m 1 Die Bewegung der drei Kugeln wird beschrieben durch das folgende Differentialgleichungssystem x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) k 12 k 12 k 12 k k 23

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1 Kapitel 5 Eigenwerte 5. Definition und Beispiele Wir sehen uns ein System dreier schwingender Kugeln der Massen m, m und m 3 an, die durch Federn aneinander gekoppelt sein sollen. m k m k 3 m 3 x ( t x ( t x ( t 3 Die Bewegung der drei Kugeln wird beschrieben durch das folgende Differentialgleichungssystem m x = k (x x m x = k (x x k 3 (x x 3 m 3 x 3 = k 3 (x 3 x Führen wir den Vektor und die Matrix A := x(t := x (t x (t x 3 (t k k m m k m k +k 3 k 3 m m k 3 m 3 k 3 m 3 5

2 6 KAPITEL 5. EIGENWERTE ein, so können wir das Dgl.-system in der Form x = A x schreiben. Gesucht sind die Werte ω für die Frequenz und δ für die Phase, mit denen alle 3 Kugeln simultan schwingen können. Um sie aufzufinden, gehen wir mit dem Ansatz in die Dgl. in Matrixform ein und sehen also x(t := x sin(ωt δ ω x sin(ωt δ = A x sin(ωt δ A x = ω x Der Vektor x soll also nach Multiplikation mit A wieder in ein Vielfaches von x übergehen. Man sagt, x soll Eigenvektor und ω Eigenwert von A sein. Das formulieren wir jetzt allgemeiner: Wir fixieren wieder einen Körper K, etwa IR oder C. Weiter sei V ein K-Vektorraum der endlichen Dimension n. Definition. a Ist f : V V linear, so nennen wir eine Zahl λ K einen Eigenwert von f, wenn in V ein Vektor x mit f( x = λ x existiert. Der Vektor x wird Eigenvektor zu f zum Eigenwert λ genannt. b Sind f und λ wie unter (a, dann bezeichnen wir mit E(f, λ die Menge E(f, λ := { x V f( x = λ x} Dies ist ein Untervektorraum von V, den man auch den Eigenraum zu f zum Eigenwert λ nennt. Entsprechende Definitionen trifft man für Matrizen: Definition. a Ist A M(n n, K, so nennen wir eine Zahl λ K einen Eigenwert von A, wenn ein Vektor K n x mit A x = λ x existiert. b Sind f und λ wie unter (a, dann bezeichnen wir den Eigenraum von A zum Eigenwert λ mit E(A, λ die Menge E(A, λ := { x V A x = λ x} Das folgende ist zur Berechnung der Eigenwerte einer Matrix von Nutzen:

3 5.. DEFINITION UND BEISPIELE Hilfssatz. a Sei f End (V und λ K. Dann ist λ genau dann ein Eigenwert von f, wenn f λid nicht injektiv ist. b Ist A M(n n, K, so ist eine Zahl λ genau dann ein Eigenwert von A, wenn λe n A nicht invertierbar ist, wenn also χ A (t := det(te n A bei t = λ eine Nullstelle hat. Beweis. Genau dann ist λ ein Eigenwert von f, wenn ein Vektor x V \ { } existiert, so dass f( x = λ x, also x Ker (f λid, somit Ker (f λid nicht nur aus dem Nullvektor besteht. b Folgt aus a mit V = K n und f = f A. Definition. Für eine Matrix A M(n n, K nennt man χ A von A. Es gilt das charakteristische Polynom 5.. Hilfssatz. a Ist A eine quadratische n-reihe Matrix und S GL(n, K, so haben A und S A S dasselbe charakteristische Polynom. b Ist V ein K-Vektorraum der Dimension n und f End (V, so gilt: Ist B eine Basis von V, so haben f und A B,f,B dieselben Eigenwerte. Beweis. a Ist S GL (n, K, so gilt χ S A S (t = det(te n S A S = det(s (te n A S = det S χ A (t det S = χ A (t b Sei A = A B,f,B. Ist λ ein Eigenwert von f, so wählen wir einen Eigenvektor v zu λ für f. Dann wird aber A v = f( v B = (λ v B = λ v B also ist λ ein Eigenwert von A. Ist umgekehrt x ein Eigenvektor zu A zum Eigenwert λ, so gilt n f( x B n j b j = x B j f( n b j = λ x B j b j, j= j= also v := n j= xb j b j E(f, λ. Der Hilfssatz sagt also, dass zur Bestimmung der Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnet werden müssen. Dies ist nicht immer einfach. In jedem Fall gelingt es im Fall n =, wenn K = C. ( 6 Beispiele. a A = 3. Dann ist χ A (t = t t + 6 j=

4 8 KAPITEL 5. EIGENWERTE Seine Nullstellen sind komplex und nicht reell: λ = ( + 3i 7, λ := ( 3i 7 Weiter errechnen wir und b A = 9 + 4i + 6i 3 i 8 i 6 8i 6 + 6i E(A, λ = Span E(A, λ = Span ( +i 7 ( +i 7. Dann wird χ A (t = t 3 (5 + it + (5 + 5it 5i Sicher ist λ = eine Nullstelle dieses Polynoms. Weitere Nullstellen sind λ = 5, λ 3 = i. Als Eigenräume errechnen wir 7 E(A, λ = Span 5, E(A, λ = Span, E(A, λ 3 = Span 3 Nullstellen bei Polynomen vom Grad 3 Angenommen, es sei f 3 (x =: x 3 + ax + bx + c vom Grade 3 mit komplexen Koeffizienten. Durch Übergang zu g(x := f 3 (x a 3 = x3 + (b a x + c ab a3 7 können wir f 3 durch ein Polynom ersetzen, das die (normalisierte Form hat. Nun schreiben wir f(x := x 3 + px + q x := t p 3t

5 5.. DEFINITION UND BEISPIELE 9 und errechnen wir f(x = t 3 + q p3 7t 3 So sehen wir, dass x genau dann eine Nullstelle von f wird, wenn t 3 die quadratische Gleichung T + qt p3 7 = löst. Dann wählen wir t als eine dritte Wurzel aus T (dazu bestehen 3 Möglichkeiten und setzen das in die Gleichung für x ein. Beispiel: Sei etwa f(x = x 3 4x + x 6. Dann wird Ist dann x Nullstelle von g, so ist x und finden, dass g(x = äquivalent ist zu ist. Wir lösen die Gleichung und erhalten die Lösungen g(x := f(x = x3 3 x 8 7 eine Nullstelle für f. Nun setzen wir x := t + 9t t t 3 = T 8 7 T + 79 = T = 7 ( , T = 7 (9 3 9 Es gibt nun drei Lösungen zur Gleichung t 3 = T, nämlich Einsetzen in x = t + 9t t =.55788, t = i, t 3 = i ergibt dann x =.54955, x := i, x 3 = i Unser Polynom f hat seine Nullstellen bei s := , s := i, s 3 := i

6 KAPITEL 5. EIGENWERTE 5. Normalformen Triangulierung bei Matrizen Definition. Wir nennen eine Matrix A M(n n, K triangulierbar, wenn eine Basis B := { b,..., b n } des K n existiert, so dass A b j Span ( b,..., b j für alle j =,,..., n. Setzen wir f := f A, so bedeutet das, dass A B,f,B eine obere Dreiecksmatrix sein soll. Folgende Bedingung muss für triangulierbare Matrizen erfüllt sein: 5.. Satz. Ist A M(n n, K eine Matrix, deren charaktristisches Polynom χ A in Linearfaktoren zerfällt, so ist A triangulierbar. Beweis. (Induktion nach n. n = : klar. Ist die Behauptung für n richtig, so auch für n. Sei b ein Eigenvektor zu A. Wir verlängern b zu einer Basis b, b,..., b n von Kn. Diese ordnen wir zu einer Matrix S an. Es folgt S A S = λ a... a n. A Auf A ist die Induktionsannahme anwendbar und ergibt: Es gibt eine Matrix S GL(n, K, so dass S A S obere Dreicksgestalt hat. Nun leistet... S =. S S das Verlangte: S A S hat obere Dreicksgestalt. Beispiel. Die Matrix A := 7+3i 5 + i i 7+5i 5 i i +i i

7 5.. NORMALFORMEN Das charakteristische Polynom ist Weiter gilt A = ( i Die Matrix A = ( + i 3+i 5. Wir setzen also und bilden Das führt auf χ A (x = (x (x + i. Sei jetzt S := S A S = 5 i i i + i. Dann wird hat die Eigenwerte und i mit Eigenvektoren S = ( S = S ( 3+i 5 S = i S A S = 3+i 5 3+3i 5 i ( bezw. Notation. Ist A eine n n-matrix und p(x = a k x k + a k x k a ein Polynom, so soll p(a die Matrix p(a = a k A k + a k A k a E n bedeuten. Dann gilt a p(a q(a = q(a p(a für alle Polynome p und q. b Ist λ Eigenwert von A, so ist p(λ Eigenwert von p(a. 5.. Hilfssatz. Ist A M(n n, K, so besteht die Menge I(A derjenigen Polynome p mit p(a = nicht nur aus dem Nullpolynom. Es gibt ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom m A minimalen Grades in I(A. (Ein Polynom heißt dabei normiert, wenn sein Leitkoeffizient gleich ist. Dieses Polynom wird Minimalpolynom von A genannt. Alle Polynome aus I(A sind von der Form q(x m A (x.

8 KAPITEL 5. EIGENWERTE Beweis. In der Tat ist die Menge A n, A n,..., A, E n linear abhängig, da M(n n, K die Dimension n hat. Das zeigt die erste Behauptung. Wir wählen ein normiertes Polynom m A minimalen Grades in I(A aus. Ist dann p I(A, so gilt (Divisionsalgorithmus p = g m A + r mit Polynomen g und r, wobei der Grad von r kleiner als der von m A ist. Dann ist aber r(a = p(a g(a m A (A =, so dass auch r I(A gilt. Nun muss r = sein, sonst entstünde ein Widerspruch zur Wahl von m A. Die Eindeutigkeit von m A ist nun ebenfalls klar. Als eine erste Anwendung der Triangulierung haben wir den Satz von Cayley-Hamilton: 5..3 Satz. Ist A M(n n, C, so gilt χ A I(A und insbesondere ist m A ein Teiler von χ A. Beweis. Wir wählen eine invertierbare Matrix S, so dass S A S eine obere Dreiecksmatrix wird: λ a... a n S λ... a n A S = λ n Dann ist χ A (A = S χ A (S A S S = S χ S A S (S A S S, und es genügt, alles für den Fall zu zeigen, dass A selbst schon obere Dreiecksgestalt hat. Nun ist aber χ A (t = (t λ... (t λ n Setzen wir die obere Dreiecksmatrix ein, entsteht a... a n λ a... a n λ... a n a n λ n λ n λ a a n λ a n... a 3n λ n λ a a n λ a n λ 3... a 3n Das Produkt der ersten beiden Matrizen hat in den ersten beiden Spalten nur Nullen, das Produkt der ersten 3 Matrizen hat in den ersten 3 Spalten nur Nullen, usw. Zum Schluss erhalten wir die Nullmatrix.

9 5.. NORMALFORMEN 3 Folgerung. Ist A eine Matrix, so ist λ K genau dann Eigenwert von A, wenn m A (λ = ist. Beweis. Ist λ Nullstelle von m A, so auch von χ A. Umgekehrt sei λ ein Eigenwert für A. Dann gilt m A (λ ist Eigenwert von m A (A =, also ist m A (λ =. Diagonalisierung Definition. Eine lineare Abbildung f : V V (dim V = n heißt diagonalisierbar, wenn für V eine Basis existiert, die nur aus Eigenvektoren von f besteht. Entsprechend nennen wir eine Matrix A M(n n, K diagonalisierbar, wenn für K n eine Basis existiert, die nur aus Eigenvektoren von A besteht. Ob ein gegebenes f End (V diagonalisierbar ist oder nicht, hängt von der Größe der Eigenräume ab Hilfssatz. Sei f End (V und A M(n n, K. Dann gilt: a Sind λ,..., λ r paarweise verschiedene Eigenwerte von f und sind b E(f, λ,..., b r E(f, λ r vom Nullvektor verschieden, so sind b,..., b r linear unabhängig. b Sind λ,..., λ r die (paarweise verschiedenen Eigenwerte von A, so ist U := E(A, λ E(A, λ r ein Unterraum von K n. Wählen wir zu jedem E(A, λ j eine Basis B j, so ist B... B r eine Basis für U. c Ist λ ein Eigenwert von A und k = dim E(A, λ, dann enthält χ A den Faktor (t λ k. Beweis. a Für r = 3 gilt etwa dies: Wenn b = a b + b b 3 wäre, so hätte man λ b = f( b = af( b + bf( b 3 = aλ b + bλ 3 b3 Gleichzeitig ist λ b = aλ b + bλ b3. Es folgt aλ b + bλ 3 b3 = aλ b + bλ b3, also a(λ λ b = b(λ λ b 3. Also ist schon a b = b b 3. Das ergibt aber aλ b = f(a b = bf( b 3 = λ 3 b b 3 = λ 3 a b Nun folgt a(λ λ 3 b = und somit a =. Das erfordert aber b =, also b =, ein Widerspruch. Der allgemeine Fall kann durch ein Induktionsargument nach k erledigt werden. b Das folgt aus a. c Wir wählen eine Basis b,..., b k von E(A, λ und verlängern diese zu einer Basis B von K n. Diese Basisvektoren bilden die Spalten einer invertierbaren Matrix S, für welche nun gilt ( S λek A S = A

10 4 KAPITEL 5. EIGENWERTE Dann ist aber χ A (t = χ S A S (t = (t λ k q(t mit irgendeinem Polynom q vom Grade n k. So erhalten wir sofort den 5..5 Satz. Genau dann ist eine Matrix A M(n n, K diagonalisierbar, wenn das Polynom χ A in Linearfaktoren zerfällt und weiter, wenn die Zerlegung χ A (t = (t λ k... (t λ r kr mit paarweise verschiedenen Eigenwerten besteht, für jedes j =,..., r der Eigenraum E(A, λ j die Dimension k j hat. Beweis. Es gilt stets dim E(A, λ j k j, für j =,..., r, und ferner k k r = n. Damit ist dim U = n = k +...+k r genau dann, wenn dim E(A, λ j = k j, für j =,..., r. Dann ist aber die im Hilfssatz genannte Basis B von U eine gesuchte Basis von K n, die nur aus Eigenvektoren von A besteht. Aber Beispiel. Sei A := Dann ist χ A (t = t 3 4t + 5t = (t (t A E 3 = Wegen rg (A E 3 = folgt dim E(A, = 3 rg (A E 3 = <, also kann A nicht diagonalisierbar sein. In unserem Beispiel ist m A = χ A. Ein anderes Kriterium für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist dieses: 5..6 Satz. Genau dann ist eine Matrix A M(n n, K diagonalisierbar, wenn m A nur einfache Nullstellen hat. Beweis. Sei m A (t = (t λ... (t λ r mit paarweise verschiedenen λ,..., λ r. Die λ j sind die Eigenwerte von A, wie wir schon wissen. Dann sei F j (t = m A (t t λ j für j =,..., r. Wir finden Polynome f,..., f r mit F (tf (t F r (tf r (t =

11 5.. NORMALFORMEN 5 Denn alle Polynome p, zu denen es Polynome g,..., g r mit F (tg (t+...+f r (tg r (t = p(t gibt, bilden eine Menge a, für die gilt: (i a ist mit der Addition eine abelsche Gruppe, (ii mit h a ist auch q h a, wenn q irgendein Polynom ist. Dann wählen wir aus a das normierte Polynom p mit minimalem Grad aus. Ist dann p a beliebig, so gilt p = qp + R mit einem Polynom R. Nun gehört auch R zu a und hat einen kleineren Grad als p. Also gilt R =, folglich teilt p jedes Polynom aus a. Sicher gehört jedes F j zu a, j r, also muss p jeden der Faktoren F j teilen und somit konstant sein, da die F,..., F r keinen gemeinsamen Teiler haben. So finden wir die gesuchten f,..,.f r. Nun sei x K n. Dann ist sicher und weiter (λ j E n A F j (A f j (A x = m A (A x = x = E n x = r j= F j (A f j (A x }{{} =: v j Somit wird x = v v r und v j Ker (f λ j Id = E(A, λ j, für j =,..., r. Aus früheren Überlegungen erhalten wir ferner, dass wir eine Basis von K n gewinnen, wenn wir zu jedem Eigenraum eine Basis hernehmen und dann die Vereinigung dieser Basen bilden. So finden wir eine Basis von Eigenvektoren zu A. Beispiel. Die Matrix, welche dem schwingungsfähigen System zu Beginn des Abschnitts assoziiert war, lautete Wir stellen fest, dass A := k k m m k m k +k 3 k 3 m m k 3 m 3 k 3 m 3 χ A (t = t ( b + at + t ( b := k k 3 + +, a := k + k + k 3 + k 3 m m m m 3 m m 3 m m m 3 Damit wird ein Eigenwert von A. Es zeigt sich, dass ein Eigenvektor zum Eigenwert ist. Die anderen Eigenwerte sind t = a + a 4b, t = a a 4b Es zeigt sich, dass a 4b > und damit t, t <. Die Eigenfrequenzen, mit denen die 3 Kugeln simultan schwingen könenn, sind nun ω = t, ω = t