1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /04/26 14:09:00 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.4 Anordnungseigenschaften Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen uns mit den konvexen Teilmengen des R d zu beschäftigen. Insbesondere hatten wir die Seiten einer solchen Menge definiert und angemerkt das es solche nur für spezielle konvexe Mengen gibt. Um diese speziellen konvexen Mengen einzuführen benötigen wir ein vorbereitendes Lemma. Die folgenden Aussagen sollten dabei aus der Analysis II bekannt sein, um uns an die Begriffe zu gewöhnen wollen wir sie aber ruhig einmal wiederholen. Lemma 1.18 (Grundeigenschaften konvexer Mengen) Sei d N gegeben. (a) Ist (C i ) i I eine Familie konvexer Teilmengen des R d, so ist auch der Durchschnitt i I C i konvex. (b) Zu jeder Teilmenge M R d gibt es eine kleinste konvexe Obermenge von M, nämlich co(m) := {C R d C R d ist eine konvexe Menge mit M C}, die sogenannte konvexe Hülle von M. (c) Jede konvexe Menge C R d ist auch zusammenhängend. Beweis: (a) Dies ist klar. (b) Dies ist eine Folgerung aus (a). (c) Dies ist klar wenn C = ist, wir können also C annehmen. Wähle dann ein z C. Für jedes Punkt a C ist die Strecke [z, a] als Bild der stetigen Abbildung f : [0, 1] [z, a]; t (1 t)z + ta zusammenhängend, und damit ist auch C = a C [z, a] zusammenhängend. Wir hatten eine Hyperebene H R d eine Stützhyperebene an eine konvexe Menge C R d in einem Randpunkt p C genannt, wenn p H ist und C ganz auf einer Seite von H liegt. Im Idealfall schneidet solch eine Stützhyperebene die Menge A nur im Punkt p, in diesem Fall nennt man p einen exponierten Punkt von A. In den uns interessierenden Situationen ist dies weiter genau dann der Fall wenn p ein Extremalpunkt oder eine Ecke von A ist. 6-1

2 Definition 1.12 (Ecken einer konvexen Menge) Sei A R d eine abgeschlossene konvexe Menge. Ein Punkt p A heißt eine Ecke von A wenn es keine zwei Punkte a, b A mit p a, b gibt so, dass p zwischen a und b liegt. Es soll also keine a, b A mit a b und kein t (0, 1) mit p = (1 t)a + tb gegen. Bei unserem Kreis B ist dann jeder Randpunkt von B eine Ecke von B, beim Quadrat A haben wir dagegen nur die vier offensichtlichen Ecken. Ein Strahl mit Startpunkt p hat genau eine Ecke nämlich p und insbesondere ist der Startpunkt eines Strahls eindeutig durch den Strahl festgelegt. Wir interessieren uns für konvexe Mengen die sich als konvexe Hülle endlich vieler Punkte schreiben lassen und wollen nun festhalten das diese stets viele Seiten haben. Satz 1.19 (Seiten eines Polyeders) Seien d N und p 0,..., p n R d endlich viele Punkte im R d. Weiter nehme an, dass die konvexe Hülle P := co({p 0,..., p n }) dieser Punkte nicht leeres Inneres hat, es gelte also P. Dann hat P nur endlich viele Seiten S 1,..., S m. Bezeichnet H i für jedes 1 i m die Seite von S i mit P H i so ist P = H 1... H m. Auf den schon etwas komplizierteren Beweis dieses Satzes wollen wir hier verzichten. Erinnern wir uns daran sich jeder Halbraum nach Lemma 17 durch eine lineare Ungleichung beschreiben läßt, so folgt insbesondere das sich die konvexe Menge P des Satzes als die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems schreiben läßt welches aus genau so viele Ungleichungen besteht wie es Seiten von P gibt. Will man diese Ungleichungen explizit bestimmen, wie zum Beispiel in Aufgabe (9), so müssen zunächst alle Seiten bestimmt werden, für jede der Seiten muss dann der korrekte Halbraum ermittelt werden und dieser schließlich durch eine Ungleichung angegeben werden. Betrachten wir als ein Beispiel das Dreieck D im R 2 mit den Eckpunkten p 0 = (0, 0), p 1 = (1, 0) und p 2 = (0, 1). Jede der drei Kanten ist dann eine Seite von D. Bezeichnet l ij für 0 i < j 2 die Verbindungsgerade von p i und p j so sind l 01 = {(x, y) R 2 y = 0}, l 02 = {(x, y) R 2 x = 0}, l 12 = {(x, y) R 2 x + y = 1}. Für jede dieser drei Gleichungen müssen wir das Gleichheitszeichen durch ein passendes Ungleichheitszeichen ersetzen, und zwar so das alle Punkte von D die entstehende Ungleichung erfüllen. Wir setzen hierzu jeweils den dritten Eckpunkt in die Ungleichung ein, also l 01 : 1 > 0, l 02 : 1 > 0 und l 23 : < 1 und wir erhalten D = {(x, y) R 2 y 0, x 0, x + y 1}. 6-2

3 Von besonderen Interesse sind die abgeschlossenen konvexen Mengen die zum einen beschränkt und zum anderen von voller Dimension im R d sind, diese nennen wir konvexe Körper. Definition 1.13 (Konvexe Körper) Sei d N. Ein konvexer Körper ist eine kompakte, konvexe Menge C R d mit nicht leeren Inneren C. Dabei ist die Bedingung C gleichwertig dazu das C in keiner Hyperebene des R d enthalten ist, also wirklich ein d-dimensionales Objekt ist. Ein allgemeiner konvexer Körper hat in der Regel keine Seiten, diejenigen die in gewissen Sinne viele Seiten haben nennt man konvexe Polyeder, diese sind die Verallgemeinerungen der konvexen n-ecke in den Raum und in beliebige Dimension. Es gibt auch einen allgemeineren Polyederbegriff der auch nicht konvexe Polyeder umfasst, in dieser Vorlesung werden wir uns aber nur mit konvexen Polyedern beschäftigen. Definition 1.14 (Konvexe Polyeder) Sei d N gegeben. Ein konvexer Polyeder im R d ist ein konvexer Körper P R d, der sich als konvexe Hülle von endlich vielen Punkten schreiben läßt, es soll also x 1,..., x n R n mit P = co({x 1,..., x n }) geben. Die konvexe Hülle endlich vieler Punkte ist immer eine kompakte Menge, man kann also gleichwertig sagen das ein konvexer Polyeder die konvexe Hülle endlich vieler Punkte mit nicht leeren Inneren ist. Man kann nun Satz 19 erweitern und erhält eine weitere mögliche Beschreibung konvexer Polyeder. Satz 1.20 (Satz von Brun-Minkowski) Seien d N und P R d eine kompakte Menge mit P. Dann ist P genau dann ein konvexer Polyeder wenn es endlich viele Halbräume H 1,..., H m R d mit P = H 1... H m gibt. Sind die Halbräume H 1,..., H m minimal gewählt so sind ihre affinen Ränder genau die Seiten von P. Ist E R d eine minimal gewählte endliche Menge mit P = co(e) so ist E genau die Menge der Ecken von P. Für jede Seite H von P ist H P ein konvexer Polyeder in H dessen Eckenmenge genau E H ist. Auch hier wollen wir auf einen Beweis verzichten, dieser wird eventuell das Thema einer Reihe von Seminarvorträgen im kommenden Semester sein. Wir schauen uns einmal speziell die beiden bei uns relevanten Dimensionen d = 2 und d = 3 an. Im ebenen Fall d = 2 sind die konvexen Polyeder genau die konvexen n-ecke, und da ein konvexer Polyeder nicht in einer Geraden enthalten ist muss n 3 sein. Nach Eckenanzahl sind die Dreiecke also die kleinsten konvexen Polyeder in der Ebene. Seien a, b, c R 2 drei nicht kollineare Punkte und bezeichne λ 1, λ 2, λ 3 die baryzentrischen Koordinaten bezüglich der affinen Basis a, b, c des R 2. Nach Lemma 12 sind die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes lineare Funktionen dieses Punktes und mit Satz 19 folgt D := co({a, b, c}) = {x R 2 λ i (x) 0 für i = 1, 2, 3}. Nach Aufgabe (10) ist H i := {x R 2 λ i (x) 0} dabei für i = 1, 2, 3 eine Halbebene und wir haben D = H 1 H 2 H 3 als Schnitt dreier Halbebenen geschrieben. Insbesonde- 6-3

4 re sind a, b, c die Ecken von D und a, b, b, c, c, a die Seiten von P. An dieser Stelle läßt sich auch bequem die Bedeutung der Vorzeichen der baryzentrischen Koordinaten ablesen. Die Seite a, b ist durch λ 3 = 0 gegeben und H 3 = {x R 2 λ 3 (x) 0} ist die Halbebene mit Rand a, b die c entält. Analoges gilt für die anderen beiden Seiten, die sieben Zusammenhangskomponenten von R 2 \( a, b b, c c, a ) sind also durch die Vorzeichen der baryzentrischen Koordinaten gegeben c a ++ b + im räumlichen Fall d = 3 wird die Situation komplizierter. Die Seiten eines konvexen Polyeders P im R 3 sind Ebenen und ist H eine Seite von P so ist H P ein Polyeder im R 2 also ein n-eck für irgendein n 3. Je nachdem welche Seite verwendet wird können verschiedene Werte von n auftreten. Diese n-ecke P H nennen wir auch die Flächen oder Seitenflächen von P, ihre Kanten heißen die Kanten von P. Einige dreidimensionale Beispiele sind im gleich folgenden Bild dargestellt: Tetraeder Würfel Oktaeder. 6-4

5 Für einen konvexen Polyeder im R 3 brauchen wir mindestens vier Ecken da die konvexe Hülle von höchstens drei Punkten in einer Ebene enthalten ist, die einfachsten konvexen Polyeder im R 3 sind also Mengen der Form S = co({x 0, x 1, x 2, x 3 }), wobei x 0, x 1, x 2, x 3 R 3 vier Punkte sind die nicht in einer Ebene liegen. Man nennt die Menge S ein Simplex, oder genauer ein 3-Simplex. Der Rand von S setzt sich aus vier Dreiecken zusammen, diese sind die Flächen von S und wenn diese alle gleichseitig sind so nennt man S auch einen Tetraeder, dass es solche tatsächlich gibt werden wir uns später einmal überlegen. Die Terminologie ist hier nicht ganz eindeutig, manchmal werden überhaupt alle konvexen Polyeder mit vier Ecken im R 3 als Tetraeder bezeichnet, wir werden aber nur die gleichseitigen Exemplare so nennen. Etwas komplizierter sind die Würfel, diese sind die konvexe Hülle ihrer acht Ecken und werden von sechs Quadraten berandet. Starten wir mit einem Würfel W, so bilden wir die sechs Mittelpunkte seiner Flächen, etwa x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, und schließlich deren konvexe Hülle O := co({x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 }). Man nennt O einen Oktaeder, dieser hat sechs Ecken und sein Rand setzt sich aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammen. Alternativ kann man einen Oktaeder auch konstruieren indem zwei Pyramiden zusammengesetzt werden. Tetraedergerüst Würfelgerüst Oktaedergerüst Um solche dreidimensionalen konvexen Polyeder wirklich zu bauen werden oftmals sogenannte Gerüste verwendet. Man denkt sich den Polyeder längs geeigneter Kanten aufgeschnitten, faltet ihn in die Ebene auf und erhält ein Gerüst des Polyeders. Wenn wir nun etwa einen Tetraeder konstruieren wollen, so nehmen wir eine ausreichend starke aber noch gut biegbare Pappe, und zeichnen auf diese, wie oben links gezeigt, ein gleichseitiges Dreieck und setzen an jede seiner Seiten ein weiteres kongruentes gleichseitiges Dreieck. Dann wird dieses Gerüst ausgeschnitten, entsprechend hochgebogen und an den freien Kanten zusammengeklebt. Anschließend kann man es dann auch noch bemalen, in Fall des Tetrateders sollte jede Seite eine eigene Farbe kriegen. Entsprechend kann man bei anderen Polyedern vorgehen, die Gerüste für den Würfel und das Oktaeder sind oben gezeigt. Für alle bei uns vorkommenden konvexen Polyeder gibt es solche Gerüste, es ist allerdings nicht bekannt ob es für jeden konvexen Polyeder im R 3 immer ein passendes Gerüst gibt. Wir werden in einem späteren Kapitel noch etwas weiter auf die dreidimensionalen Polyeder eingehen. 6-5

6 1.5 Abstände und Winkel Bisher haben wir nur affine Geometrie getrieben also noch keine Längen oder Winkel verwendet. In diesem Abschnitt wollen wir uns anchauen wie man diese in Termen von Begriffen der Grundvorlesungen einführen kann. Wir beginnen dabei mit dem Abstandsbegriff, Winkel stellen sich als etwas komplizierter heraus. Grundlegend ist der Begriff des Skalarprodukts zweier Vektoren im R 2 oder im R 3 beziehungsweise allgemeiner im R d. Sind d N und x, y R d so ist ihr Skalarprodukt als x y := x t y = (x 1... x d ) y 1. y d = x 1 y x d y d gegeben. Dies ist in der linearen Algebra das Urbeispiel einer symmetrischen Bilinearform gewesen. Das Skalarprodukt ist positiv definit, d.h. für jedes x R d \{0} gilt x x = x x 2 d > 0. Basierend auf dem Skalarprodukt wurde dann die Länge, oder Norm, eines Vektors x als x := x x = x x 2 d definiert und der Abstand zweier Punkte a, b R d wird dann als die Länge des durch sie gegebenen Richtungsvektors definiert, also ab := b a = (b 1 a 1 ) (b d a d ) 2. Eine entscheidende Eigenschaft des Skalarprodukts ist die sogenannte Cauchy-Schwartz Ungleichung, d.h. für alle x, y R d gilt x y x y wobei genau dann Gleichheit besteht wenn x und y linear abhängig sind. Cauchys Beweis dieser Ungleichung beruht auf der Formel ( d ) ( d ) ( d ) 2 = x i y i + (x i y j x j y i ) 2. x 2 i j=1 y 2 j Um diese einzusehen müssen wir nur die rechte Seite ausmultiplizieren ( d ) 2 x i y i + (x i y j x j y i ) 2 = x i x j y i y j + (x 2 i yj 2 +x 2 jyi 2 2x i x j y i y j ) = d x 2 i yi i,j d x i x j y i y j + = 1 i,j d (x 2 i y 2 j + x 2 jy 2 i 2x i x j y i y j ) x 2 i y 2 j = ( d x 2 i ) ( d j=1 y 2 j ). 6-6

7 Dies zeigt ( x y ) 2 x 2 y 2 wobei genau dann Gleichheit besteht wenn x i y j = x j y i beziehungsweise x i y i = xiy j x j y i = 0 für alle 1 i, j d gilt und dies bedeutet genau das die d 2-Matrix (x y) Rang höchstens Eins hat, dass also x und y linear abhängig sind. Wegen x y x y folgt weiter x y x y wobei genau dann Gleichheit besteht wenn x = 0 ist oder es ein t R mit t 0 und y = tx gibt. Weiter ist dann x+y 2 = x+y x+y = x 2 + y 2 +2 x y x 2 + y 2 +2 x y = ( x + y ) 2, d.h. wir haben die Dreiecksungleichung x j y j x + y x + y wobei genau dann Gleichheit besteht wenn x y = x y ist, wenn also x = 0 oder y = tx für ein t R 0 gilt. Für drei Punkte a, b, c R d folgt hieraus ac = c a = (c b) + (b a) c b + b a = ab + bc wobei genau dann Gleichheit besteht wenn b = c ist oder es ein t R 0 mit b a = t (c b). Letzteres ist genau dann der Fall wenn b [a, c] ist. Ist nämlich b = c so gilt sofort v [a, c] und gibt es ein t 0 mit b a = t(c b) = tc tb so ist (1+t)b = a+tc also b = t a + t ( 1 + t b = 1 t ) a t t 1 + t b mit 0 t 1 + t < 1. Ist umgekehrt b [a, c] so gibt es ein t [0, 1] mit b = (1 t)a + tc und im Fall t = 1 ist sofort b = c während wir im anderen Fall t 1 haben und dann sind t/(1 t) 0 und b a = t(c a) = t t t (1 t)(c a) = (c ((1 t)a + tc)) = (c b). 1 t 1 t 1 t Sind also insbesondere a, b, c nicht kollinear, so ist ac < ab + bc, dies ist ursprüngliche Bedeutung der Bezeichnung Dreiecksungleichung, dass in einem Dreieck die Länge jeder Seite echt kleiner als die Summe der anderen beiden Seitenlängen ist. Der Längenbegriff ermöglicht es uns auch die Grundoperation des Abtragens einer Strecke einzuführen. Hiermit ist das folgende gemeint. Gegeben seien d N, drei Punkte a, b, c R d und ein Strahl S mit Startpunkt a. Dann gibt es genau einen Punkt x S mit ax = bc, man sagt dann auch das die Strecke [a, x] durch Abtragen der Strecke [b, c] im Punkt a in Richtung S entsteht. Dies ist leicht zu sehen, wir wissen 6-7

8 bereits das der Strahl S sich in der Form S = a + R 0 u mit einem Richtungsvektor u R d \{0} schreiben läßt. Für jedes t R mit t 0 haben wir dabei für x := a + tu ax = x a = tu = t u, also ist genau dann ax = bc wenn t = ab / u gilt. Weiter können wir das Skalarprodukt zur Definition des Senkrechtstehens verwenden. Sind x, y R d zwei Vektoren, so nennen wir x und y senkrecht aufeinander, beziehungsweise orthogonal zueinander, wenn x y = 0 gilt, wir schreiben dann auch x y. Haben wir zwei Teilmengen A, B R d so schreiben wir A B, wenn x y für alle x A, y B gilt. Außerdem verwenden wir für a R d, B R d die Abkürzung a B beziehungsweise B a für {a} B. 6-8