Gleitspiegelung und Verkettungen von Spiegelung und Parallelverschiebung

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1 Gleitspiegelung und Verkettungen von Spiegelung und Parallelverschiebung Def. Eine Gleitspiegelung ist eine Spiegelung an einer Geraden (Spiegelachse) verknüpft mit einer Translation parallel zu dieser Geraden: GS : R 2 R 2, GS A,v,λ = T λv S LA,v. Wir erlauben λ = 0, also ist eine Spiegelung auch eine Gleitspiegelung. Eine Gleitspiegelung ist eine Isometrie als Verkettung von zwei Isometrien. Bild von WiKipedia Die linear-algebraische Formel für eine Gleitspiegelung kann man aus der Formel für die Spiegelung ableiten: S L (x) = 2A+2 1 v 2 x A,v v x. Es gilt dann: GS A,v,λ (x) = T λv (S L (x)) = 2A+λv +2 1 v 2 x A,v v x.

2 Def. Eine Gleitspiegelung ist eine Spiegelung an einer Geraden (Spiegelachse) verknüpft mit einer Translation parallel zu dieser Geraden: GS : R 2 R 2, GS A,v,λ = T λv S LA,v. Wir erlauben λ = 0, also ist eine Spiegelung auch eine Gleitspiegelung. Eine Gleitspiegelung ist eine Isometrie als Verkettung von zwei Isometrien. Es gilt: GS A,v,λ (x) = T v(s L (x)) = 2A+λv+2 1 v 2 x A,v v x. Bild von WiKipedia Es ist anschaulich (und einfach zu beweisen), dass die Gleitspiegelung GS A,v,λ (x) mit λ 0 keine Fixpunkte hat. In der Tat, die Punkte einer Halbebene (ohne die Gerade) werden auf die andere Seite abgebildet und können deswegen keine Fixpunkte sein. Die Punkte der Geraden sind die Fixpunkte von S L (x) und werden deswegen nur T λv verschoben, d.h., für jedes x L ist GS A,v,λ (x) = T λv (S L (x)) = T λv (x) für λ 0 x, also sind sie auch keine Fixpunkte von GS.

3 Bemerkung. Was bedeutet es, dass die Punkte auf einer Seite von L bzw. auf verschiedenen Seiten von L liegen? Die Punkte A,B L liegen auf einer Seite der Geraden L, falls die Strecke AB die Gerade L nicht schneidet. Die Bedingung auf einer Seite von L liegen ist eine Äquivalenzrelation: Symmetrie und Reflexivität (aus der Def. von Äquivalenzrelation) sind offensichtlich. Transitivität bedeutet in diesem Fall die folgende Aussage: wenn A und B auf einer Seite liegen und B und C auf einer Seite liegen, dann liegen A und C auch auf einer Seite. Wir erklären das auf der nächsten Seite.

4 Die Bedingung auf einer Seite von L liegen ist transitiv Man kann Transitivität mit Hilfe der Gleichungs-Darstellung der Geraden bekommen: Aus LA sollte es Ihnen bekannt sein, dass man in Dim. 2 jede Gerade als Lösungsmenge der Gleichung ax +by c = 0 darstellen kann (wobei (a,b) (0,0)): L = { ( ) x y ax +by c = 0}. Dann gilt: die Punkte A = ( x 1 y 1 ) und B = ( x2 y 2 ) liegen auf einer Seite von L, wenn die Zahlen ax 1 +by 1 c und ax 2 +by 2 c gleiches Vorzeichen haben.

5 ( x L = { ax + by c = 0}. y) ( ) ( ) x1 x2 Dann gilt: die Punkte A = und B = liegen auf einer Seite von L, wenn die Zahlen y 1 y 2 ax 1 + by 1 c und ax 2 + by 2 c gleiches Vorzeichen haben. In der Tat, wir parametrisieren die Strecke AB wie in der Definition der Strecke: AB = {t ( x 1 y 1 ) +(1 t) ( x2 y 2 ) 0 t 1}. Wenn wir die Koordinaten des Punkts t ( ) ( ) x 1 y 1 +(1 t) x2 y 2 in die Formel ax +by c einsetzen, bekommen wir den folgenden Ausdruck in t: a((1 t)x 2 + tx 1 ) + b((1 t)y 2 + ty 1 ) c = (1 t)(ax 2 + by 2 c) + t(ax 1 + by 1 c) ( ) Wir sehen, dass wenn (ax 2 +by 2 c) und (ax 1 +by 1 c) gleiches Vorzeichen haben, für alle t [0,1] der Ausdruck ( ) positiv ist und deswegen ist für keinen Punkt der Strecke die Gleichung ax +by c = 0 erfüllt. Deswegen liegt kein Punkt auf der Geraden. Haben die Punkte der Strecke verschiedene Vorzeichen, so gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein t [0,1], sodass der entsprechende Punkt die Gleichung ax +by c = 0 erfüllt und somit auf der Geraden liegt.

6 Verkettung von Gleitspiegelung und Translation. Lemma 16. Verkettung von Gleitspiegelung und Translation oder von Translation und Gleitspiegelung ist eine Gleitspiegelung. GS A,v,λ (x) = T v(s L (x)) = 2A + λv v 2 x A,v v x. Beweis. Mit Gewalt ausrechnen: wir verketten GS A,v,λ und T u. Wir zerlegen auch u in die Summe u = v +v, wobei v proportional zu v ist und v orthogonal zu v ist immer möglich in Dim. 2. GS A,v,λ T u(x) = 2A + λv v 2 (x + v + v ) A,v v (x + v + v ) = }{{}}{{} Tu(x) Tu(x) 2(A 1 2 v ) +λv + v + 2 v,v }{{} v 2 v +2 1 v 2 x (A 1 2 v ),v v x = GS A,v,λ. }{{} A }{{} λ A v Beweis für GS A,v,λ T u (x) ist analog und ist einfacher.

7 Verkettung von Gleitspiegelung und Rotation ist eine Gleitspiegelung Lemma 17. Verkettung von Gleitspiegelung bzgl. einer Geraden und einer Drehung ist eine Spiegelung. Verkettung von Drehung und Spiegelung bzgl. einer Geraden ist eine Gleitspiegelung. Beweis. Ausrechnen wie in Lemma 16.

8 Klassifikationssatz für Isometrien Ein Punkt x heißt Fixpunkt einer Isometrie f, wenn f(x) = x. Satz 2. Es gilt: 1. Hat eine Isometrie f des R 2 drei Fixpunkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, so ist f = Id. 2. Hat eine Isometrie genau einen Fixpunkt, so ist f eine Drehung bzgl. diesem Fixpunkt. 3. Hat eine Isometrie mind. zwei Fixpunkte A B und ist sie nicht die Identitätsabbildung, so ist sie eine Spiegelung bzgl. der Geraden L(A,B). 4. Hat eine Isometrie keine Fixpunkte, so ist sie eine Gleitspiegelung GS A,v,λ mit λ 0 oder eine Translation T v mit v 0. Aus Satz 2 folgt, dass jede Isometrie des R 2 eine Drehung, Spiegelung, Gleitspiegelung oder Translation ist.

9 Beweis von Satz 2(1) Hat eine Isometrie f des R 2 drei Fixpunkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, so ist f = Id. Das folgt aus Satz 1 und LA. Angenommen, f ist eine Isometrie des R 2, s.d. A A, B B, und C C, wobei die Punkte A,B,C nicht auf einer Geraden liegen. Aus Satz 1 wissen wir, dass jede Isometrie eine affine Abbildung ist. Aus LA wissen wir, dass in R 2 die Bilder von drei Punkten, welche nicht auf einer Geraden liegen, die affine Abbildung eindeutig bestimmen. Also gibt es höchsten eine Isometrie f mit A A, B B, und C C. Da die Isometrie Id dasselbe leistet, ist Id = f.

10 Beweis 2(3) Hat eine Isometrie f mind. zwei Fixpunkte A B und ist sie nicht die Identitätsabbildung, so ist sie eine Spiegelung bzgl. der Geraden L(A,B). Angenommen f(a) = A und f(b) = B. Wir betrachten einen Punkt C L(A,B) und setzen C := f(c). Wenn C = C ist, ist f die Identitätsabbildung wie wir es schon im Beweis 2(1) erklärt haben. Wenn C C, betrachten wir die Spiegelung bzgl. L(A,B). Die Verkettung S L(A,B) f ist eine Isometrie mit A A und B B; sie bildet C C, weil die Kreise {X R 2 d(x,a) = d(a,c)} und {X R 2 d(x,b) = d(b,c)} höchstens 2 Schnittpunkte haben; da die Punkte C C auf beiden Kreisen liegen und S L(A,B) Id ist, gilt S L(A,b) (C ) = C. Dann ist S L(A,B) f(c) = C und deswegen S L(A,B) f = Id; schließlich S L(A,B) = f.

11 Beweis 2(2) Hat eine Isometrie f genau einen Fixpunkt, so ist sie eine Drehung bzgl. diesem Fixpunkt. Sei A der Fixpunkt. Wir betrachten einen Punkt B mit d(a,b) = 1. Sei B := f(b). Da die Punkte B und B auf dem Kreis K 1 (A) = {X R 2 d(x,a) = 1} liegen, existiert eine Drehung D A (α), die B B, nämlich für α = B AB oder für α = 360 B AB. Dann hat D A (α) f mind. 2 Fixpunkte: A und B. Dann ist nach bereits bewiesenem Satz 2(3) D A (α) f = Id oder D A (α) f = S (wobei S eine Spiegelung bzgl. einer Geraden ist). Im ersten Fall ist f = D A ( α). Im zweiten Fall wäre f = D A ( α) S. Da aber D A ( α) S nach Lemma 17 eine Gleitspiegelung ist, kann sie nicht genau einen Fixpunkt haben.

12 Beweis 2(4) Hat eine Isometrie keine Fixpunkte, so ist sie eine Gleitspiegelung GS A,v,λ mit λ 0 oder eine Translation T v mit v 0. Sei A := f(a). Wir betrachten T (A A ) f. A ist ein Fixpunkt von T (A A ) f. Wenn A der einzige Fixpunkt von T (A A ) f ist, ist T (A A ) f = D A (α) für ein α {k 360 k Z}. Dann ist f = T (A A) D A (α). Die Verkettung von einer Translation und einer nicht-identischen Drehung ist aber eine Drehung. Letztere Aussage wird auf der nächsten Seite erklärt. Da die Drehung immer Fixpunkte hat, erfüllt die Abbildung f nicht die Voraussetzung f hat keine Fixpunkte und somit kann A nicht der einzige Fixpunkt von T (A A ) f sein. Dann ist T (A A ) f eine Spiegelung oder eine Identitätsabbildung. Im ersten Fall ist f eine Gleitspiegelung nach Lemma 16, und im zweiten Fall ist f eine Translation.

13 Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung oder eine Paralleltranslation. Folgerung. Die Verkettung von zwei Spiegelungen bzgl. Geraden L 1 und L 2 ist eine Drehung um den Schnittpunkt der Geraden, wenn die Geraden nicht parallel sind, oder eine Translation, wenn sie parallel sind. Beweis. Wenn die Geraden nicht parallel sind, ist ihr Schnittpunkt der einzige Fixpunkt von S 1 S 2. Dann ist die Abbildung eine Drehung. Wenn die Geraden parallel sind, kann man direkt ausrechnen, dass die Verkettung eine Translation um einen Vektor ist, der zu den Geraden orthogonal ist und dessen Länge gleich dem doppelten Abstand zwischen den Geraden ist. Bemerkung. Um zu argumentieren, dass, wenn die Geraden nicht parallel sind, ihr Schnittpunkt der einzige Fixpunkt von S 1 S 2 ist, kann man benutzen, dass der Mittelpunkt der Strecke zwischen A und S L (A) auf L liegt.

14 Warum ist die Verkettung von nicht-identischer Drehung und Translation eine Drehung? Wir betrachten T v D A (α), wobei α {k 180 k Z}. Wir haben in den Hausaufgaben und auch in Lemma 12 gesehen, dass T v = P 0 P 1 2 v.. Da P A = D A (180 ), ist T v D A (α) = P 0 P 1 D A(α) 2 } v {{} Drehung }{{} Drehung Für α = 180 ist T v D A (α) eine Verkettung von Punktsymmetrie und Translation und ist damit auch eine Punktsymmetrie und deswegen eine Drehung.

15 Ähnlichkeitstransformationen Def. Eine Abbildung f : R 2 R 2 (bzw. R n R n ) heisst eine Ähnlichkeitstransformation, wenn ein k > 0 existiert, so dass X,Y R 2 gilt: k d(x,y) = d(f(x),f(y)). Die Zahl k heisst dann Koeffizient der Streckung. Bemerkung. Ähnlichkeitstransformationen mit k = 1 sind Isometrien. Bsp. Wir betrachten die Homothetie M k : x k x (wobei k 0). Sie ist eine Ähnlichkeitstransformation: d(f(x),f(y)) = f(x) f(y) = k (X Y) = k X Y = k d(x,y), also ist sie eine Ähnlichkeitstransformation mit dem Koeffizienten der Streckung gleich k. Lemma 18. Für jede Ähnlichkeitstransformation f mit Faktor k gilt: f M 1 und M 1 f sind Isometrien. k k Beweis. d(m 1 f(x),m 1 f(y)) = 1 kd(f(x),f(y)) = d(x,y). Für k k f M 1 analog. k Folgerung 1 Jede Ähnlichkeitstransformation ist eine Affinität.

16 Klassifikation von Ähnlichkeitstransformationen. Folgerung 2 Jede Ähnlichkeitstransformation f des (R 2,, ) hat die Form f(x) = k Ox +v, wobei O eine orthogonale 2 2-Matrix ist, v R 2, und k > 0. (Also, f = M k I für eine Isometrie). Ferner gilt: jede Ähnlichkeitstransformation ist eine Bijektion und die Menge aller Ähnlichkeitstransformationen bilden eine Gruppe (bzgl. Verkettung). ) Bemerkung. Jede Abbildung der Form in Folg. 2 ist offensichtlich eine zentrische Streckung als Verkettung M k I.

17 Ähnlichkeitstransformation erhält die Winkel Aussage 1. Sei f eine Ähnlichkeitstransformation mit dem Streckungskoeffizienten k. Dann gilt: f(a) f(b),f(c) f(b) = k 2 A B,C B. Beweis. Wir haben gesehen, dass f = I M k für eine Isometrie I ist. Die Homothetie M k multipliziert Skalarprodukt mit k: M k (A) M k (B),M k (C) M k (B) = k A k B,k C k B = k 2 A B,C B. Da die Isometrie Skalarprodukt erhält (Folgerung 3 aus Satz 1), ist f(a) f(b),f(c) f(b) = k 2 A B,C B. Folgerung 3. Sei f eine Ähnlichkeitstransformation und A, B, C R. Dann gilt: ABC = f(a)f(b)f(c). Beweis. Das Winkelmaß f(a)f(b)f(c) ist gleich ( ) f(b) f(a),f(b) f(c) arccos f(b) f(a) f(b) f(c) ( k 2 ) B A,B C = arccos ( f(b) f(a),f(b) f(c) = arccos f(b) f(a) f(b) f(c) k B A k B C ) = arccos ( B A,B C B A B C ).

18 Dreieckssätze für Ähnlichkeitstransformationen SSS-Satz: Es seien A,B,C und A,B,C Punkte des R 2, s.d. weder A,B,C noch A,B,C auf einer Geraden liegen. Dann gilt: es gibt eine Ähnlichkeitstransformation f, mit A A, B B, C C, genau dann wenn für ein k > 0 k d(a,b) = d(a,b ), k d(b,c) = d(b,c ) und k d(a,c) = d(a,c ). Ferner gilt: wenn diese Ähnlichkeitstransformation existiert, ist sie eindeutig. SWS-Satz. Es seien A,B,C und A,B,C Punkte des R 2, s.d. weder A,B,C noch A,B,C auf einer Geraden liegen. Dann gilt: es gibt eine Ähnlichkeitstransformation f, mit A A, B B, C C, genau dann wenn k d(a,b) = d(a,b ), k d(a,c) = d(a,c ) und BAC = B A C. Ferner gilt: wenn diese Ähnlichkeitstransformation existiert, ist sie eindeutig. WW-Satz (analog zu WSW-Komgruenzsatz). Es seien A,B,C und A,B,C Punkte des R 2, s.d. weder A,B,C noch A,B,C auf einer Geraden liegen. Dann gilt: es gibt eine Ähnlichkeitstransformation f mit A A, B B, C C, genau dann wenn BAC = B A C und ABC = A B C. Ferner gilt: wenn diese Ähnlichkeitstransformation existiert, ist sie eindeutig. WSS-Satz. Wenn für zwei Punktetripel A,B,C und A,B,C gilt: weder A,B,C noch A,B,C liegen auf einer Geraden, k d(a,c) = d(a,c ), k d(a,b) = d(a,b ) für ein k 0 und ABC = A B C und außerdem AC AB und AC BC, dann existiert eine Ähnlichkeitstransformation, mit A A, B B, C C. Ferner gilt: wenn diese Ähnlichkeitstransformation existiert, ist sie eindeutig.

19 Beweis vom SSS-Satz für Ähnlichkeitstransformationen (Beweis der anderen Sätze ist eine Hausaufgabe. ) SSS-Satz: Es seien A,B,C und A,B,C Punkte des R 2, s.d. weder A,B,C noch A,B,C auf einer Geraden liegen. Dann gilt: es gibt eine Ähnlichkeitstransformation f, mit A A, B B, C C, genau dann wenn für ein k > 0 k d(a,b) = d(a,b ), k d(b,c) = d(b,c ) und k d(a,c) = d(a,c ). Ferner gilt: wenn diese Ähnlichkeitstransformation existiert, ist sie eindeutig. Beweis. Die = -Richtung ist offensichtlich: wenn es eine Ähnlichkeitstransformation f mit A A, B B, C C gibt, dann gilt k d(a,b) = d(a,b ), k d(b,c) = d(b,c ), k d(a,c) = d(a,c ) für k gleich dem Streckungskoeffizient von f. Um den Satz in die =-Richtung zu beweisen, nehmen wir eine Ähnlichkeitstransformation S mit Streckungskoeffizient k, z.b. die Abbildung M k : x k x aus dem Beweis von Lemma 18. Die Bilder der Punkte A,B,C bzgl. S werden wir mit A, B, C bezeichnen. Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden und erfüllen die Bedingung d(a,b ) = k d(a,b) = d(a,b ), d(b,c ) = k d(a,b) = d(b,c ),d(b,c ) = k d(b,c) = d(b,c ), d(b,c ) = k d(b,c) = d(b,c ). Dann gibt es eine Isometrie I, die A A, B B, C C abbildet. Die Verkettung I S bildet A A, B B, C C wie gewünscht, und ist eine Ähnlichkeitstransformation nach Folgerung 2.

20 Beweis vom SSS-Satz für Ähnlichkeitstransformationen SSS-Satz: Es seien A,B,C und A,B,C Punkte des R 2, s.d. weder A,B,C noch A,B,C auf einer Geraden liegen. Dann gilt: es gibt eine Ähnlichkeitstransformation f, mit A A, B B, C C, genau dann wenn für ein k > 0 k d(a,b) = d(a,b ), k d(b,c) = d(b,c ) und k d(a,c) = d(a,c ). Ferner gilt: wenn diese Ähnlichkeitstransformation existiert, ist sie eindeutig. Beweis der Eindeutigkeit. Wir benutzen, dass die Ähnlichkeittransformationen eine Gruppe bilden (Folg. 2 aus Lemma 18): Seien f und f zwei Ähnlichkeitstransformationen s.d. sie beide A A, B B, C C abbilden. Wir betrachten f 1 f. Diese Abbildung ist eine Ähnlichkeitstransformation, weil die Menge von Ähnlichkeitstransformationen eine Gruppe bzgl. Verkettung ist und deswegen die Verkettung von zwei Elementen der Gruppe, also von zwei Ähnlichkeitstransformationen, wieder ein Element der Gruppe, also wieder eine Ähnlichkeitstransformation ist. Wir haben offensichtlich f 1 f(a) = A, f 1 f(b) = B und f 1 f(c) = C. Dann ist der Streckungkoefficient von f 1 f gleich 1, also ist f 1 f eine Isometrie. Es gibt aber (nach SSS-Satz für Isometrien) nur eine Isometrie, die A A, B B, C C abbildet; und diese Isometrie ist die Identitätsabbildung. Also, f 1 f = Id und deswegen f = f.

21 Bilder von WiKipedia Zentrische Streckung. Gegeben seien ein Punkt Z R 2 der Zeichenebene und eine reelle Zahl m 0. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor m ist diejenige Abbildung R 2 R 2 so dass der Bildpunkt P eines Punktes P folgende Eigenschaften besitzt: Z, P und P liegen auf einer Geraden. Für m > 0 liegen P und P auf derselben Seite von Z, für m < 0 auf verschiedenen Seiten. Die Streckenlänge ZP ist gleich dem m -fachen der Streckenlänge ZP. Die beiden Skizzen zeigen die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit m = 3 und m = 0,5) auf jeweils ein Dreieck ABC

22 Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitstransformation Um dies zu zeigen finden wir die Formel für die zentrische Streckung. x Z +k(x Z) = kx +(1 k)z. Wir sehen, dass diese Formel mit der Formel aus Folgerung 2 übereinstimmt; daher ist diese Abbildung eine Ähnlichkeitstransformation

23 Strahlensatz Strahlensatz. Es verhalten sich die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen, wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen. D.h., falls die Geraden L,L parallel sind, und die Geraden M A, M B einen Schnittpunkt Z haben, dann gilt für die Schnittpunkte A := M A L,B := M B L,A := M A L,B := M B L so dass Z {A,B,A,B }: AB A B = ZA ZA Strahlensatz ZB ZB. = Einen Beweis haben wir (eventuell) auch im Abschnitt affine Geometrie von LA 2 gesehen. Ich gebe noch einen Beweis.

24 Strahlensatz: AB A B = ZA Strahlensatz ZA = ZB ZB. Wir benutzen, dass A B Z = ABZ und dass BZA = B ZA. Der Sinussatz für die Dreiecke ABZ und A B Z sagt uns, dass sin(a B Z) A Z = sin(a ZB ) A B und sin(abz) AZ = sin(azb). AB Da die gleichfarbigen Zähler in den Formeln oben gleich sind, bekommen wir den Strahlensatz AB A B = ZA ZA = ZB ZB.