Eigenwerttheorie. Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 2007/2008

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1 Eigenwerttheorie Martin Gubisch Lineare Algebra I WS 27/28 Motivation Gegeben seien ein K-Vektorraum V der Dimension n < und eine K-lineare Abbildung f : V V Wir suchen eine Basis V = v 1,, v n von V, so dass MV V f eine Normalform hat damit klassizieren wir Endomorphismen Wir betrachten eine Streckung, etwa f, gegeben durch fe 1 = 3e 1 und fe 2 = e 2 Dann ist 3 A = die Darstellungsmatrix von f Diese hat Diagonalgestalt 1 Allgemein: Habe MV Vf Diagonalgestalt, dh M V Vf = λ1 Dann gilt: fv λ i = λ i v i n Ist λ i =, dann auch fv i =, dh die Gerade Kv i wird auf den Nullpunkt abgebil Für λ i gilt fkv i = λ i Kv i = Kv i, dh die Gerade wird durch f in sich selbst überführt Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und f : V V eine K-lineare Abbildung λ K heiÿt Eigenwert Streckungsfaktor von f, wenn es ein v V \{} gibt mit fv = λv v heiÿt dann der zu λ gehörige Eigenvektor Beachte ist niemals ein Eigenvektor, kann aber ein Eigenwert sein MV V f hat Diagonalgestalt V ist eine Basis aus Eigenvektoren Seind v 1,, v m Eigenvektoren von f mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,, λ m, dann sind v 1,, v m K-linear unabhängig Induktion über m: Der Fall m = 1 ist klar, da v 1 Gelte die Behauptung für m 1 und sei α 1 v α m v m = mit α 1,, α m K Wir müssen zeigen, dass alle α i = Wegen und der Induktionsvoraussetzung ist = λ m α 1 v λ m α m v m und = f = α 1 λ 1 v α m λ m v m = α 1 λ m λ 1 v α m 1 λ m λ m 1 }{{}}{{} Also = α m v m mit v m, dh α m = v m 1 IV = α 1 = = α m 1 =

2 Wir betrachten eine Drehung mit Drehwinkel θ um den Ursprung Sei etwa fe 1 cosθ = und sinθ fe 2 cosθ +, 5π cosθ sinθ = Dann Mf = benutze dabei sin 2 θ + cos sinθ +, 5π sinθ cosθ 2 θ = 1 f ist injektiv, denn 2 Mf = sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Falls θ nπ, dann gibt es keine Gerade, die in sich selbst überführt wird Sei f Hom K V, V und λ K Dann gilt: 1 λ ist ein Eigenwert von f Kernf λid {} 2 Ist dim K V <, dann λ Eigenwert von f f λid = 1 f λidv = fv λidv = fv λv = fv = λv 2 Klar mit 1 1 Wir haben dabei natürlich gesetzt g := MV V g für K-lineares g 2 Sind V und V zwei Basen von V, so gilt MV V dh es gilt: Anmerkung Für obiges gilt: f = CM V V fc 1 für ein invertierbares C M K n, n, M V V f = C M V V f C 1 = M V f V cosθ λ sinθ f λid = sinθ cosθ λ = cosθ λ 2 + sin 2 θ = cos 2 θ 2λ cosθ + λ 2 + sin 2 θ = λ 2 2λ cosθ + 1 Also f λid = λ = cosθ ± cos 2 θ 1 = cosθ ± sin 2 θ C\R, falls θ nπ Zusammenfassung Seien V ein endlich dimensionaler K-Veltorraum, f : V V eine K-lineare Abbildung, λ K und v V \{} Dann sind äquivalent: 1 λ ist Eigenwert von v 2 Es gibt v mit fv = λv 3 Es gibt v mit f λidv = 4 Kernf λid {} 5 n A λi n = Wir nennen λ K einen Eigenwert von A M K n, n, falls n A λi n = Behauptung Ist A B und λ ein Eigenvert von A, so ist λ auch ein Eigenwert von B

3 Sei B = CAC 1 für ein invertierbares C M K n, n Dann gilt: CA λi n C 1 = CAC 1 CλI n C 1 = CAC 1 λi n = B λi n, also = n A λi n = n B λi n Merke Eigenwerte sind invariant unter Basistransformationen A heiÿt diagonalisierbar über K, falls es ein B A gibt mit B = A := ist über C, aber nicht über R diagonalisierbar λ1 λ n, λ i K Wegen n A λi n = 1 λ 2 +2 = 3 2λ+λ 2 hat A nämlich die Eigenwerte λ 1,2 = 1± 2 = 1±i 2 Also besitzt A keine reellen Eigenwerte und ist damit über R nicht diagonalisierbar Sei v 1 Eigenvektor zu λ 1 = 1+i 2 und v 2 Eigenvektor zu λ 2 = 1 i 2 Dann ist V := v 1, v 2 eine Basis des C 2 Setze f := L V V A, also f : C2 C 2 Dann A = ME Ef und A B mit B := M V Vf = λ1 Wir bestimmen nun die Eigenvektoren, etwa v 1 := x1 x 2 Eine Lösung ist beispielsweise x1 x 2 Es gilt: x1 Eigenvektor zu λ 1 A λ 1 I 2 = x 2 { 1 λ1 x 1 + 2x 2 = i 2 1 x λ 1 x 2 = { i 2x1 + 2x 2 = x 1 i 2x 2 = λ 2 cosα sinα Wir betrachten A := Dann LA : R sinα cosα 2 R 2 cosα λ sinα und A λi 2 = sinα cosα λ A λi 2 = cos 2 α + λ 2 sin 2 α = λ 2 1 = λ + 1λ 1 Die Matrix besitzt also die beiden 1 Eigenwerte ±1 und ist damit über R diagonalisierbar: A 1 Die zugehörigen Eigenvektoren sind und Für A M K n, n heiÿt das charakteristische Polynom von A cos, 5α sin, 5α, 5 cosα + π, 5 sinα + π P A := n A ti n Ist A = MV V f die Darstellungsmatrix des Endomorphismus f : V V bzgl der Basis V wobei dim K V <, so heiÿt P f = n A ti n auch das charakteristische Polynom von f Die Denition ist unabhängig von der gewählten Basis V

4 Satz Sei dim K V = n < und f Hom K V, V Dann sind die Eigenwerte von f genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von f in K Schon gezeigt: λ Eigenwert von f P f λ = n A λi n = Korollar Jeder Endomorphismus des R 2n+1 hat einen reellen Eigenwert und damit auch einen Eigenvektor P f hat den Grad 2n + 1, also hat P f nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle in R Ist A M K n, n, dann gilt: wobei c n 1,, c 1 K n A ti n = 1 n t n + c n 1 t n c 1 t + n A, a b a t b Sei A = Dann A ti c d 2 = und P c d t A = a td t bc Sei B = b ij M Kt n, n eine Matrix mit b ij K[t] Dann ist n B K[t] und es gilt: n Bλ = n b ij λ Per Indultion über n Der Fall n = 1 ist klar, denn 1 aλ = aλ = 1 aλ Gelte die Behauptung für n 1 Nach der Entwicklungsformel gilt: n b ij = n b ijλ = Sei pt = t α ν qt mit qα = n 1 k 1 b 1k }{{} b ij 1k ; n 1 }{{} k=1 K[t] K[t] n 1 k 1 b 1k λ b ij 1k λ n 1 k=1 n 1 k 1 b 1k λ b ijλ 1k n 1 k=1 = n b ijλ Dann heiÿt ν = µp, α die Vielfachheit Multiplizität von α in p Sei pt = γt α 1 ν1 t α s νs mit α 1,, α s paarweise verschieden, ν 1,, ν s N und degp = n Dann gilt s i=1 ν i = n

5 Satz Seien f : V V ein Endomorphismus des endlich dimensionalen Vektorraums V und λ K ein Eigenwert von f Dann ist Eigf, λ := {v V fv = λv} ein Untervektorraum von V, der Eigenraum von λ bzgl f Wegen f = = λ ist stets Eigf, λ Seien v 1,, v m Eigf, λ, α 1,, α m K Dann gilt: fα 1 v α m v m = α 1 fv α m fv m = α 1 λv α m λv m = λα 1 v α m v m, dh mit v 1,, v m liegt auch α 1 v α m v m in Eigf, λ Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und f Hom K V, V Dann ist µp f, λ dim K Eigf, λ Sei v 1,, v r eine Basis von Eigf, λ, dh dim K Eigf, λ = r Wir ergänzen diese zu einer Basis V = v 1,, v r, v r+1,, v n von V Dann hat A = MV V f die Gestalt λ λ A Für das charakteristische Polynom gilt dann: Also r µp f, λ P f = A ti n = n r λ t λ t n r A ti n r = λ t r n r A ti n r Seien V ein K-Vektorraum der endlichen Dimension n und f Hom K V, V f heiÿt diagonalisierbar, falls es eine Basis V von V gibt, so dass MV V f Diagonalgestalt hat A M K n, n heiÿt diagonalisierbar, falls es ein invertierbares C M K n, n gibt, so dass CAC 1 Diagonalgestalt hat Satz A ist diagonalisierbar LA ist diagonalisierbar : CAC 1 = CM E E AC 1 habe Diagonalgestalt Wähle eine Basis V von V so, dass C = M E V id Dann ist CAC 1 = M V V LA : Seien f := LA, E := e 1,, e n die kanonische Basis von V, ME E f = A und V eine Basis von V derart, dass MV Vf Diagonalgestalt hat Dann ist M V Vf = CM E EfC 1 = CAC 1 mit C := MV E id GLn, K

6 Wiederholung Seien U 1,, U k Untervektorräume von V Dann bedeutet V = U 1 U k, dass V = U U k und = u u k u 1 = = u k = u i U i Es gilt V = U 1 U k dim K V = k i=1 dim KU i Satz Seien V ein K-Vektorraum der endlichen Dimension n und f Hom K V, V Dann sind äquivalent: 1 V besitzt eine Basis aus Eigenvektoren zu f 2 f ist diagonalisierbar 3 P f zerfällt in Linearfaktoren und µp f, λ = dimeigf, λ 4 Sind λ 1,, λ k die verschiedenen Eigenwerte von f, so gilt: V = Eigf, λ 1 Eigf, λ k 1 4: Setze E i := Eigf, λ i, 1 i k, und dim K E i := r i, λ 1,, λ k verschiedene Eigenwerte Dann E := E E k V Da = k i=1 u i mit u i E i und alle u i Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten impliziert, dass alle u i =, folgt die Direktheit der Summe, dh E = E 1 E k Weiter ist dim K E = r r k µf, λ µf, λ k degp f = n 1 2: Es gilt: Av i = λ i v i fv 1 = λ 1 v 1 A = fv n = λ n v n λ 1 λ n also v 1,, v n Basis von V aus Eigenvektoren die Darstellungsmatrix von f ist diagonalisierbar 2 4: f ist diagonalisierbar k i=1 r i = n 2 3: r i = µf, λ i für 1 i k und P f = γ k i=1 t λ i ri Eine quadratische Matrix der Gestalt α1 α n, heiÿt obere Dreiecksmatrix f Hom K n, n heiÿt trigonalisierbar, falls es eine Basis V = v 1,, v n von V gibt, so dass M V V f Dreiecksgestalt hat A M K n, n heiÿt trigonalisierbar, falls LA trigonalisierbar ist, dh falls es eine invertierbare Matrix C M K n, n gibt, so dass CAC 1 Dreiecksgestalt hat Nicht alle Matrizen sind diagonalisierbar: Drehmatrizen um den Winkel α haben zb für α nπ keine Eigenvektoren, also auch keine Eigenwerte und lassen sich damit nicht in Diagonalgestalt überführen Allerdings sind alle Matrizen über C trigonalisierbar: Satz f Hom K V, V ist trigonalisierbar P f zerfällt in Linearfaktoren

7 : Sei MV Vf = α1 α n Dann gilt für das charakteristische Polynom: n n = α i t = 1 n t α i, P f = n dh P f zerfällt in Linearfaktoren : Wir führen eine Induktion über n α1 t α n t i=1 Der Fall n = 1 ist trivial Sei P f = n i=1 α i t mit α i K und α 1 Eigenwert von f zum Eigenvektor v 1 Wir ergänzen zu einer Basis V = v 1,, v n von V Wegen fv 1 = α 1 v 1 + v v n ist A = M V V f = α 1 A 1 und P A = n A ti n = α 1 t n 1 A 1 ti n 1 = α 1 tp A1 = α 1 t i=1 n α i t, also P A1 = n i=2 α i t Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein C GLn 1, K, so dass CAC 1 Dreiecksgestalt hat Also: A = = 1 C α 1 CA 1 C 1 α 1 A 1 α 1 β 2 β n 1 C 1 i=2