KTP ist vollständig unimodular. Bemerkung: Ā entstehe aus der Koefizientenmatrix A des KTP durch Streichen (z.b.) der letzten Zeile. Dann gilt r(ā) = m + n 1. Zerlegen Ā=( B, R), wobei B eine reguläre Teilmatrix von Ā ist. Dann gilt det( B) { 1; 1}. Betrachten ein Simplextableau zum KTP mit den zur Basismatrix B gehörigen Basisvariablen x B und den Nichtbasisvariablen x R. Dann gilt: x B + B 1 RxR = B 1 d mit d = ( a1... a m b 1... b n 1 ) T Die Matrizen B 1 und B 1 R enthalten nur Einträge aus der Menge { 1; 0; 1}. Ist d ein ganzzahliger Vektor, so ist auch B 1 d ganzzahlig; d.h. die Basislösung ist ganzzahlig. x B = B 1 d xr = 0

10 Übertragung des Basisbegriffs auf die Tabellenform des KTP Definition 1.2 Eine zur Tabellenform des KTP gehörige Folge von Feldern (i 1, j 1 ), (i 2, j 2 ),..., (i k, j k ) heißt Weg i.e.s., wenn für alle t mit 1 t < k auf (i t, j t ) entweder (i t + 1, j t ) oder (i t, j t + 1) folgt. Jede Folge von Feldern, die durch Umordnung von Zeilen oder Spalten einen Weg i.e.s. ergibt, heißt Weg. Ein Weg mit m + n 1 Feldern heißt maximaler Weg. Definition 1.3 Eine zur Tabellenform des KTP gehörige Folge von Feldern (i 1, j 1 ), (i 1, j 2 ), (i 2, j 2 ),.., (i k, j k ), (i k, j 1 ), k 2, heißt Kreis, wenn sie aus jeder Reihe der Tabelle höchstens zwei Elemente enthält. Satz 1.5 Die Vektoren a ij der Matrix A des KTP, die zu den Feldern (i, j) eines Weges gehören, bilden ein linear unabhängiges Vektorsystem. Satz 1.6 Die Vektoren a ij der Matrix A des KTP, die den Feldern (i, j) eines Kreises zugeordnet sind, erzeugen einen Unterraum, dessen Rang um Eins kleiner als die Anzahl der Felder des Kreises ist. Wird irgend ein Feld des Kreises weggelassen, so bilden die Vektoren a ij, die zu den restlichen Feldern des Kreises gehören, eine Basis dieses Unterraums. Definition 1.4 Eine Menge B von Feldern der Tabellenform des KTP heißt Basis, wenn die zugehörigen Vektoren a ij eine Basis im Spaltenraum der Matrix A des KTP bilden. In Bezug auf die Basis heißen die Felder von B besetzte Felder, die übrigen Felder aus N \ B freie Felder. Satz 1.7 Die besetzten Felder einer Basis B des KTP bilden einen maximalen Weg.

11 Satz 1.8 Die Werte der Variablen der besetzten Felder einer Basis B (Basisvariable) des KTP lassen sich als Summen und Differenzen von Vorrats- und Bedarfsmengen bilden. Demonstration: Berechnung der Werte von Basisvariablen bei willkürlich gewählter Basis B: * * * * * * a 1 + a 2 + a 3 = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 x 34 = b 4 x 33 = a 3 b 4 ( ) x 23 = b 3 (a 3 b 4 ) = b 3 + b 4 a 3 ( ) x 21 = b 1 x 22 = a 2 b 1 (b 3 + b 4 a 3 ) = a 2 + a 3 b 1 b 3 b 4 = b 2 a 1 ( ) x 12 = b 2 (b 2 a 1 ) = a 1 Die mit ( ) gekennzeichneten Werte können negativ sein. Bemerkung: Die Werte der Basisvariablen x B lassen sich mit Hilfe des eindeutig lösbaren Gleichungssystems Bx B = d bestimmen. Die Matrix B hat dabei Dreiecksgestalt. Ist d ganzzahlig, so erhält man wegen der Dreiecksgestalt von B und der Tatsache, daß B nur Einträge aus der Menge {0; 1} besitzt, stets eine ganzzahlige Lösung x B. Satz 1.9 Sind für das KTP alle Vorrats- und Bedarfsmengen ganzzahlig, so sind alle zu einer Basis B gehörigen Basisvariable ganzzahlig. Satz 1.10 (Degeneration) Genau dann, wenn zwei nichtleere Indexmengen I 1 {1,..., m} und J 1 {1,..., n} mit i I 1 a i = j J 1 b j existieren, gibt es degenerierte Basislösungen.

12 Übertragung des Basiswechsels auf die Tabellenform des KTP Satz 1.11 Ist für das KTP eine Basismenge B gegeben, so kann jedem freien Feld eindeutig ein Kreis, bestehend aus dem freien feld und sonst nur besetzten Feldern zugeordnet werden. Bemerkung: Man findet den Kreis, in dem man sukzessive alle Reihen streicht, in denen nur ein Feld aus der Menge B {ausgewählte freie Variable} steht. Nach Satz 1.6 erhält man durch Entfernen eines Feldes des Kreises wieder eine Menge von linear unabhängigen Spaltenvektoren a ij Entfernt man ein besetztes Feld aus dem Kreis, so wird ein Basiwechsel vollzogen, denn die verbleibenden m + n 1 Spaltenektoren a ij sind linear unabhängig. Um das ausgewählte Feld aus B zu entfernen. sind die Variablenwerte alternativ um diesen Wert im Sinne eines Turmzugprinzips zu ändern. Demonstration: Berechnung der Werte von Basisvariablen bei willkürlich festgelegten Basiswechsel: * * * * * * Austausch (1, 4) (2.3) * * * * * * Kreis zu B mit freiem Feld (1,4) : (1,4) (3,4) (3,3) (2,3) (2,2) (1,2) d := x 23 (kann auch negativ sein) x 23 := x 23 d = d d = 0 x 22 := x 22 + d x 12 := x 12 d x 14 := x 14 + d = 0 + d = d x 34 := x 34 d x 33 := x 33 + d x 11 bleibt unverändert.

13 Optimalität einer Basis B Bemerkung Zu einer Basis B gibt es mn-(m+n-1) freie Felder. Mit Hilfe der zugehörigen Kreise kann die Änderung des Zielfunktionswertes bei beabsichtigtem Basiswechsel erfaßt werden. Es sei (i 1, j 1 ), (i 1, j 2 ), (i 2, j 2 ),..., (i k, j k ), (i k, j 1 ) ein derartiger Kreis mit (o.b.d.a.) dem freien Feld (i 1, j 1 ) und sonst nur besetzten Feldern. Ändert man die zugehörigen Variablen, beginnend mit x i1 j 1, alternativ um den Wert d = 1, so erhält man die relative Bewertung (1.14) c i 1 j 1 = c i1 j 1 c i1 j 2 + c i2 j c ik j k c ik j 1 Im Falle c i 1 j 1 0 bringt ein Basiswechsel mit dem freien Feld (i 1, j 1 ) für d 0 keine Zielfunktionsverbesserung. Die Durchführung dieses Tests für alle freien Felder ist sehr aufwendig. Satz 1.12 (Zerlegung in Potentiale) Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems (1.15) u i + v j = c ij, (i, j) B, wobei B eine Basis ist, besitzt den Freiheitgrad Eins. Bemerkung Wählt man z.b. u 1 = 0, dann erhält man ein eindeutig lösbares lineares Gleichungssystem, dessen Restriktionsmatrix Dreiecksgestalt besitzt. Unabhängig von der Wahl der frei wählbaren Variable ist stets die Summe der Potentiale u i + v j, (i, j) N, eindeutig bestimmt. Bemerkung Mit Hilfe von (1.15) erhält man aus (1.14) c i 1 j 1 = c i1 j 1 (u i1 + v j2 ) + (u i2 + v j2 )... + (u ik + v jk ) (u ik + v j1 ) = c i1 j 1 (u i1 + v j1 ) Damit kann für alle freien Variable die relative Bewertung (ohne Kenntnis der zugehörigen Kreise) relativ einfach mittels (1.16) c ij = c ij (u i + v j ), (i, j) N \ B berechnet werden.

14 Dualaufgabe zum KTP (1.17) m n Z D = a i u i + b i v j max i=1 j=1 (1.18) u i + v j c ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n (1.19) u i beliebig, i = 1,..., m, v j beliebig, j = 1,..., n Bemerkung Die Optimalität einer Basis B läßt sich auch mit Hilfe des Satzes vom komplementären Schlupf herleiten. Es sei B eine zulässige und optimale Basis. Dann existiert für die Dualaufgabe eine Optimallösung u 0 i, i = 1,..., m, v 0 j, j = 1,..., n, mit u 0 i + v 0 j = c ij, (i, j) B, d.h. die entsprechenden Ungleichungen aus (1.18) müssen als Gleichungen erfüllt werden. Weiter gilt wegen (1.18) u 0 i + v 0 j c ij, (i, j) N \ B. Dies entspricht den gefundenen Bedingungen in (1.15) und (1.16). Bemerkung Ist u 0 i, i = 1,..., m, v 0 j, j = 1,..., n, eine zulässige Optimallösung der Dualaufgabe, dann gilt m n (1.20) z Min = a i u o i + b i vj 0 = Z DMax. i=1 j=1 Die u 0 i sind die zu den Vorratsmengen a i gehörigen Schattenpreise. Die v 0 j sind die zu den Bedarfsmengen b j gehörigen Schattenpreise. Erhöht man gleichzeitig den Vorrat in A k als auch den Bedarf in B l um eine Einheit, so verändert sich der minimale Zielfunktionswert z Min um die Größe u 0 k + v 0 l, falls der zugehörige lokale Stabilitätsbereich diese Änderung zuläßt.

15 1.3. Ein primales Lösungsverfahren Eröffnungsverfahren Verfahren zur Erzeugung einer zulässigen Basislösung für KTP 0. Tabelle der Restriktionen Vorrat a i und Bedarf b j eintragen Felder für x ij leer, alle Felder nichtgestrichen 1. Wähle beliebiges nichtgestrichenes Feld (k,l) 2. Setze (1.21) x kl = min{a k, b l } (a) a k < b l Streiche Zeile k Ersetze b l durch b l a k Weiter mit 1. (b) a k > b l Streiche Spalte l Ersetze a k durch a k b l Weiter mit 1. (c) a k = b l i. Tabelle enthält genau zwei ungestrichene Reihen Streiche Zeile k und Spalte l Weiter mit 3. ii. Tabelle enthält mehr als zwei ungestrichene Reihen Streiche entweder Zeile k und ersetze b l durch 0, oder streiche Spalte l und ersetze a k durch 0, so daß noch mindestens eine Zeile und eine Spalte ungestrichen sind. Weiter mit Die Variablen der nichtbesetzten Felder erhalten den Wert 0 (keine Eintragung) 4. Berechne die Gesamtkosten z

16 Spezielle Regeln zur Auswahl des Feldes (k,l) Nordwesteckenregel Wähle jeweils das nichtgestrichene Feld in der linken oberen Ecke. Zeilenminimumregel Wähle nichtgestrichene Zeile mit kleinstem Index. Wähle in dieser Zeile nichtgestrichenes Feld mit kleinstem Kostenwert. Spaltenminimumregel Wähle nichtgestrichene Spalte mit kleinstem Index. Wähle in dieser Spalte nichtgestrichenes Feld mit kleinstem Kostenwert. Modifizierte Spaltenminimumregel Überprüfe die Spalten in der Reihenfolge 1,...,n : Ist die Spalte nichtgestrichen, so wähle in dieser Spalte nichtbesetztes Feld mit kleinstem Kostenwert. Gehe dann zur nächsten Spalte. Nach Überprüfung der Spalte n beginnt die Iteration wieder mit Spalte 1. Gesamtminimumregel Wähle nichtgestrichenes Feld mit kleinstem Kostenwert. Approximationsmethode von VOGEL Für jede nichtgestrichene Reihe wird die Differenz zwischen dem kleinsten und nächstkleinsten jeweils ungestrichenen Kostenwert gebildet. Wähle dann eine Reihe mit betragsmäßig größter Differenz und in dieser Reihe ein Feld mit den kleinsten Kosten. (Existiert nur eine Zeile oder eine Spalte, so werden die Besetzungen zwangsläufig vorgenommen.)

17 Beispiel 1.1 (Fortsetzung) c ij a i c 1 ij a i Nordwesteckenregel: x ij a i z = Zeilenminimumregel und modifizierte Spaltenminimumregel bzg. C: x ij a i z = Spaltenminimumregel bzg. C: x ij a i z = Gesamtminimumregel bzg. C, Zeilenminimumregel und Approximationsmethode nach Vogel bzg. C 1 : x ij a i z =

18 1.3.2 Optimierungsverfahren Primaler Algorithmus zur Lösung des KTP 0. Erzeuge zulässige Basislösung mit Basismenge B und Zielfunktionswert z. 1. Berechne Potentiale durch Lösen des linearen Gleichungssystems (1.22) u i + v j = c ij, (i, j) B, u 1 = 0 2. Berechne die relativen Bewertungskoeffizienten c ij = c ij (u i + v j ), (i, j) N \ B 3. Abbruchkriterium (OK): c ij 0, (i, j) N \ B 4. Bestimme ein (k, l) N \ B mit (1.23) c kl = min{c ij (i, j) N \ B} 5. Kreissuche Streiche alle Felder aus der Menge B {(k, l)}, die allein in einer Reihe stehen. Wiederhole den Prozeß, bis keine Steichungen mehr möglich sind. Unterteile die verbliebenen Felder in B + : B : Feld (k,l) und jedes weitere zweite Feld des Kreises nicht zu B + gehörige Felder des Kreises 6. Bestimme ein Feld (p,q) und die Größe d mit (1.24) d = x pq = min{x ij (i, j) B } 7. Abänderung der Lösung (Turmzugprinzip) (1.25) x ij := x ij + d, (i, j) B +, x ij := x ij d, (i, j) B (1.26) z := z + c kld, B := (B \ {(p, q)}) {(k, l)} Weiter mit 1.

19 Beispiel 1.1 (Fortsetzung) c ij a i x ij a i z = u i v j c ij x ij a i 1 65 d 10 d d 75+d d 70 d 100 x ij a i d = 10 z = ( 130) 10 = u i v j c ij

20 Beispiel 1.2. Austeilung leerer Eisenbahnwagen (FRATTASI) Acht Eisenbahnstationen sollen leere Wagen von drei Bahnhöfen erhalten. Die nachfolgende Tabelle enthält die zur Verfügung stehende und die benötigte Anzahl der leeren Wagen sowie die Entfernung in km zwischen den Eisenbahnstationen (A: Torino, B: S.Guiseppe, C: Savona, D: Alessandria, E: Casale, F: Vercelli, G: Trescate, H: Novara). Entfernung (km) A B C D E F G H Bestand A D H Bedarf Die Transportkosten eines leeren Wagens betragen 30 Lire/km. Die Austeilung ist so zu planen, das die Transportkosten minimal werden.