1 Analytische Geometrie und Grundlagen

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1 $Id: vektor.tex,v /5/11 12:3:56 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine metrische Form des Strahlensatzes hergeleiten, gegeben waren ein Punkt a R 2 und zwei verschiedene Geraden h, h durch a. Weiter hatten wir Punkte b, c h\{a} sowie b, c h \{a} so, dass a, b, c und a, b, c gleich angeordnet sind. Dann waren die Verbindungsgeraden l von b und b beziehungsweise g von c und c genau dann parallel wenn ab / ac = ab / ac gilt und in diesem Fall gilt dann weiter bb / cc = ab / ac und cc / ac = bb / ab. Die letzten Aussagen sind dabei tatsächlich nicht mehr äquivalent zu l g, nehmem wir zum Beispiel die Punkte a := ( ) ( 1, b := ) ( 4, c := 4b = so sind a, b, c und a, b, c gleich angeordnet mit ) 1 2, b := 1, c := 2b = ab = 1, ac = 4, ab = 2 3, ac = 4 3, bb = 1 3 und cc = 4 3, es gilt also bb cc = 1 4 = ab ac ab ac = 1 2. Die drei Strahlensätzes, also die obigen Aussagen über Längenverhältnisse, gehen auf den Begründer der griechischen Mathematik Thales zurück, dieser war der Lehrer von Pythagoras und lebte geschätzt im Zeitraum vor Christus. Thales werden viele Entdeckungen innerhalb und außerhalb der Mathematik zugeschrieben, zum Beispiel war er der erste Mensch der eine Sonnenfinsternis vorausgesagt hat, nämlich die im Jahre 585 vor Christus. Auch das klassische Beispiel zur Anwendung der Strahlensätze wurde von Thales selbst beschrieben, es handelt sich um die Bestimmung der Höhe der Cheops-Pyramide. Wie schon gesagt geschah dies irgendwann um 6 vor Christus herum, und in dieser Zeit standen keine hierfür hilfreichen technischen Gerätschaften zur Verfügung, Thales musste sich also etwas einfallen lassen, und das von ihm gewählte Vorgehen soll nun besprochen werden. 8-1

2 h w l S s Zuerst wird die Kantenlänge s der Pyramide vermessen, dies ist leicht machbar und als das Ergebnis der Messung ergibt sich s = 23m. Als nächster Schritt wird dann der von der Pyramide geworfene Schatten vermessen, die Gesamtlänge S von Pyramide und Schatten ergibt sich dann als S = 348m. Diese beiden Werte reichen aber noch nicht aus die Höhe h der Pyramide zu ermitteln, wir brauchen noch zwei weitere Informationen. Zu diesem Zweck wird ein mitgebrachter Stab der bekannten Länge l = 1m senkrecht auf den Boden gestellt und der von diesem Stab geworfene Schatten w gemessen, das Ergebnis sei w = 1.6m. Diese vier Zahlen s, S, l, w sind jetzt alles was gebraucht wird um h zu bestimmen. Der Schatten der Cheops-Pyramide entsteht durch den von der Pyramide verdeckten Teil des Sonnenlichts, sein Ende ist also gerade der Punkt in dem der durch die Spitze der Pyramide laufende Sonnenstrahl auf den Boden trifft. Da die Sonnenstrahlen, zumindest in guter Näherung, parallel sind spielt es keine Rolle wo genau wir den Schatten unseres Stabes messen, wir können uns also den Stab und seinen Schatten wie im obigen Bild in die Spitze des Schattens der Cheops-Pyramide verschoben denken. Dann können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten h S s 2 und insgesamt ist damit gerundet = l w also h 1m = 233m 1.6m = h = 146m. Damit haben wir erst einmal genug zum Längen- und Abstandbegriff gemacht und wollen nun zu den Winkeln kommen. Um die Notation einfach zu halten wollen wir uns auf den ebenen Fall beschränken, wir werden uns also im R 2 bewegen. Dies ist keine echte Einschränkung da Winkel in einem höherdimensionalen R d immer in Ebenen enthalten sind und wir uns diese Ebenen als den R 2 denken können. Wir verwenden die 8-2

3 in Analysis I eingeführten trigonometrischen Funktionen und ihre Grundeigenschaften, insbesondere gehen wir davon aus eine Definition der reellen Zahl π vorliegt. Weiter sei S := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} = {x R 2 : x = 1} der Einheitskreis in der Ebene und wir wissen aus den Grundvorlesungen das sich S als { cos φ S = φ R} sin φ schreiben läßt. Ein Kreis K R 2 ist dabei als die Menge aller Punkte der Ebene definiert die von einem fixierten Punkt m R 2, dem Mittelpunkt des Kreises, einen festen Abstand r >, den Radius des Kreises, haben, also K = {x R 2 : mx = r}. Dabei sind der Mittelpunkt m und der Radius r eindeutig durch K bestimmt, dies ist eine kleine Übungsaufgabe. Setzen wir für jedes φ R nun e(φ) := (cos φ, sin φ) so ist für φ, ψ R genau dann e(φ) = e(ψ) wenn es eine ganze Zahl n Z mit ψ = φ+2πn gibt. Will man diese Mehrdeutigkeit vermeiden so ist am bequemsten statt reeller Zahlen φ Elemente der Quotientengruppe R/2πZ zu verwenden, wir wollen also zwischen Winkeln die sich nur um Vielfache von 2π unterscheiden keinen Unterschied machen. Ist φ R so betrachten wir weiter die Matrix cos φ sin φ D φ :=. sin φ cos φ Für alle φ, ψ R gelten dann cos φ sin φ cos ψ sin ψ D φ D ψ = sin φ cos φ sin ψ cos ψ cos φ cos ψ sin φ sin ψ (sin φ cos ψ + cos φ sin ψ) = sin φ cos ψ + cos φ sin ψ cos φ cos ψ sin φ sin ψ cos(φ + ψ) sin(φ + ψ) = = D sin(φ + ψ) cos(φ + ψ) φ+ψ und also auch D φ ( 1 ) cos φ sin φ = sin φ cos φ ( 1 ) = ( cos φ sin φ 1 1 D φ e(ψ) = D φ D ψ = D φ+ψ = e(φ + ψ). ) = e(φ) Wegen D = 1 ist D φ damit für jedes φ R invertierbar mit D 1 φ = D φ. Wir können diese Überlegungen auch so zusammenfassen, dass die Abbildung φ D φ ein 8-3

4 Gruppenhomomorphismus ist, da dieser Standpunkt in der Schule nicht verwendet wird wollen wir hier aber auf diese gruppentheoretischen Begriffe verzichten. Es ist nützlich der Matrix D π/2 einen eigenen Namen zu geben J := D π/2 = ( 1 1 Diese erfüllt die Bedingungen J 2 = D π = 1, J t = J und für alle x, y R 2 gelten 1 x1 x2 Jx = = 1 und sowie x 2 ). Jx y = x 1 y 2 x 2 y 1 = x 1 y 1 x 2 y 2 = [x, y] Jx Jy = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x y. Insbesondere gilt für jedes x R 2 damit auch Jx = x und Jx x = [x, x] =, d.h. Jx ist immer senkrecht auf x. Haben wir nun eine Gerade g R 2 die in Aufpunkt Richtung Form als g = a + Ru mit a R 2, u R 2 \{} gegeben ist, so haben wir nach Lemma 1 g = {x R 2 [u, x] = [u, a]} = {x R 2 Ju x = Ju a }, die beiden durch g gegebenen Halbebenen lassen sich also als H + = {x R 2 Ju x Ju a } und H = {x R 2 Ju x Ju a } schreiben. Der Richtungsvektor u ist nur bis auf Vielfache bestimmt und insbesondere ist durch l nicht festgelegt welche der beiden Halbebenen H + und welche H ist, verwenden wir etwa u statt u so vertauschen sich die Rollen von H + und H. Dies können wir vermeiden indem wir anstelle der Gerade l einen in ihr enthaltenen Strahl verwenden, der Richtungsvektor eines Strahls ist bis auf positive Vielfache festgelegt und somit bestimmt der gewählte Strahl welche der beiden durch l gegebenen Halbebenen H + und welche H ist. Diese Beobachtung können wir verwenden um links und rechts bezüglich eines Strahls zu definieren. Definition 1.19 (Orientierte affine Basen der Ebene) Sei s R 2 ein Strahl und bezeichne l die Gerade mit s l. Ist a der Startpunkt von s so können wir s = a + R u mit einem eindeutig bestimmten Vektor u R 2 mit u = 1 schreiben und nennen s + = {x R 2 Ju x Ju a } die links zu s liegende Halbebene von l und s = {x R 2 Ju x Ju a } 8-4 x 1

5 die rechts zu s liegende Halbebene von l. Sind weiter a, b, c eine affine Basis des R 2 und bezeichnet s den Strahl mit Startpunkt a und b s so heißt die Basis a, b, c positiv beziehungsweise negativ orientiert wenn c s + beziehungsweise c s gilt, wenn also c links zu s beziehungsweise rechts zu s liegt. Statt von einer positiv orientierten affinen Basis sprechen wir etwas verkürzt oft auch von einer positiven affinen Basis und entsprechend werden negative Basen interpretiert. Dass eine affine Basis positiv ist kann so interpretiert werden das die drei Punkte a, b, c im Gegenuhrzeigersinn angeordnet sind, diesem Begriff wollen wir aber keine explizite Definition geben. Als ein Beispiel ist etwa die affine Standardbasis des R 2, also a = (, ), b = e 1 = (1, ), c = e 2 = (, 1) positiv orinetierte. In der Tat, der Strahl s mit Startpunkt a durch b ist hier s = R u mit u := b, also Ju = (, 1) = c und wegen Ju c = c 2 = 1 > = Ju a liegt c s + links von s. Dagegen ist die affine Basis a, c, b negativ orientiert, der Strahl s mit Startpunkt a und c s ist s = R u mit u = c, also Ju = ( 1, ) = b und wir haben Ju b = b 2 = 1 < = Ju a, hier liegt b also rechts von s. Die Grundeigenschaften orientierter affiner Basen werden wir in Aufgabe (18) behandeln. Wir kommen nun wieder zu unseren Matrizen D φ zurück. Diese sind Drehungen um den Ursprung, allgemeinere Drehungen können durch Translation auf diese zurückgeführt werden. Seien hierzu wieder ein φ R sowie ein Punkt a R 2 gegeben. Als Drehung um a definieren wir dann D φ (a) : R 2 R 2 ; x a + D φ (x a) = (1 D φ )a + D φ x. Ist dann auch ψ R so erhalten wir für jedes x R 2 auch D φ (a)d ψ (a)x = D φ (a)(a+d ψ (x a)) = a+d φ D ψ (x a) = a+d φ+ψ (x a) = D φ+ψ (a)x, es ist also D φ (a)d ψ (a) = D φ+ψ (a). Wir können die eben konstruierten Drehungen dazu verwenden einem ersten Winkelbegriff einzuführen und als ersten Schritt müssen wir uns entscheiden welche Art von mathematischen Objekt ein Winkel überhaupt sein soll. Im informellen Sprachgebrauch wird in der Regel von so etwas wie einem Winkel von 74 gesprochen, Winkel werden also als Zahlen angesehen. Dies ist allerdings ein recht ungeschickter Standpunkt, Begriffe wie Nebenwinkel, Stufenwinkel und so weiter haben dann keine vernünftige Bedeutung, so etwas wie Nebenwinkel von 7 ist einfach nicht sinnvoll. Ein Winkel sollte also keine Zahl sein, man kann ihm nur bei Bedarf eine Maßzahl zuordnen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine konkrete Definition von Winkel zu geben, in diesem Abschnitt wollen wir die folgende Wahl treffen. Definition 1.2 (Orientierte Winkel) Ein orientierter Winkel ist ein Paar α = (s, t) bestehend aus zwei Strahlen s, t mit demselben Startpunkt. Den gemeinsamen Startpunkt von s und t nennen wir dann auch den Scheitel des Winkels α. Wir wollen jetzt jedem solchen Winkel als Maßzahl eine Zahl zwischen und 2π beziehungsweise zwischen und 36 zuordnen. Haben wir den Winkel (u, v) mit Scheitel 8-5

6 a so drehen wir den Strahl u im Gegenuhrzeigersinn um a bis er mit v zusammenfällt, den dafür benötigten Drehwinkel verwenden wir dann als das Maß unseres Winkels. Da φ R durch D φ (a) nur bis auf Vielfache von 2π festgelegt ist trifft dies dann auch auf das Winkelmaß zu. Wir werden diesem Umstand Rechnung tragen indem Winkel die sich nur um Vielfache von 2π unterscheiden stillschweigend identifizieren, Dass diese Konstruktion tatsächlich funktioniert wollen als ein Lemma festhalten. Lemma 1.29 (Konstruktion des orientierten Winkels) Seien a R 2 und u, v R 2 zwei Strahlen mit Startpunkt a. Dann existiert ein bis auf Vielfache von 2π eindeutiges φ R mit v = D φ (a)u. Beweis: Zunächst gibt es auf Länge 1 normierte Vektoren t, s R 2 mit t = s = 1, u = a + R t und v = a + R s. Dann liegen t und s auf dem Einheitskreis also gibt es weiter ψ, ϱ R mit t = e(ψ) und s = e(ϱ). Setzen wir nun φ := ϱ ψ R so gilt D φ (a)u = D φ (a)(a + R t) = a + D φ (R e(ψ)) = a + R D φ e(ψ) = a + R e(φ + ψ) = a + R e(ϱ) = a + R s = v, und wir haben die Existenz eingesehen. Sei nun umgekehrt φ R mit D φ (a)u = v gegeben. Analog zur obigen Rechnung haben wir dann a + R e(ϱ) = v = D φ (a)u = a + R e(φ + ψ) also ist auch {e(ϱ)} = S (R e(ϱ)) = S (R e(φ + ψ)) = {e(φ + ψ)}. Folglich ist e(ϱ) = e(φ + ψ) und es existiert ein n Z mit ϱ + 2πn = φ + ψ also ist auch φ = φ + 2πn. In der Regel sprechen wir etwas verkürzend vom Winkel von u nach v oder vom Winkel Winkel (u, v) anstelle von einem Winkelmaß und schreiben (u, v) für diesen. Sind b u\{a} und c v\{a} so setzen wir auch (bac) := (u, v). Wir wollen auch noch eine kleine Anmerkung zur Berechnung des Winkels (bac) machen. Folgen wir dem Beweis des Lemmas so müssen wir Zahlen ψ, ϱ finden so, dass a + R e(ψ) der Strahl mit Startpunkt a durch b und entsprechend a + R e(ϱ) der Strahl mit Startpunkt a durch c ist. Wie gesehen ergibt sich der gesuchte Winkel dann als (bac) = ϱ ψ. Es reicht also zu wissen wie man zu zwei verschiedenen gegebenen Punkten a, b R 2 ein φ R mit b a R e(φ) beziehungsweise zu p R 2 ein φ R mit p R e(φ) findet. Dies ist gleichwertig zu p/ p = e(φ) schreiben wir also p = (x, y) so muss φ die beiden Gleichungen x y = cos φ und x2 + y2 x2 + y 2 = sin φ 8-6

7 lösen. Der Arcus Cosinus ist Umkehrfunktion des Cosinus auf [, π] und da für φ [, 2π) genau dann φ π gilt wenn sin φ ist, gilt im Fall y x φ = arccos. x2 + y 2 Im Fall y < ist dagegen π < φ < 2π und der Arcus Cosinus liefert nicht mehr den korrekten Wert. Da wir Winkel die sich nur um Vielfache von 2π unterscheiden als gleich betrachten können wir im Fall y < zu φ 2π statt φ übergehen und dann ist π < φ 2π < also < (φ 2π) < π und cos( (φ 2π)) = cos φ = x/ x 2 + y 2 und somit wird x φ 2π = arccos. x2 + y 2 Da wir den subtrahierten Term wie gesagt ignorieren können lassen sich beide Fälle zu x φ = sign(y) arccos x2 + y 2 zusammenfassen. Es gibt auch noch andere Methoden für diese Berechnung, für x kann man beispielsweise y/x = tan φ verwenden, allerdings muss man auch hier immer auf den Quadranten achten in dem p liegt, so ist beispielsweise die Umkehrung φ = arctan(y/x) nur für x > gültig. Die Grundeigenschaften des orientierten Winkels sind erfreulich einfach und wir wollen einige von ihnen nun kurz auflisten. 1. Ist (u, v) ein orientierter Winkel so gilt (v, u) = (u, v) = 2π (u, v). Dies ist klar, denn mit φ = (u, v) folgt aus v = D φ (a)u auch u = D φ (a) 1 v = D φ (a)v. 2. Sind u, v, w drei Strahlen mit demselben Startpunkt a so ist (u, w) = (u, v) + (v, w) und zwar unabhängig von der Anordnung der Strahlen u, v, w. Schreiben wir nämlich φ = (u, v) und ψ = (v, w) so sind v = D φ (a)u und w = D ψ (a)v also auch D φ+ψ (a)u = D ψ (a)d φ (a)u = D ψ (a)v = w. 3. Orientierte Winkel lassen sich eindeutig abtragen, d.h. sind (u, v) ein orientierter Winkel mit dem Scheitel a und w ein weiterer Strahl mit einem Startpunkt b so existiert genau ein Strahl mit Startpunkt b so, dass (w, r) = (u, v) gilt. Schreiben wir nämlich φ = (u, v) so ist r = D φ (b)w. 4. Sind (u, v) ein orientierter Winkel mit Scheitel a und bezeichnet l, g die beiden Geraden mit u l beziehungsweise v g so ist genau dann l g wenn (u, v) = 8-7

8 π oder (u, v) = π gilt. Seien hierzu φ, ψ [, 2π) mit u = a + R 2 2 e(φ) und v = a + R e(ψ) gegeben. Dann sind auch l = a + Re(φ) und g = a + Re(ψ) also R(l) = Re(φ) und R(g) = Re(ψ). Wegen e(φ) e(ψ) = cos φ cos ψ + sin φ sin ψ = cos(ψ φ) ist genau dann l g wenn cos( (u, v)) = cos(ψ φ) = ist. Werden Vielfache von 2π ignoriert so ergeben sich genau die beiden angegebenen Möglichkeiten. 8-8