1 Dreiecke. 1.3 Teilungsverhältnisse. Mathematische Probleme, SS 2019 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/16 09:08:06 hk Exp $

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1 $Id: dreieck.tex,v /04/16 09:08:06 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.3 Teilungsverhältnisse Wir kommen nun zum Begriff des Teilungsverhältnis und allgemeiner des Verhältnis zweier Strecken AB und CD. Eine einfache Möglichkeit dieses Verhältnis zu definieren ist es dieses als Quotient der Längen AB / CD aufzufassen, das Verhältnis ist dann eine positive reelle Zahl. Dies ist auch der im wesentlichen von uns verwendete Standpunkt. Zur begrifflichen Einordnung wollen wir diesen Verhältnisbegriff mit dem Standpunkt der klassischen euklidischen Geometrie vergleichen. Euklid spricht nicht von der Länge einer Strecke, in der antiken Geometrie wird Strecken überhaupt keine Zahl zugeordnet. Alles was man hat ist der Begriff der Gleichheit, oder besser Kongruenz, von Strecken, es gibt also einen Begriff des gleich lang sein aber keinen Begriff von Länge. Mit dem Kongruenzbegriff kann man dann definiert wann eine Strecke CD kleiner als eine Strecke AB ist, dies heißt einfach das man CD in AB abtragen kann, dass es also eine zu CD kongruente Strecke AE für einen Punkt E zwischen A und B gibt. Auch das Verhältnis zweier Strecken läßt sich allein auf Basis des Kongruenzbegriffs einführen, man benötigt dafür überhaupt keine Längen. Wir wollen uns dies an einem Beispiel anschauen, was bedeutet es das die beiden Strecken AB und CD im Verhältnis 2 : 3 stehen? Dies soll heißen, dass es eine dritte Strecke EF gibt die sich zweimal in AB und dreimal in CD abtragen läßt, es soll also Punkte A zweischen A und B sowie C zwischen C und D und C zwischen C und D geben so, dass alle Strecken AA, A B, CC, C C, C D zu EF kongruent sind. Diese Strecke EF ist dann ein gemeinsames Maß der beiden gegebeen Strecken AB und CD, das Verhältnis 2 : 3 bedeutet das AB von EF zweifach und CD von EF dreifach gemessen wird. Dieser Definitionsversuch hat allerdings eine entscheidende Schwachstelle der zur Urkatastrophe der griechischen Mathematik führte, hat man zwei beliebige Strecken AB und CD so müssen diese überhaupt kein gemeinsames Maß besitzen, sie können auch inkommensurabel, also nicht gemeinsam meßbar, sein. Entdeckt wurde dies wohl von den Pythagoräern am Verhältnis von Kanten zu Diagonalen im Ikosaeder beziehungsweise gleichwertig im regulären Fünfeck. Einfacher und auch schon in der Antike als Beispiel verwendet sind die Seiten zur Diagonale eines Quadrats inkommensurabel. Dass AB und CD inkommensurabel sind bedeutet in Termen des Längenbegriffs gerade das AB / CD irrational ist. In der Antike wurde dieses Problem durch die Proportionenlehre des Eudoxus gelöst, von diesem ist zwar nichts direkt überliefert die Theorie findet sich aber als eines der Bücher in den Elementen des Euklid. Definiert man Verhältnisse als Quotienten von Längen so tritt das ganze Problem 3-1

2 nur noch versteckt auf, es ist ganz in die Konstruktion der reellen Zahlen verschoben. Im wesentlichen werden wir daher diese längenbasierte Definition benutzen. Hauptsächlich interessieren uns Teilungsverhältnisse, d.h. wir haben eine Strecke AC und einen Punkt B zwischen A und C und betrachten das Verhältnis AB / BC der durch B gebildeten Teilstrecken. Etwas allgemeiner wollen wir auch zulassen das B nicht unbedingt zwischen A und C liegt sondern irgendwo auf der Verbindungsgeraden von A und C ist. Kommen wir nun zur Vorbereitung der Definition. Da wir diese im Rahmen der Vektorrechnung beschreiben verwenden wir wieder Kleinbuchstaben für die Punkte. Seien a, b, c R 2 kollinear mit a c. Dann ist b a c = a + R(c a) und es gibt ein eindeutiges t R mit b = a + t(c a). In dieser Darstellung sind a und c nicht mehr symmetrisch zueinander, um eine symmetrisierte Form dieser Formel zu erhalten setzen wir λ := 1 t, µ := t und haben λ + µ = 1 sowie b = (1 t)a + tc = λa + µc. Sind umgekehrt λ, µ R mit λ + µ = 1 und b = λa + µc so ist auch λ = 1 µ und b = (1 µ)a + µc = a + µ(c a) also µ = t und λ = 1 t. Damit haben wir a c = {λa + µc λ, µ R, λ + µ = 1} und in dieser Darstellung ist jedem Punkt auf a c ein eindeutiges Paar λ, µ reeller Zahlen zugeordnet. Dann entspricht λ = 1, µ = 0 dem Punkt λa + µc = a und λ = 0, µ = 1 dem Punkt λa + µc = c, ist also b = λa + µc a, c so haben λ, µ 0. Definition 1.3 (Affine Teilungsverhältnisse) Seien a, b, c R 2 kollinear und paarweise verschieden. Dann liegt b auf der Verbindungseraden a c von a und c und wir können b = λa + µc mit eindeutigen λ, µ R mit λ + µ = 1 schreiben. Definiere das affine Teilungsverhältnis als (abc) := µ λ R\{0}. Beachte das (abc) auch negativ sein kann, das Vorzeichen wird die Lage von b zu a, c beschreiben. Das folgende Lemma stellt nun den Zusammenhang des affinen Teilungsverhältnis mit den oben besprochenen Längenverhältnissen her. Lemma 1.8 (Affine Teilungsverhältnisse sind signierte Längenverhältnisse) Seien a, b, c R 2 drei paarweise verschiedene, kollineare Punkte. Dann gilt ab, b liegt zwischen a und c, bc (abc) = ab sonst. bc, Beweis: Seien λ, µ R mit λ + µ = 1 und b = λa + µc = a + µ(c a). Dann haben wir ab = b a = µ(c a) = µ c a = µ ac 3-2

3 sowie bc = c b = c (λa+µc) = (1 µ)c λa = λ(c a) = λ c a = λ ac und es folgt ab bc µ ac = λ bc = µ = (abc). λ Wir müssen uns also nur nich das Vorzeichen von (abc) anschauen. Ist µ > 1 so liegt c zwischen a und c also ist b nicht zwischen a und c und wir haben µ > 0 und λ = 1 µ < 0. Ist 0 < µ < 1 so ist b zwischen a und c und es sind µ > 0 und λ = 1 µ > 0. Im verbleibenden Fall µ < 0 ist a zwischen b und c also ist b nicht zwischen a und c und wir haben µ < 0, λ = 1 µ > 1 > 0. Damit ist genau dann (abc) > 0 wenn b zwischen a und c liegt und alles ist bewiesen. Nachdem wir nun einiges an Kalkül bereitgestellt haben wollen wir zu einer ersten Anwendung all dieser Dinge kommen und zwei der klassischen Sätze der Dreiecksgeometrie beweisen. c c r q r g q l h a Satz von Menelaos b p a p Satz von Ceva b Seien hierzu a, b, c R 2 drei nicht kollineare Punkte, die uns als Eckpunkte unseres Dreiecks dienen. Auf jeder der drei als Geraden interpretierten Seiten unseres Dreiecks sei ein weiterer von den Ecken des Dreiecks verschiedener Punkt gegeben, also p a b\{a, b}, q b c\{b, c} und r c a\{c, a}. Wir betrachten das Produkt der drei entstehenden Teilungsverhältnisse, also := (apb) (bqc) (cra) = ± ap pb bq qc cr ra und unsere beiden Sätze werden von diesem Produkt handeln. Der erste dieser Sätze ist der sogenannte Satz von Menelaos, dieser besagt das die drei Punkte p, q, r genau dann kollinear sind wenn = 1 gilt. Dieser Satz ist sehr alt, er findet sich in der Sphärik des Menelaos aus dem ersten Jahrhundert. Der zweite Satz ist der Satz von Ceva, bei diesem bilden wir die drei sogenannten Ecktransversalen, also die Verbindungsgeranden von p mit c, von q mit a und schließlich von r mit b, und stellt fest das diese drei 3-3

4 genau dann kopunktal oder paarweise parallel sind wenn = 1 ist. Dieser Satz ist wesentlich jünger als der Satz des Menelaos, Ceva lebte von 1648 bis Der Beweis wird rechnerisch wesentlich übersichtlicher wenn eine der drei Ecken des betrachteten Dreiecks der Nullpunkt ist, daher überlegen wir uns zunächst einmal wie sich all unsere eingeführten Größen unter Translationen verhalten. Lemma 1.9 (Wirkung von Translationen auf die affinen Größen) Sei t R 2 gegeben. (a) Für alle a, b, c R 3 gilt [a, b]c + [b, c]a + [c, a]b = 0. (b) Schreiben wir für a, b, c, u, v, w R 2 C(a, b, c; u, v, w) := [c, w] [u, v] + [a, u] [v, w] + [b, v] [w, u] so gilt C(a + t, b + t, c + t; u, v, w) = C(a, b, c; u, v, w). (c) Sind a, b, c R 2 paarweise verschieden und kollinear, so sind auch a + t, b + t, c + t paarweise verschieden und kollinear mit ((a + t) (b + t) (c + t)) = (abc). Beweis: (a) Für i = 1, 2 haben wir [a, b]c i + [b, c]a i + [c, a]b i = a i b i c i a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = 0. (b) Mit (a) und der Linearität der Klammerfunktion rechnen wir C(a + t, b + t, c + t; u, v, w) = C(a, b, c; u, v, w) + [ t, [u, v]w + [v, w]u + [w, u]v ] = C(a, b, c; u, v, w). (c) Es gibt λ, µ R\{0} mit λ + µ = 1 und b = λa + µc und damit ist auch b + t = λa + µc + (λ + µ)t = λ(a + t) + µ(c + t) = a + t + µ((c + t) (a + t)), d.h. a + t, b + t, c + t sind kollinear mit ((a + t) (b + t) (c + t)) = µ λ = (abc). 3-4

5 Damit kommen wir zu den beiden angekündigten Sätzen, da sich das obige Produkt affiner Teilungsverhältnisse aus sechs Termen zusammensetzt fasst man diese beiden Sätze gerne als Regula sex quantitatum zusammen. Satz 1.10 (Die Regel von den sechs Größen) Seien a, b, c R 2 nicht kollinear und weiter seien p a b\{a, b}, q b c\{b, c} sowie r c a\{c, a} gegeben. Setze dann := (apb) (bqc) (cra) und betrachte die drei Geraden l := p c, g := q a und h := r b sowie ihre Richtungsvektoren u := p c, v := q a und w := r b. Dann gelten: (a) Es sind [a, b, c] 2 [p, q, r] = (1 + )[p, b, c] [q, c, a] [r, a, b], [a, b, c] C(c, a, b; u, v, w) = (1 )[p, b, c] [q, c, a] [r, a, b]. (b) Genau dann sind p, q, r kollinear wenn = 1 gilt. (c) Genau dann sind l, g, h kopunktal oder paarweise parallel wenn = 1 gilt. Beweis: (a) Nach Lemma 9.(b,c) können wir durch eventuelle Translation von a, b, c, p, q, r um a ohne Beschränkung der Allgemeinheit a = 0 annehmen. Weiter gibt es λ, µ, ϱ R\{0, 1} mit p = λb, q = (1 µ)b + µc und r = (1 ϱ)c und wir haben (apb) = λ 1 λ, (bqc) = µ 1 µ, (cra) = ϱ 1 ϱ also = λµϱ (1 λ)(1 µ)(1 ϱ). Für die erste Gleichung ergibt sich [p, q, r] = [p, q] + [q, r] + [r, p] = (λµ + (1 µ)(1 ϱ) λ(1 ϱ)) [b, c] = (1 λ µ ϱ + λµ + µϱ + ϱλ) [b, c] = ( (1 λ)(1 µ)(1 ϱ) + λµϱ ) [b, c] Zum Nachweis der zweiten Gleichung rechnen wir = (1 + ) (1 λ)(1 µ)(1 ϱ)[b, c]. C(c, a, b; u, v, w) = C(c, 0, b; p c, q, r b) = [b, r b] [p c, q] + [c, p c] [q, r b] = [b, r] [p c, q] + [c, p] [q, r b] = ((1 ϱ)[p c, q] λ[q, r b]) [b, c] und mit [p c, q] = [λb c, (1 µ)b + µc] = (λµ + 1 µ) [b, c] sowie [q, r b] = [(1 µ)b + µc, (1 ϱ)c b] = ( (1 µ)(1 ϱ) + µ ) [b, c] = (1 ϱ + µϱ) [b, c] 3-5

6 wird dies zu C(a, b, c; u, v, w) = (1 µ ϱ + λµ + µϱ λµϱ λ + ϱλ λµϱ) [b, c] 2 = ( (1 λ)(1 µ)(1 ϱ) λµϱ ) [b, c] 2 = (1 ) (1 λ)(1 µ)(1 ϱ)[b, c] 2. Schließlich haben wir [b, c] = [0, b, c] = [a, b, c] und [p, b, c] = [λb, b, c] = [(1 λ)b, c λb] = (1 λ)[b, c], [q, c, a] = [0, q, c] = [(1 µ)b + µc, c] = (1 µ)[b, c], [r, a, b] = [0, b, r] = [b, (1 ϱ)c] = (1 ϱ)[b, c] und beide Formeln sind bewiesen. (b,c) Die Punktetripel abc, pbc, qca, rab sind nicht kollinear, nach Lemma 4 sind also [a, b, c], [p, b, c], [q, c, a], [r, a, b] 0. Wieder nach Lemma 4 sind p, q, r damit genau dann kollinear wenn 1 + = 0, also = 1, gilt. Weiter ist auch genau dann C(c, a, b; u, v, w) = 0 wenn 1 = 0, also = 1 gilt, und ersteres ist nach Lemma 7 genau dann der Fall wenn l, g, h kopunktal oder paarweise parallel sind. 3-6