5 Sphärische Trigonometrie

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1 $Id: sphaere.tex,v /07/10 14:46:08 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit sphärischer Trigonometrie zu beschäftigen. Wir haben bereits eine sphärische Flächenformel bewiesen und begonnen die Dreiecksberechnung im sphärischen Fall durchzuführen. Das Haupthilfsmittel hierzu ist wie im ebenen Fall der Cosinussatz und in der sphärischen Situation gibt es zwei Varianten dieses Satzes. Den Seitencosinussatz haben wir bereits bewiesen, dieser stellte sich als eine Umformulierung unseres Lemmas von den drei Ebenen heraus. Linkspol l e M k Rechtspol Unser nächstes Ziel ist der Winkelcosinussatz, dieser entsteht durch Anwendung des Seitencosinussatzes auf das sogenannte Polardreieck von. Seien K wieder unsere Kugel mit Mittelpunkt M, e eine Ebene durch M und k = K e der zugehörige Großkreis. Sei l die auf e senkrechte Gerade durch M. Die Gerade l schneidet die Sphäre K dann in zwei Punkten und diese beiden Punkte heißen die Pole des Großkreises k. Ist auf k ein Umlaufsinn gegeben, so können wir die beiden Pole voneinander unterscheiden, der in Umlaufrichtung links liegende Punkt heißt der Linkspol von k und der rechts liegende Pol heißt entsprechend der Rechtspol von k. Wird die Umlaufrichtung von k umgedreht, so vertauschen sich entsprechend der Links- und der Rechtspol von k. 22-1

2 Laufen wir beispielsweise von Westen nach Osten um den Äquator, so ist der Nordpol der Linkspol und der Südpol der Rechtspol. Nun sei ein ganzes sphärisches Dreieck = ABC auf K gegeben, gemäß der Standardkonvention bezeichnen wir die Seiten mit a, b, c und die Winkel mit α, β, γ. Durch die Reihenfolge A, B, C ist auf eine Umlaufrichtung gegeben und somit haben wir auch auf jedem der drei Großkreise a, b, c eine Umlaufrichtung. Den Linkspol von a nennen wir A, den von b nennen wir B und den von c schließlich C. Das so entstehende sphärische Dreieck = ABC heißt das Polardreieck von, und seine Seiten und Winkel bezeichnen wir analog zur Standardkonvention mit a, b, c und α, β, γ. Wir wollen diese Seiten und Winkel jetzt in Termen von bestimmen. C a b M A α c B Konkret wollen wir die Seite a von mit den Ecken B und C bestimmen, die Situation ist im Bild oben rechts gezeigt. Rotieren wir die Seite b von um die Achse MA weg von der Seite c bis wir auf die Ebene durch M treffen die c enthält, so dreht sich dabei der Linkspol B in den Linkspol C da der Umlaufsinn des rotierten b mit dem von c übereinstimmt. Der bei der Rotation zurückgelegte Winkel ist π α, also ist auch der Winkel zwischen MB und MC gleich π α, im Polardreieck haben wir also a = π α. Dieser Überlegung können wir eine weitere Folgerung entnehmen, da B durch Rotation um MA in C bewegt wird, ist MA senkrecht auf dem Großkreis a, d.h. A ist einer der beiden Pole von a und da A links zur Umlaufrichtung von B nach C liegt ist A der Linkspol von a, im zu polaren Dreieck gilt also A = A. Entsprechend folgt dies auch für die anderen Ecken von und wir erhalten das folgende Lemma. Lemma 5.4 (Das Polardreieck eines sphärischen Dreiecks) Sei = ABC ein sphärisches Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß der Standardkonvention. Bezeichne = ABC das Polardreieck von. Dann ist = 22-2

3 das Polardreieck von und bezeichnen wir die Seiten und Winkel von gemäß der Standardkonvention, so sind a = π α, b = π β, c = π γ und α = π a, β = π b, γ = π c. Beweis: Die Aussagen = und a = π α, b = π β und c = π γ haben wir bereits eingesehen. Wenden wir diese Gleichungen dann auf das Polardreieck an, so folgen auch a = a = π α also α = π a und analog sind auch β = π b und γ = π c. Der bereits behandelte Seitencosinussatz erlaubt es aus zwei bekannten Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite eines sphärischen Dreiecks zu berechnen. Wie schon erwähnt gibt es eine zweite Form des sphärischen Cosinussatzes die aus zwei Winkeln und der zwischen ihnen liegenden Seite den dritten Winkel bestimmt. Um diesen Satz auf den Seitencosinussatz zurückzuführen, wollen wir die in der sphärischen Trigonometrie vorhandene Dualität zwischen Seiten und Winkeln verwenden, diese wird nach dem eben bewiesenen Lemma durch das Polardreieck eines sphärischen Dreiecks vermittelt. Durch Anwendung des Seitencosinussatzes auf das Polardreieck ergibt sich unmittelbar der Winkelcosinussatz. Satz 5.5 (Der Winkelcosinussatz) Sei = ABC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c im Winkelabstand und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Dann gelten: cos α = sin β sin γ cos a cos β cos γ, cos β = sin α sin γ cos b cos α cos γ, cos γ = sin α sin β cos c cos α cos β. Beweis: Bezeichne a, b, c die Seiten und α, β, γ die Winkel im Polardreieck gemäß der Standardkonvention. Der Seitencosinussatz Satz 3 in liefert dann und mit Lemma 4 ist damit cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α, cos α = cos(π α) = cos(π β) cos(π γ) + sin(π β) sin(π γ) cos(π a) = cos β cos γ sin β sin γ cos a, und die erste Gleichung ist gezeigt. Die anderen beiden Gleichungen ergeben sich analog. 22-3

4 Schließlich wollen wir zum sphärischen Sinussatz kommen, und für diesen benötigen wir eine neue Konstruktion. Wir betrachten wieder eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius R > 0. Weiter sei = ABC ein sphärisches Dreieck auf K, dessen Seiten und Winkel wir wieder als a, b, c beziehungsweise α, β, γ gemäß der Standardkonvention bezeichnen. C R B M b Z α P A Wir fällen den Lot von C auf die Ebene MAB und bezeichnen den Lotfußpunkt mit Z. Weiter fällen wir in der Ebene MAB das Lot von Z auf MA und nenen den Lotfußpunkt P. Das Dreieck P ZC hat dann bei Z einen rechten Winkel und da die Ebene P ZC senkrecht auf der Ebene MAB und auf der Ebene MAC ist, ist der Winkel von P ZC bei P gleich dem Winkel zwischen den Ebenen MAB und MAC. Andererseits sind der Großkreis MAB K die Seite c von und der Großkreis MAC K die Seite b von, also ist der Winkel zwischen MAB und MAC genau der Winkel zwischen den Seiten b und c von, d.h. er ist α. Lesen wir also den Sinus von α im rechtwinkligen Dreieck P ZC bei P ab, so ergibt sich sin α = CZ CP. Weiter ist das Dreieck MP C bei P rechtwinklig und sein Winkel bei M ist der Winkel zwischen MA und MC, also der Winkelabstand b, lesen wir also den Sinus von b in MP C ab, so ist sin b = CP R. Dies liefert CZ = CP sin α = R sin b sin α. 22-4

5 Führen wir diese Überlegung mit vertauschten Rollen von A und B durch, so ergibt sich andererseits auch CZ = R sin β, und wir haben sin b sin α = sin β, beziehungsweise sin α = sin b sin β eingesehen. Wir wollen dieses Ergebnis als einen Satz festhalten. Satz 5.6 (Der sphärische Sinussatz) Sei = ABC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c im Winkelabstand und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Dann gilt sin α = sin b sin β = sin c sin γ. Beweis: Unsere obige Überlegung zeigt sin β = sin b sin α, und dies ergibt sin α = sin b sin β. Wenden wir dieses Ergebnis dann im Dreieck BCA an, so ergibt sich auch und der sphärische Sinussatz ist bewiesen. sin b sin β = sin c sin γ Wir wollen unsere obige Figur noch zu einer zweiten Rechnung verwenden. Mit den obigen Bezeichnungen bilden wir den Simplex T := co({m, A, B, C}) und wollen das Volumen von T in Termen des sphärischen Dreiecks bestimmen. Hierzu betrachten wir in der Ebene durch M, A, B das euklidische Dreieck Λ := MAB. In diesem Dreieck ist der Winkel bei M gerade der Winkel zwischen MA und MB, also die Seite c des sphärischen Dreiecks. Die Höhe h in Λ auf der Seite MA ist nach 2.Satz 6 gleich h = MB sin c = R sin c, die Fläche F von Λ ist also F = 1 2 MA h = 1 2 R2 sin c. Der Simplex T ist nun ein Kegel über dem Dreieck Λ mit der Höhe CZ, und somit folgt vol(t ) = 1 3 F CZ = 1 6 R3 sin b sin c sin α. 22-5

6 Damit ergibt sich nun der sogenannte Eckensinus des sphärischen Dreiecks. Lemma 5.7 (Der Eckensinus eines sphärischen Dreiecks) Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und = ABC ein sphärisches Dreieck auf K mit den Seiten a, b, c im Winkelabstand und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Der Eckensinus von ist die Größe S := sin b sin γ = sin c sin β = sin b sin c sin α, und dann ist das Volumen des Simplex T := co({m, A, B, C}) gegeben als vol(t ) = 1 6 R3 S. Beweis: Wir haben bereits vol(t ) = 1 6 R3 sin b sin c sin α eingesehen, und nach dem sphärischen Sinussatz Satz 6 ist sin α = sin b, also auch sin c sin β = sin b sin c sin α. sin β Analog folgt auch sin b sin c sin α = sin b sin γ. Damit können wir zur sphärischen Dreiecksberechnung kommen, d.h. von den sechs Größen C a, b, c, α, β, γ sind drei vorgegeben und die anderen b γ sollen berechnet werden. Im Unterschied zum ebenen Fall legen zwei der Winkel den dritten Win- a kel nicht fest, es gibt jetzt also sechs verschiedene Aufgabentypen SSS, SWS, SSW, WSW, WWS α A β B und WWW. Da wir den ebenen Fall in 2.4 recht ausführlich behandelt haben und das Vorgehen im c sphärischen Fall weitgehend analog ist, wollen wir uns hier kürzer fassen. Wir gehen hier nur das prinzipielle Vorgehen durch, wenn man sich die Lage genauer anschaut, so gibt es auch wieder notwendige Ungleichungen zu beachten damit überhaupt eine Lösung existiert und in einigen Fällen ist die Lösung nicht eindeutig. Durch eventuellen Übergang zum Polardreieck kann man die Zahl der Aufgabentypen auf 3 verringern, da beispielsweise SSW gleichwertig zu WWS im Polardreieck ist. Gehen wir die Fälle durch. 22-6

7 1. Bei SSS sind a, b, c bekannt und die Winkel berechnen sich mit dem Seitencosinussatz Satz 3 zu cos a cos b cos c cos α = sin b sin c und so weiter. Sind beispielsweise a = 50, b = 82, c = 102 gegeben, so liefert die obige Formel und ihre Varianten für β und γ cos α 0, , also α 46, , cos β 0, , also β 68, , cos γ 0, , also γ 113, Bei SWS sind beispielsweise a, b, γ gegeben und erneut mit dem Seitencosinussatz cos c = cos a cos b + sin b cos γ kann die dritte Seite c berechnet werden. Die anderen Winkel kann man dann wie im SSS Fall oder auch mit dem sphärischen Sinussatz berechnen. Nehmen wir beispielsweise a, b, γ aus dem obigen Beispiel, so wird cos c 0, , und somit c 101, Genau wie in der ebenen Situation ist der Fall SSW komplizierter. Seien etwa a, b, α gegeben und wir wollen die Seite c bestimmen. Wenn wir diese haben, so können wir erneut wie im SSS Fall weitermachen oder den sphärischen Sinussatz verwenden. Wir führen zunächst den Hilfswinkel δ durch die Beziehung tan δ = tan b cos α ein. Der sphärische Cosinussatz cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α impliziert cos a cos δ cos b = cos c cos δ+tan b cos α sin c cos δ = cos c cos δ+sin c sin δ = cos(c δ), woraus sich c berechnen läßt. Nehmen wir etwa die Werte von a, b, α des obigen Beispiels, so wird tan δ = tan b cos α 4, und δ 78, , und weiter cos(c δ) = also ist schließlich cos a cos δ cos b 0, , d.h. c δ 23, , c 101, Die restlichen drei Fälle behandeln wir nicht mehr, da sich diese durch Übergang zum Polardreieck auf die obigen Situationen zurückführen lassen. 22-7