Übungen zur Vorlesung Elementare Geometrie

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1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematisches Institut al. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Karin Haluczok Übungen zur Vorlesung Elementare Geometrie Sommersemester 00 Musterlösung zu Blatt 3 vom 6. Aril 00 erstellt von M. Holl, M. Möller, F. Sringer Zu Aufgabe : Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck und seinen Umkreis. Zwei Seiten des Dreiecks werden in den Punkten A und S halbiert, und die Verlängerung von AS schneide den Kreis im Punkt B. Zeigen Sie: S teilt AB im Verhältnis des goldenen Schnitts. Satz (Sehnensatz). Es sei K ein Kreis und A, B, C, D seien Punkte auf dem Kreis derart, dass sich die Sehnen AB und CD in einem Punkt S im Inneren des Kreises schneiden. Dann gilt: AS SB CS SD gegeben: Es sei abc ein gleichseitiges Dreieck und K der zugehörige Umkreis. Außerdem sei A der Mittelunkt der Strecke ac und S der Mittelunkt der Strecke bc, sowie B der Schnittunkt des Strahls AS mit K. Zu zeigen: AB + 5. AS Beweis: Wir definieren einen weiteren Punkt C auf dem Kreis als den Schnittunkt des Kreises mit dem Strahl AS und setzen x : AS und y : SB. Aus Symmetriegründen erkennen wir, dass auch y AC gilt. Mit dem Sehnensatz ergibt sich nun x Sc Sb SB SC y(x + y) : y 0 ( ) x x y y + Nun substituieren wir k : x y und erhalten k + k + 0 k ± + 4

2 da es sich bei k um ein Verhältnis von Strecken handelt, ist nur die ositive Lösung der Gleichung geometrisch sinnvoll. Es gilt also k 5 x y und damit x + y y + 5 AB AS Geschichtlicher Hintergrund: Die erste erhaltene Beschreibung des goldenen Schnitts wird dem Griechen Euklid (um 300 v. Chr.) zugeschrieben. Bereits damals waren ihm diverse Möglichkeiten zur Konstruktion dieses Verhältnisses bekannt. Die hier vorliegende Konstruktion geht jedoch auf den amerikanischen Künstler George Odom zurück, der diese erst 98 entdeckte. Weitere interessante Hinweise und Konstruktionsmöglichkeiten für den goldenen Schnitt findet man bei htt://de.wikiedia.org/wiki/goldener_schnitt. Zu Aufgabe : ( ) (a) Zeigen Sie: Die Vektoren des R cos ϕ der Form e(ϕ) :, ϕ R, sind Vektoren sin ϕ der Länge und jeder Vektor in R der Länge hat diese Form. (b) Zeigen Sie: Für ϕ, ψ R gilt e(ϕ), e(ψ) cos(ϕ ψ). (c) Leiten Sie aus (b) her: Ist θ der Winkel zwischen x x e(ϕ) und y y e(ψ) (x, y R x, y \ {0}), so gilt cos θ x y. (d) Leiten Sie aus der Formel x y x + y x, y und mit (c) den Kosinussatz für das Dreieck her. Zu (a): Es gilt ( ) cos ϕ e(ϕ) cos sin ϕ ϕ + sin ϕ. ( ) x Für die Rückrichtung: Ein Vektor R y hat die Länge genau dann, wenn der Punkt (x, y) den Abstand von (0, 0) hat, d. h. auf dem Einheitskreis um (0, 0) liegt.

3 (x, y) sin ϕ ϕ cos ϕ Durch die Definition von sin und cos lassen sich die Koordinaten schreiben als x cos ϕ cos( ϕ), y sin ϕ ( sin( ϕ) ) cos( ϕ) Der Vektor hat die Form. sin( ϕ) Für die anderen Quadranten lassen sich die Formeln analog ablesen. Zu (b): Es gilt ( ) ( ) cos ϕ cos ψ, cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos ϕ cos( ψ) sin ϕ sin( ψ) sin ϕ sin ψ Zu (c): Add.-Th. cos(ϕ ψ). y e(ψ) Es gilt: θ ψ ϕ x e(ϕ) x e(ϕ), y e(ψ) x y e(ϕ), e(ψ) x y cos(ϕ ψ) x y cos θ cos θ x, y x y. Zu (d): Die Formel x y x + y x, y bleibt erhalten unter Translation, d. h. man kann das Dreieck in den Koordinatenursrung verschieben: α b a c c a b a + b a, b (c) a + b a b cos α. 3

4 Zu Aufgabe 3: (a) Zeigen Sie die Formel tan α cos α + cos α. (b) Leiten Sie mit (a) und dem Kosinussatz den Tangensquadratsatz her: Sind a, b, c die Seitenlängen eines Dreiecks, ist α der Winkel zwischen den Seiten der Länge b und c und ist : (a + b + c), so gilt tan α ( c)( b). ( a) Zu (a): Es ist Weiter gilt sin x ( cos x), da tan α sin α. (*) cos α sin x + cos x cos x + cos x sin x Add.-th. cos x + cos x. Ebenso gilt cos x ( + cos x), da sin x + cos x sin x + sin x cos x Add.-th. sin x cos x. Dies, für x α in (*) eingesetzt, ergibt tan α ( cos α) ( + cos α) cos α + cos α. Zu (b): Es gilt tan α (a) cos α + cos α Cos.-Satz b +c a bc + b +c a bc bc b c + a bc + b + c a (a + b c)(a b + c) (a + b + c)(b + c a) (a + b c) (a b + c) (a + b + c) ( c)( b) (b + c a) ( a). 4

5 Zu Aufgabe 4: Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c und dem Winkel α zwischen den Seiten der Länge b und c. (a) Zeigen Sie: Für den Inkreisradius r des Dreiecks gilt tan α r a, : (a + b + c). Beweisen Sie damit und mit dem Tangensquadratsatz aus Aufgabe 3 die Formel ( a)( b)( c) r. (b) Zeigen Sie mit (a): Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt die Heronsche Formel vol ( a)( b)( c). Zu (a): I sei der Inkreismittelunkt, P a, P b, P c die Lotfußunkte der Lote von I auf a, b bzw. c. In dem Dreieck P c AI gilt also P c AI α tan α IPc AP c r AP c Es reicht also zu zeigen, dass AP c a: Es gilt x : AP b AP c y : BP c BP a z : CP a CP b (Tangentensatz; entsrechende Seiten kongruenter Dreiecke). Es folgt also und damit a + b + c (y + z) + (z + x) + (x + y) (x + y + z) a (a + b + c) a (x + y + z) (y + z) x AP c. Mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3 ergibt sich also: r ( a) tan α ( a) ( c)( b) ( a) 5

6 und somit Zu (b): r ( a)( b)( c) vol( ABC) vol( ABI) + vol( BCI) + vol( CAI) AB P ci + BC P ai + CA P bi (x + y)r + (y + z)r + (z + y)r r((x + y) + (y + z) + (z + x)) r () Dieses nette Zwischenergebnis ergibt zusammen mit der Formel aus (a): vol( ABC) r ( a)( b)( c) ( a)( b)( c) 6