Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen

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1 Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II Aufgaben und Lösungen SS 2005

2 Aufgaben

3 Aufgabe 41 Ein Betrieb stellt zwei Produkte P 1 und P 2 her, die die drei Maschinentypen A, B, und C passieren müssen. Die folgende Tabelle enthält die notwendigen Bearbeitungszeiten pro Mengeneinheit (ME), die monatlich zur Verfügung stehenden Maschinenkapazitäten und den Gewinn pro Mengeneinheit in Geldeinheiten (GE) für jedes Produkt: Bearbeitungszeit in h/me Maschinenkapazität Maschine P 1 P 2 in h A B C Gewinn in GE/ME 2 3 a) Bestimmen Sie das Produktionsprogramm, bei dem der Betrieb seinen höchsten Gewinn erzielt. b) Zur zweiten Komponente der Zielfunktion wird der Parameter t 2 addiert, d. h. p 2 = 3 + t 2. Wie stark kann t 2 variieren, ohne daß die optimale Basislösung aus a) ihre Optimalitätseigenschaft verliert? c) Zur zweiten Komponente des Restriktionsvektors wird der Parameter t 2 addiert, d. h. b 2 = t 2. Wie stark kann t 2 variieren, ohne daß die optimale Basislösung aus a) ihre Zulässigkeitseigenschaft verliert? d) Zu dem linearen Programm aus a) wird eine neue Variable x 3 mit dem Zielfunktionskoeffizienten p 3 = 2 und den technischen Koeffizienten a 13 = 3, a 23 = 2, a 33 = 2 hinzugefügt. Bestimmen Sie unter Berücksichtigung von x 3 dasjenige Produktionsprogramm, das den höchsten Gewinn erzielt. 1

4 Aufgabe 42 Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem: min 4x 1 + 3x 2 + 4x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 10 x 1 x 2 + 3x 3 0 x 1, x 2, x 3 0 a) Bestimmen Sie alle optimalen Lösungen und den zugehörigen Zielfunktionswert mit dem dualen Simplexverfahren. b) In welchem Intervall darf sich der Zielfunktionskoeffizient p 1 (der oben den Wert 4 besitzt) bewegen, ohne daß eine optimale Basislösung aus a) ihre Optimalitätseigenschaft verliert? c) In welchem Intervall darf sich der Restriktionsvektorkoeffizient b 2 bewegen, ohne daß eine optimale Basislösung aus a) unzulässig wird? Aufgabe 43 Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem: (P) max 40x x x 3 6x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 2x 2 + 6x x 1, x 2, x 3 0 a) Formulieren Sie das zu (P) duale Programm (D). b) Lösen Sie das duale Programm (D) grafisch. Markieren Sie den Zulässigkeitsbereich und geben Sie die optimale Lösung sowie den zugehörigen Zielfunktionswert an. c) Zu (P) wird eine zusätzliche Variable x 4 mit dem Zielfunktionskoeffizienten p 4 = 120 und dem Koeffizientenvektor a.4 = ( 11 15) hinzugefügt. Untersuchen Sie, ob sich die optimale Lösung von (D) ändert. d) Geben Sie unter Verwendung des Satzes vom komplementären Schlupf (Optimierung I, 5.14) die optimale Lösung und den zugehörigen Zielfunktionswert für (P) an. 2

5 Aufgabe 44 Gegeben sind die zueinander dualen Probleme P : max (x 1 + 2x 2 ), x 1 + x 2 4, x 1 3, x 2 3, x 0 D : min (4y 1 + 3y 2 + 3y 3 ), y 1 + y 2 1, y 1 + y 3 2, y 0 a) Geben Sie für beide Probleme alle Optimallösungen sowie den Zielfunktionswert mit Hilfe des primalen und dualen Simplexverfahrens an. b) Versuchen Sie, die Lösung von P und D auch graphisch nachzuvollziehen. c) Wie stark können t 1, t 2 IR variieren, ohne daß die optimale Basislösung von D mit der Zielfunktion ZF (t 1 ) = (4 + t 1 ) y 1 + 3y 2 + 3y 3 bzw. ZF (t 2 ) = 4y 1 + (3 + t 2 ) y 2 + 3y 3 ihre Zulässigkeitseigenschaft verliert? (Hinweis: Benutzen Sie das Problem P.) Aufgabe 45 Gehen Sie von den Endtableaus zu P bzw. D aus Aufgabe 44 a) aus. Mit Hilfe der in Kapitel 10 entwickelten Methoden sind beide Aufgaben P und D zu lösen, wenn alternativ a) die Nebenbedingung x 2 3 in P gestrichen wird, b) die Nebenbedingung x 1 + 2x 2 2 in P hinzugefügt wird, c) die Nebenbedingung 2y 1 + y 2 2 in D hinzugefügt wird, d) die Variable y 3 0 in D eliminiert werden soll. Aufgabe 46 Lösen Sie das Problem (2 t) x 1 x 2 max 3x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 und geben Sie das Ergebnis in Abhängigkeit von t explizit an. Stellen Sie die Zielfunktion in Abhängigkeit von t graphisch dar. 3

6 Aufgabe 47 Man löse folgende lineare Programme mit einem Parameter: a) in der Zielfunktion g(x, t) = (3 + t)x 1 + 2x 2 + t max Nebenbedingungen: x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 6 Aufgabe 48 x 1, x 2 0 b) in dem Beschränkungsvektor g(x) = 3x 1 + 2x 2 max Nebenbedingungen: x 1 + 2x t 2x 1 + x 2 6 3t x 1, x 2 0 Gegeben ist das folgende parametrische lineare Optimierungsproblem: x 1 2x 2 + x 3 max unter x 1 + x 2 = 5 + t x t x 1, x 2, x 3 0, t IR Die Menge aller t IR, für die Optimallösungen existieren, sei mit T bezeichnet. a) Berechnen Sie die Menge T sowie die Optimallösungen x (t) für alle t T. b) Erstellen Sie eine graphische Darstellung des optimalen Zielfunktionswertes in Abhängigkeit von t T. Aufgabe 49 Gegeben ist das parametrische (t IR) lineare Optimierungsproblem: max (x 1 + x 2 + x 3 ) mit A) 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 + t x 1, x 2, x 3 0 B) x 1 + x 2 = 1 + t C) x 1 + x 2 x 3 = t a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit des Problems in Abhängigkeit von t durch Lösung des Gleichungssystems für x 1, x 2, x 3 0. b) Mit Hilfe von a) ermittle man alle Optimallösungen des Problems sowie den Zielfunktionswert in Abhängigkeit von t. c) Lösen Sie das Optimierungsproblem für t 0 mit Hilfe der Zweiphasenmethode. Hinweis: Mit einer geschickten Auswahl der jeweiligen Pivotspalte kann man sich eine Fallunterscheidung für die möglichen Parameterwerte von t ersparen. 4

7 Aufgabe 50 Eine Sportartikelfirma stellt in ihren vier Verkaufsstellen Differenzen zwischen den Bestandsund Bedarfsmengen eines Saisonartikels fest: Verkaufsstelle Bestandsmenge Bedarfsmenge Um die Bestandsmengen an die Bedarfsmengen anzupassen, sind Transporte zwischen den Verkaufsstellen notwendig, deren Kosten pro Einheit durch die Matrix C 0 gegeben sind: C 0 = a) Welche Mengen x ij (i j) sind zwischen den Verkaufsstellen zu transportieren, wenn die Gesamttransportkosten minimiert werden sollen und außerdem diejenigen Verkaufsstellen, deren Bedarf größer als ihr Bestand ist, nichts abgeben? Geben Sie auch die minimalen Gesamttransportkosten explizit an. b) Prüfen Sie, ob die gefundene Lösung eindeutig ist. Geben Sie gegebenenfalls eine Begründung. Aufgabe 51 Von den drei Lagern L 1, L 2, L 3 sind die drei Kaufhäuser K 1, K 2, K 3 mit einem bestimmten Gut zu beliefern. Folgende Tabellen geben an, wie viele Mengeneinheiten dieses Gutes in L i vorrätig sind bzw. in K j benötigt werden: in: L 1 L 2 L 3 in: K 1 K 2 K 3 Vorrat: Bedarf: Der Transport einer Mengeneinheit von Lager L 1 zu einem der Kaufhäuser K j, j = 1,..., 3, kostet jeweils 9 Geldeinheiten; die entsprechenden Transportkosten pro Mengeneinheit für die Lager L 2 und L 3 sind folgender Tabelle zu entnehmen: nach: K 1 K 2 K 3 von L 2 : von L 3 : Bestimmen Sie eine Optimallösung zu diesem Transportproblem und geben Sie die dabei entstehenden Gesamttransportkosten an. 5

8 Aufgabe 52 Zwei Unternehmen U1, U2 werden von drei Lägern L1, L2, L3 bedient, in denen jeweils 80 Mengeneinheiten eines homogenen Gutes lagern. Unternehmen U1 benötigt 140 Mengeneinheiten und Unternehmen U2 benötigt 60 Mengeneinheiten dieses Gutes. Die Transportkosten pro Mengeneinheit sind in der folgenden Tabelle angegeben (Angaben in Geldeinheiten): U1 U2 L L L In jedem Lager entstehen gegebenenfalls Lagerkosten von jeweils 2 Geldeinheiten pro Mengeneinheit. a) Bestimmen Sie die transportkostenminimalen Lieferungen. b) Geben Sie die resultierenden Gesamtkosten an. c) Zeigen Sie, daß für ein beliebiges Standardtransportproblem mit d = m a i = n i=1 b j j=1 die Variablenwerte x ij = a i b j d eine zulässige Lösung darstellen. i = 1,...,m; j = 1,..., n Aufgabe 53 Auf 5 Baustellen B 1,..., B 5 steht je ein Kran. Vier dieser Kräne sind auf je eine neue Baustelle N 1, N 2, N 3, N 4 zu bringen. Mit der Entfernungstabelle N 1 N 2 N 3 N 4 B B B B B soll die insgesamt zurückzulegende Wegstrecke minimiert werden. Man bestimme a) eine zulässige Lösung mit der Nordwesteckenregel, b) eine optimale Lösung mit dem MODI Verfahren. 6

9 Aufgabe 54 Lösen Sie das in Aufgabe 53 gestellte Problem mit Hilfe des Branch and Bound Verfahrens aus Kapitel 13. Aufgabe 55 Vier Werkstücke können auf vier Maschinen mit unterschiedlichem Energieverbrauch bearbeitet werden, der in der folgenden Tabelle angegeben ist: Maschine Werkstück Das Symbol in der Verbrauchstabelle schließt entsprechende Zuordnungen generell aus. Unter der Voraussetzung, daß jede Maschine genau einmal zum Einsatz kommt, bestimme man a) eine verbrauchsminimale Zuordnung der vier Werkstücke zu den Maschinen, b) die maximal mögliche Energieeinsparung bei Realisierung von a). c) Unter der Voraussetzung, daß jede der Maschinen auch für mehr als eines der vier Werkstücke eingesetzt werden kann, beantworte man a) und b). d) Man löse a) mit Hilfe eines geeigneten Branch and Bound Verfahrens. 7

10 Aufgabe 56 Gegeben sei das folgende Straßennetz mit Entfernungsbewertungen: A B 4 6 D 3 C a) Von A ausgehend soll ein kürzester Rundweg durch alle Orte und wieder zurück zu A ermittelt werden. b) Wie sieht ein kürzester Rundweg aus, wenn die Strecke von A nach D ausgeschlossen werden soll? c) Wie sieht der kürzeste Rundweg aus, wenn die Strecke von C nach B einzubeziehen ist? Zur Beantwortung der Fragen a) und c) ist das in Kapitel 13 der Vorlesung Optimierung II angegebene Branch and Bound Verfahren anzuwenden. Aufgabe 57 Auf einer Maschinenanlage sollen 4 Aufträge gefertigt werden, zu denen die Anlage jeweils umgerüstet werden muß. Die Kosten dafür hängen von der Reihenfolge der Auftragsfertigung ab und sind in der folgenden Tabelle angegeben: zu Auftrag A 1 A 2 A 3 A 4 Kosten der von A Umrüstung von A von A von A Die entsprechenden Kosten für die Anfangsrüstung und die Reinigung nach Abschluß der Aufträge sind: Auftrag A 1 A 2 A 3 A 4 Startkosten Schlußreinigung In welcher Reihenfolge sind die Aufträge kostenminimal durchzuführen? 8

11 Aufgabe 58 Der Absatz x t eines Produktes in der Periode t+1 sei abhängig vom Preis p t und dem Absatz x t 1 der Vorperiode. Man löse das dynamische Optimierungsproblem 3 t=1 u t (x t 1, p t ) = 3 t=1 x t 1 p t max mit den Nebenbedingungen x 0 = 10, p t {1, 2} und x t = x t p t für t = 1, 2, 3 mit Hilfe des Bellman schen Optimalitätsprinzips. Man gebe den optimalen Zustands- und den optimalen Entscheidungsvektor sowie den Umsatz an. Aufgabe 59 In Aufgabe 58 ersetze man die Zielfunktion durch min t u t (x t 1, p t ) = min t x t 1 p t max. Man interpretiere diese Zielsetzung und löse das Problem entsprechend zu Aufgabe 58. Aufgabe 60 Gegeben sei das mehrstufige Optimierungsproblem mit den Zustandsvariablen z 0 = 10, z 1, z 2 0, z 3 = 0, den Entscheidungsvariablen x 1 [0, z 0 ], x 2 [0, z 1 ], x 3 = z 2 und den Beziehungen z t = z t 1 x t (t = 1, 2, 3). Die Zielsetzung sei min (x x x2 3 ). Lösen Sie dieses Problem mit Hilfe des Bellman Algorithmus und geben Sie die optimale Lösung (z1, z 2, x 1, x 2, x 3 ) sowie den Zielfunktionswert an. 9

12 Aufgabe 61 Vier Werbebotschaften sind auf drei Medien so aufzuteilen, daß die Gesamtreichweite maximal ist. Die einzelnen Reichweiten entnehme man der Tabelle: Anzahl der Werbebotschaften Medium Medium Medium Man stelle das Problem als dynamisches Optimierungsproblem dar und löse es. Aufgabe 62 Gegeben sind die Funktionen f 1, f 2 mit f 1 (x) = e x + x ln x f 2 (x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 2x 2 1 x2 2. a) Für welche x IR bzw. (x 1, x 2 ) IR 2 sind die Funktionen f 1, f 2 konvex bzw. konkav? b) Gegeben sind die konvexen Funktionen f 1,...,f m : IR IR. Zeigen Sie allgemein, daß f : IR IR mit f(x) = max i=1,...,m f i(x) konvex ist. c) Für f 1, f 2 : IR IR mit f 1 (x) = x, f 2 (x) = x2 2 veranschauliche man die Aussage b) graphisch und gebe f(x) = max f i(x) explizit an. i=1,2 Aufgabe 63 Gegeben sei das Optimierungsproblem: a) Lösen Sie dieses Problem grafisch. max (6x 1 + 8x 2 ) mit (x 1 1) 2 + x x 1 x 2 2 x 1, x 2 0 b) Zeigen Sie, daß das gegebene Optimierungsproblem mit der Zielfunktion min ( 6x 1 8x 2 ) anstatt max (6x 1 + 8x 2 ) konvex ist und die Slaterbedingung erfüllt ist. c) Überprüfen Sie die in a) erhaltene Optimallösung mit Hilfe der lokalen Kuhn-Tucker Bedingungen. 10

13 Aufgabe 64 Gegeben sei die nichtlineare Optimierungsaufgabe: min (4x x2 2 + x2 3 ) mit x 1 + x 2 + x 3 4 x 2 + 2x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 a) Zeigen Sie, daß ein konvexes Optimierungsproblem vorliegt. b) Geben Sie einen inneren Punkt, einen Randpunkt und einen Eckpunkt des zulässigen Bereichs an. c) Welche der zulässigen Lösungen (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 1) oder (0, 1, 1) erfüllt die lokalen Kuhn Tucker Bedingungen? Ist eine der beiden zulässigen Lösungen optimal? Aufgabe 65 Gegeben sei das Optimierungsproblem g(x 1, x 2 ) = (x 1 6) 2 + x 2 min unter der Nebenbedingung x 2 1 x 2 ( ) x1 sowie mit IR 2 +. x 2 a) Schreiben Sie die Nebenbedingung in der Form f(x 1, x 2 ) 0 und zeigen Sie (mit Hilfe der Hesse Matrizen), daß die Funktionen f und g konvex sind. b) Berechnen Sie alle Optimallösungen des obigen Optimierungsproblems mit Hilfe des Satzes von Kuhn Tucker und ermitteln Sie den Zielfunktionswert. Hinweis: Zeigen Sie, daß die Slater Bedingung erfüllt ist. 11

14 Aufgabe 66 Gegeben sei das Optimierungsproblem: (x 1 2) 2 + x ex 3 min x 1 x 2, (x 1 + x 2 ) 2 + x 2 3 4, x i 0 a) Weisen Sie nach, daß es sich um ein konvexes Optimierungsproblem handelt. b) Stellen Sie die Lagrange Funktion und die Kuhn Tucker Bedingungen auf. c) Zeigen Sie, daß der Vektor (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 0) die einzige Optimallösung des obigen Optimierungsproblems ist, und geben Sie den optimalen Zielfunktionswert an. d) Geben Sei sämtliche Sattelpunkte der Lagrange Funktion an. Aufgabe 67 (s. Optimierung I, 9.11) Das binäre Optimierungsproblem max (80x x x x x 5 ) mit 20x x x 3 + 2x x x x x 3 + 8x x x 1 + 6x x x x x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} ist mit Tabu Search zu lösen. Dabei ist von den Startfestlegungen k = 2, t max = 9, x 0T = (1, 1, 0, 1, 1) auszugehen. 12

15 Aufgabe 68 (s. Optimierung II, 13.2) Für ein quadratisches Zuordnungsproblem sei die Kostenmatrix C B 1 B 2 B 3 B 4 A A A A gegeben. Mit den Startfestlegungen k = 1, t max = 10 sowie der Startlösung x : bzw , g(x0 ) = ist eine gesamtkostenminimale Zuordnung mit Hilfe von Tabu Search zu ermitteln. Dabei verwende man: N(x t ) = {x zulässig : x entsteht aus x t durch genau einen Austausch von 2 Einsen} Aufgabe 69 (s. Optimierung II, 17.6) Lösen Sie das nichtlineare Optimierungsproblem min [(x 1 6) 2 + x 2 ] = min g(x) mit x 2 1 x 2, x 1, x 2 0 mit Threshold Accepting sowie den Startfestlegungen α = 0.1, β = 0.8, γ = 2, d = 1, x 0 = ( 3 10), g(x 0 ) = 19, s min = 1, c max = 2. Zufällige Nachbarlösungen seien x 11 = ( ) ( ), x 12 3 ( ) = für t = 1 und x ( =, x 22 2 = ) für t = 2. 13

16 Aufgabe 70 Gegeben sei das ganzzahlige lineare Optimierungsproblem sowie die zulässige Startlösung max g(x) = max (x 1 + 3x 2 + 2x 3 ) mit x 1 + x 2 + 2x 3 20 x 1 + 4x 2 + 2x 3 30 x 1, x 2, x 3 Z + x 0 = (0, 3, 8) mit g(x 0 ) = 25. Zur Lösung ist das Prinzip des Threshold Accepting mit anzuwenden. Ferner sei α = 0.05, β = 0.8, γ = 2, d = 1, s min = 0.5, c max = 2 N(x t ) = {x zulässig : x variiert gegenüber x t in genau einer Komponente} und anstatt der zufälligen Auswahl von Lösungen aus N(x t ) bestimme man die besten c t Lösungen aus N(x t ). Aufgabe 71 Zum Elternpaar (x 2, x 4 ) aus Beispiel 17.3 bestimme man alle möglichen 1 Punkt Crossover Lösungen ohne Mutation und prüfe die Ergebnisse auf ihre Zulässigkeit. Aufgabe 72 Gegeben sei die Population P t mit folgenden Fitnesswerten: Lösung x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Fitness Berechnen Sie die Auswahlwahrscheinlichkeiten für eine fitnessproportionale sowie eine rangbasierte Elternauswahl. Wie viele Möglichkeiten der Zufallsauswahl von 4 fitnessproportionalen bzw. rangbasierten Elternpaaren nach 17.4 gibt es? 14

17 Aufgabe 73 Für das binäre Optimierungsproblem der Aufgabe 67 seien die folgenden zulässigen Lösungen x 1T : ( ) x 2T : ( ) x 3T : ( ) x 4T : ( ) sowie die Elternpaare (x 1, x 2 ), (x 3, x 4 ) gegeben. a) Mit Hilfe von 1 Punkt Crossover nach der 2. Position (z.b ) ermittle man eine neue Population gemäß Eliteselektion, wobei eine Mutation der Nachkommen außer Acht gelassen werden soll. b) Zeigen Sie, daß die Lösung von a) unverändert bleibt, wenn das 1 Punkt Crossover nach der 3. Position erfolgt. Aufgabe 74 Das nichtlineare Optimierungsproblem min (4x x2 2 + x2 3 ) mit x 1 + x 2 + x 3 4 x 2 + 2x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 ist mit einem evolutionären Algorithmus der Form 17.7 mit p = 4, r = 6, σ = τ = 0 (ohne Mutation), t max = 1 zu analysieren. Die Startpopulation P 0 bestehe aus den zulässigen Lösungen ) ) ) ) x 1 = ( 1 1 1, x 2 = ( 0 3 0, x 3 = ( 0 1 2, x 4 = ( 0 1 1, aus denen die 6 Elternpaare (x 1, x 2 ), (x 1, x 3 ), (x 1, x 4 ), (x 2, x 3 ), (x 2, x 4 ), (x 3, x 4 ) gebildet werden. Bestimmen Sie alle Nachkommen mit intermediärer Rekombination sowie eine neue Population P 1 gemäß Eliteselektion. 15

18 Aufgabe 75 Das ganzzahlige Optimierungsproblem max (2x 1 + 3x 2 ) mit x 1 + 2x 2 8 2x 1 + x 2 9 x 1, x 2 Z + besitzt die Optimallösung x T = (2, 3) mit ZF(x ) = 13. Zu p = 3, r = 5, σ = 1.48, τ = 0.2 sowie den rekombinierten Nachkommen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1, 2, 3, 4 führe man eine Mutation mit den Realisationen ŝ = 1 sowie ( ) ( ) ( ) ( ẑ j = 0.2, 0.6, 0.6, 0.3 ), ( ) von N(0, 1) verteilten Zufallsvariablen durch und ermittle eine neue Population gemäß Eliteselektion, wobei nichtganzzahlige mutierte Nachkommen in geeigneter Weise zu runden sind. 16

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