Gruppe II Lineare Algebra

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1 Pflichtbereichs Klausur in der Lehrerweiterbildung am 7.Juni 22 Bearbeiten Sie 3 der folgenden 6 Aufgaben, dabei aus jeder der beiden Gruppen (Lineare Algebra und Analysis) mindestens eine Aufgabe! Zur Lösung einer Aufgabe gehört auch die Darstellung des Gedankenganges. Erlaubt sind: Eigener Taschenrechner und bis zu zwei selbst handgeschriebene Blätter DIN A 4 (zu jeder Gruppe 2 Seiten). Gruppe II Lineare Algebra Aufgabe 4 (Lineares Gleichungssystem, Endomorphismus) (a) Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem über R: ξ +ξ 3 = ξ ( ) 2 +ξ 4 = ξ 2 +ξ 3 = ξ +ξ 2 +ξ 3 +ξ 4 = 2 Bestimmen Sie den Lösungsraum L des zu ( ) gehörenden homogenen Systems sowie den Lösungsraum L von ( )! (b) Seien B = (b, b 2, b 3, b 4 ) eine Basis von V = R 4 und f ein Endomorphismus von V, für den gilt: f(b ) = b +b 4 f(b ( ) 2 ) = b 2 +b 3 +b 4. f(b 3 ) = b +b 3 +b 4 f(b 4 ) = b 2 +b 4 (i) Nach welchem Satz ist f eindeutig bestimmt? (ii) Bestimmen Sie Kern f! Gibt es einen Zusammenhang mit Teil (a) dieser Aufgabe? (iii) Welchen Rang hat die Matrix A = MB B (f) von f? (iv) Geben Sie das volle Urbild des Vektors w := b + b 2 + b 3 + 2b 4 unter f an! Aufgabe 5 (Eigenwerte, Eigenräume) Gegeben sei die Matrix 3 A = 3 R (3,3). 4 (i) Zeigen Sie: A hat die Vektoren c = und c 2 = aus R 3 als Eigenvek- toren. Welche Eigenwerte gehören zu c bzw. c 2?

2 (ii) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χ A (X) von A, bestimmen Sie dessen Nullstellen sowie deren (algebraische) Vielfachheit! (iii) Geben Sie die Eigenräume von A an! (iv) Geben Sie eine Eigenbasis von A an! Zu welcher Diagonalmatrix ist A ähnlich? Aufgabe 6 (Skalarprodukt) Zeigen Sie, dass es auf R 3 ein Skalarprodukt g gibt mit ( ) g und g g sowie ( ) g = g = g =! (Hierbei bezeichnet g die Orthogonalitätsrelation zum Skalarprodukts g und x g die Norm von x zu g.) Lösungshinweis: (i) Bestimmen Sie zunächst die Fundamentalmatrix M g der symmetrischen Bilinearform g mit den angegebenen Eigenschaften. (ii) Zeigen Sie, dass M g streng positiv definit ist! 2

3 Lösungsskizzen zu Aufgabe (a) Die zu ( ) gehörende Matrix 2 geht durch elementare Zeilenumformungen ( z.b. mit z 4 z 4 z z 2 und z 3 z 3 z 2 ) in die Matrix (in Zeilenstufenform) mit gleichem Lösungsraum über. Für das homogene System erhält man die Bedingungen ξ 3 = ξ 4 = ξ 2 = ξ, woraus folgt. L = (,,, )R Eine Partikulärlösung ergibt sich aus ξ 3 = ξ 4 = ξ 2 = ξ zum Beispiel als p = (,,, ). Aus L = p + L erhält man somit L = (,,, ) + (,,, )R = {( ξ, ξ, ξ, ξ) ξ R}. (b) (i) Nach dem Satz von der linearen Fortsetzung ist eine lineare Abbildung schon durch die Bilder der Vektoren einer geordneten Basis des Urbildraumes bestimmt. Also ist f eindeutig bestimmt. (ii) Die Matrix von f bzgl. der Basis B hat als Spalten die Koordinaten der Bilder der Vektoren von B. Sie ist somit A := MB B (f) =. Dies ist genau die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems aus Teil (a). Daher besteht Kernf aus allen Vektoren, deren Koordinatenvektoren bzgl. der Basis B in der Lösungsmenge L des zu ( ) gehörenden homogenen linearen Gleichungssystems liegen. Also gilt: Kern f = ( b b 2 + b 3 + b 4 )R. (iii) Wie man aus (ii) sieht, ist dim Kern f =, somit (nach der entsprechenden Dimensionsformel) Rang A = 4 dim Kernf = 3. 3

4 (iv) Die Koordinatenvektoren der Vektoren des vollen Urbildes von w sind genau die Lösungen des linearen Gleichungssystems ( ) aus Teil (a) und damit die Elemente von L. Also folgt zu Aufgabe 2 (i) Wegen und f (w) = b + b 2 + ( b b 2 + b 3 + b 4 )R. 3 A c = 3 = = 4c A c 2 = 3 = 2 = 2c 2 4 sind c und c 2 Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ = 4 bzw. λ 2 = 2. (ii) Es ist χ A (X) = 3 X 3 X 4 X = [(3 X)2 ](4 X) = (X 2 6X + 8)(4 X) = (X )(X )(4 X), also χ A (X) = (X 4) 2 (X 2). Damit hat λ die algebraische Vielfachheit 2 und λ 2 die algebraische Vielfachheit. (iii) Der Eigenraum E zum Eigenwert λ = 4 ist der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems 3 4 ξ 3 4 ξ 2 =, 4 4 ξ 3 d.h. von ξ ξ 2 = und ξ 3 beliebig aus R. Durch die Setzung von (ξ 2, ξ 3 ) = (, ) bzw. (ξ 2, ξ 3 ) = (, ) erhält man außer c = E noch E. Da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, erhält man (mit E 2 als dem Eigenraum zu λ 2 ) aus 3 dim E + dim E

5 dann (vgl. mit (i)): E =<, > und E 2 =< c 2 >= >. (iv) Die Vektoren c =, c 3 = und c 2 = sind linear unabhängige Eigenvektoren von A ; also ist C = (c 2, c 3, c ) eine Eigenbasis von A, und A ist z.b. ähnlich zur Matrix zu Aufgabe 3 α β γ (i) Sei M g = β δ ɛ die symmetrische (!) Fundamentalmatrix von g γ ɛ ζ bezüglich der kanonischen Basis von V := R 3. Da v g w bedeutet, dass v T Mw = gilt, sind die Bedingungen ( ) äquivalent zu γ = und α = β sowie ɛ = γ (= ). Da die Norm v eines Vektors v definiert ist als v = v T Mv, sind die Bedingungen ( ) genau für α = = ζ und α + δ = erfüllt. Falls es daher ein Skalarprodukt g der geforderten Eigenschaften gibt, so hat dieses die Fundamentalmatrix M g = 2. Jedenfalls hat umgekehrt (Probe wegen Beweisrichtung!) die symmetrische Bilinearform mit Fundamentalmatrix M g die Eigenschaften ( ) und ( ). (ii) M g ist positiv definit, falls v T M g v > für alle v R 3 \ {} gilt. Sei also ζ v = η R 3 Dann erhält man mit Teil (i): θ v T M g v = (ζ η θ) ζ 2 η = θ (ζ + η ζ + 2η θ) ζ η = θ 5

6 = ζ 2 + 2ζη + 2η 2 + θ 2 = (ζ + η) 2 + η 2 + θ 2 und v T M g v = nur für ζ + η = = η = θ, also für v =. Dies zeigt, dass M g eine positiv-definite reelle symmetrische Matrix ist und damit g ein Skalarprodukt auf R 3. 6