Skript Lineare Algebra II Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II von Prof. Dr. Arthur Bartels

Transkript

1 aktuellste Version hier Skript Lineare Algebra II Mitschrift der Vorlesung Lineare Algebra II von Prof. Dr. Arthur Bartels Jannes Bantje 19. Juli 2013 Erstellt mit L A TEX Inhaltsverzeichnis 1. Isometrien Definition Isometrie Satz über Isometrie und das Skalarprodukt Bemerkung für eine Orthonormalbasis Satz über Isometrie und Matrizenprodukt Korollar über die Determinante einer Isometrie Lemma über die Gruppe der Isometrien Definition orthogonale/unitäre Gruppe Bemerkung über die Spalten der Matrizen in O(n Beispiel für (spezielle orthogonale Gruppen Bemerkung über drehende Isometrie Beispiel einer spiegelnden Isometrie Lemma über die Eigenwerte einer Isometrie Satz über die Diagonalisierbarkeit von Isometrien auf unitären Vektorräumen Bemerkung über die Diagonalisierbarkeit von Isometrien auf euklidischen Vektorräumen Volumen und Determinante Definition Parallelotop Bemerkung Prallelotope sind Teilmenge der linearen Hülle Beispiele für Parallelotope Frage: Was ist das Volumen eines n-dimensionalen Prallelotops Beispiel für Probleme bei der Volumenberechnung Definition des Volumen per Determinante Lemma über die betragliche Gleichheit von Determinanten Satz über das Volumen in einem Unterraum Bemerkung über das Volumen eines Parallelotops unter einem Endomorphismus Quotientenräume Lemma über die Existenz einer linearen Abbildung I

2 3.2. Bemerkung über die Quotientenabbildung Definition: Quotientenvektorraum Lemma über die Eindeutigkeit von U /L Definition: Quotientenvektorraum Bemerkung über nicht-kanonisches Komplement und induzierte Abbildung Definition: induzierte Abbildung Lemma über Eigenschaften der induzierten Abbildung Satz über Herleitung von Isomorphie über die induzierten Abbildungen Definition von invarianten/stabilen Funktionen Polynome Definition Polynom, Leitkoeffizient Bemerkung über die von einem Polynom definierte Funktion Berkung über das Multiplizieren mit Null Bemerkung über den Polynomring Bemerkung über Rechenregeln mit dem Grad eines Polynoms Lemma: Der Polynomring ist nullteilerfrei Division mit Rest bei Polynomen Beispiel für Polynomdivision Korollar über Zerlegung mit Hilfe der Nullstelle Bemerkung algebraisch abgeschlossen und Linearfaktoren Der Euklid sche Algorithmus Definition von r teilt s Satz über die Eigenschaften des Ergebnisses des Euklid schen Algorithmus Bemerkung größter gemeinsamer Teiler (ggt Definition irreduzibles Polynom Satz, dass ein irreduzibles Polynom seine Faktoren teilt Bemerkung Definition von prim und Einheit Primfaktorzerlegung in K[X] Definition von Polynomen in End K (V Bemerkung über Rechenregeln Definition Polynomring etc Bemerkung zu einer Definition, die nicht zu einem Ring wird Normalformen Erinnerung an konjugierte Matrizen und Endomorphismen Normalformenproblem Beispiele zu Invarianten Bemerkung, dass Invarianten nicht reichen zur Unterscheidung der Konjugationsklassen Konjugationsklassen in C Bemerkung: Zusammenfassung von Beispiel zweier Matrizen, die alle Kriterien erfüllen, aber nicht konjugiert sind Charakteristisches Polynom Bemerkung zur Definition der Determinante über einem Ring Definition charakteristisches Polynom Bemerkung, dass die Nullstellen mit den Eigenwerten übereinstimmen Bemerkung über die Gleichheit der charakteristischen Polynome konjugierter Matrizen Definition: chrakteristisches Polynom einer Abbildung f Bemerkung über Nullstellen und Eigenwerte Bemerkung über das charakt. Polynom einer Diagonalmatrix Satz über Diagonalisierbarkeit und Linearfaktoren des charakteristischen Polynoms II Inhaltsverzeichnis

3 6.9. Beispiel: Zerfallen einer unteren Dreiecksmatrix in Linearfaktoren Satz: Zerfallen in Linearfaktoren <-> Gestalt der Matrix Satz über Zerlegung des charakteristischen Polynoms mit Hilfe von Unterräumen Lemma: L(v, f ist invariant Definition: zyklischer Endomorphismus Lemma über die Eigenschaften von L(v, f Definition: nilpotenter Endomorphismus Bemerkung: Folgerung über Nilpotenz aus Definition: Stufe Lemma über ein v maximaler Stufe Satz über L(v, f eines v mit maximaler Stufe Zerlegung eines Vektorraums in f-invariante zyklische Unterräume Lemma über einen nilpotenten Endomorphismus Bemerkung Jordankästen Definition: strikte obere Dreiecksmatrix Bemerkung über die Potenz einer strikten oberen Dreiecksmatrix Satz: äquivalente Aussagen über nilpotente Endomorphismen Die Jordansche Normalform Bemerkung und Definition verallgemeinerte Eigenraum Lemma: λ ist der einzige Eigenwert von f Wλ Satz über eine Basis des verallgemeinerten Eigenraumes Lemma über Teiler des charakteristischen Polynoms Lemma über den Schnitt von verallgemeinerten Eigenräumen Satz über Summe der verallg. Eigenräume und χ f, wenn dies in Linearfaktoren zerfällt Jordansche Normalform Proposition: Binomischer Lehrsatz für Endomorphismen Jordan-Chevalley-Zerlegung Definition: unipotenter Endomorphismus Bemerkung über unipotente Endomorphismen Multiplikative Jordan-Chevalley-Zerlegung Das Minimalpolynom Erinnerung an zyklische Unterräume Lemma über Gestalt von χ f in Satz von Cayley-Hamilton Satz über Eigenschaften des Minimalpolynoms Definition Minimalpolynom Lemma: Nullstellen von p f sind Eigenwerte von chi f Lemma über das Minimalpolynom, wenn f diagonalisierbar Lemma: p f ist Produkt von verschiedenen Linearfaktoren f ist diagonalisierbar Satz: die Diagonalisierbarkeit von f Gestalt von p f Beispiel: Minimalpolynom eines Jordankastens Satz über die Gestalt von p f, hergeleitet aus der JNF Lemma über Vertäglichkeit von m B B mit dem Minimalpolynom Korollar über Gleichheit der Minimalpolynome von f und m B B (f Bemerkung: Die Einsetzungshomomorphismen und m B B sind Ringhomomorphismen Bemerkung über Bilder der Einsetzungshomomorphismen Satz: des Kochrezepts für die Jordan-Normalform Euklidische Ringe und Hauptidealringe Definiton Ideal Inhaltsverzeichnis III

4 9.2. Beispiele für Ideale Definition Einheit Lemma über Ideale und Einheiten Bemerkung über die Ideale eines Körpers Definition: kleinstes und erzeugtes Ideal Definition: Hauptideal Definition Integritätsring und Hauptidealring Definition: Euklidischer Ring und Gradfunktion Beispiel für euklidische Ringe Satz: Euklidische Ringe sind Hauptidealringe Definition von irreduzibel und prim in Integritätsringen Lemma: prim impliziert irreduzibel Satz: In Hauptidealringen ist prim äquivalent zu irreduzibel Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung in Hauptidealringen Lemma über eine aufsteigende Folge von Idealen Eindeutige Primfaktorzerlegung in Hauptidealringen Definition: Ring der Gaußsche Zahlen Lemma: Der Ring der Gaußschen Zahlen ist ein Hauptidealring Lemma: Einheiten in den Gaußschen Zahlen Satz: Lösung von x = y Tensorprodukte Wiederholung: bilineare Abbildungen Definition Tensorprodukt Bemerkung zur Eindeutigkeit des Tensorprodukts Bemerkung: Verstehen bilinearer Abbildungen und das Tensorprodukt Definition: K-Vektorraum K[X] Bemerkung: Basis von K[M] Konstruktion von V W Nachweis der universellen Eigenschaft für V W Satz: Zusammensetzung einer Basis von V W durch Basen von V und W Bemerkung über den Vektorraum V L Lemma: Basis von V L Bemerkung über L-lineare Abbildung von V L nach W L Bemerkung über Matrizen von f und f L Bezeichnung von V als Untervektorraum von V L Beispiel anhand eines R-Vektorraums V Die Jordansche Normalform über R Lemma über Eigenschaften reeller Polynome Bemerkung: Liste der irreduziblen Polynome in R[X] Satz über Zerlegung des Minimalpolynoms in teilerfremde Polynome Proposition: Erhalten einer R-Basis von V durch die Komplemente von V C Notation: komplex konjugiertes Polynom Lemma: Gleichheit der Minimalpolynome eines Endomorphismus und seiner Komplexifizierung Proposition: Jordansche Normalform mit 2 2-Matrizen auf der Diagonalen Definition: verallgemeinerter Jordankasten Satz: Jordansche Normalform über R Der Dualraum Definition: Dualraum Lemma: Basis des Dualraums IV Inhaltsverzeichnis

5 12.3. Definition: Duale Basis Korollar: Isomorphismus zwischen endlich dimensionalem Vektorraum und seinem Dualraum Bemerkung: Dieser Isomorphismus ist nicht kanonisch Bermerkung zur vermeintlichen Basis B von V im unendlichdimensionalen Fall Definition: Duale Abbildung Proposition: Rechenregeln mit dualen Abbildungen Proposition: Bilden von Matrizen der dualen Abbildung Lemma: Kanonischer Isomorphismus zwischen euklidischem Vektorraum und seinem Dualraum Bemerkung: Abbildung einer Orthonormalbasis Bemerkung: In unitären Vektorräumen existiert dieser Isomorphismus nicht Proposition zum adjungierten Homomorphismus Lemma: Rechenregeln für adjungierte Homomorphismen Proposition: Die duale Abbildung und die adjungierte Abbildung sind isomorph Bemerkung Bemerkung: Charakterisierung von selbstadjungierten Endomorphismen und Isometrien durch f Lemma: Vergleich der Matrizen von f und f Normale Endomorphismen Definition: Normaler Endomorphismus Beispiel Lemma: Charakterisierung von "normal"mit Hilfe des Sklarprodukts Lemma: Eigenschaften normaler Endomorphismen bezüglich Kern und Eigenvektoren Lemma über f-invarianz eines Unterraums und seines orthogonalen Komplements Lemma über einen Unterraum, der sowohl f- als auch f -invariant ist Spektralsatz Moduln Definition: R-Modul Beispiele verschiedener Module Definition: Untermodul Definition: Quotientenmodul Beispiel Definition: Erzeugendensystem von Moduln Beispiel Beispiel Definition: R-linear Bemerkung Definition: Kokern Lemma Definition: Isomorph Bemerkung Definition: Kurze exakte Folge Lemma: Kurze exakte Folge endlich erzeugter Moduln Satz über Untermoduln von R n, wenn R Hauptidealring ist Satz Bemerkung Elementarmatrizen Lemma über die Kokerne zweier R-linearen Abbildungen Korollar: Die Kokerne zweier Matrizen, die auseinander hervorgehen, sind isomorph Satz: Erzeugen einer Diagonalmatrix im Fall euklidischer Ringe Inhaltsverzeichnis V

6 14.24.Bemerkung Satz: Konstruktion eines isomorphen Moduls mit R n Beispiel Klassifikationssatz für endlich erzeugte Z-Moduln Proposition A. Ausblick in die Algebra 60 A.1. Fundamentalsatz der Algebra A.2. Definition A.3. Definition A.4. Satz A.5. Konstruktion mit Zirkel und Lineal B. Fragestunde 60 B.1. Sind Linearfaktoren immer irreduzibel? B.2. Beispiel Z[X] Index Abbildungsverzeichnis A B VI Inhaltsverzeichnis

7 1. Isometrien 1.1. Definition Jannes Bantje Mitschrift Lineare Algebra II Stand: 19. Juli :21 Sei (V, ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus f : V V heißt eine Isometrie, falls für alle v V gilt: f(v = v ( Länge bleibt erhalten 1.2. Satz f Isometrie v, w V gilt f(v f(w = v w ( Gilt ( so folgt f(v 2 = f(v f(v = ( v v = v 2 Da f(v, v 0 folgt f(v = v. Sei nun umgekehrt f eine Isometrie. Für v, w V gilt dann f(v + w f(v + w = v + w v + w Also f(v f(v + f(v f(w + f(w f(v + f(w f(w = v v + v w + w v + w w Wegen f(v f(v = v v und f(w f(w = w w folgt f(v f(w + f(w f(v = v w + w v ( Ist V euklidisch so f(v f(w = f(w f(v und v w = w v und es folgt f(v f(w = v w. Ist V unitär so folgt nur Re f(v f(w = Re v w Es gilt aber auch f(v + iw f(v + iw = v + iw v + iw. Damit folgt analog zu ( Also f(v if(w + i(fw f(v = v iw + iw v i f(v f(w + i f(w f(v = i v w + i w v f(v f(w f(w f(v = v w w v (Multiplikation mit i Es folgt Im f(v f(w = Im v w 1.3. Bemerkung Sei e 1,..., e n eine Orthonormalbasis von V und f End(V. Dann ist f genau dann eine Isometrie, wenn gilt f(e i f(e j = δ ij für i, j = 1,..., n 1. Isometrien 1

8 1.4. Satz Sei B = (e 1,..., e n eine Orthonormalbasis und f End(V. Sei A = m B B (f Dann gilt: f ist Isometrie A A t = I n Es ist A = (a ij mit a ij = f(e j e i da f(e j = n i=1 f(e j e i e i ist. Sei f eine Isometrie. Dann n A A t = f(e j e i f(e j e k =: (b ik ik j=1 Da f eine Isometrie ist, ist f(b = f(e 1,..., f(e n auch eine Orthonormalbasis und es folgt b ik = n f(e j e i e k f(e j j=1 n = e k f(e j f(e j e i j=1 = e k e i = δ ki Sei A A t = I n. Dann ist auch A t A = I n und wir erhalten für alle i, k Es folgt ik n f(e i e j f(e k e j = δ ik j=1 n n f(e k f(e i = f(e k e j e j f(e i e j e j j=1 j=1 n = f(e k e j f(e i e j j=1 (Bilinearität (e k da f(b ONB ist = δ ik 1.5. Korollar Ist f eine Isometrie eines endlich dimensionalen euklidischen oder unitären Vektorraums, so ist det f = 1 Sei B Orthonormalbasis von V, A = m B B (f. Dann det f = det A = det A t = det A t Nach 1.4 folgt Also det f = 1 det f det f = det A det A t = det(a A t = det(i n = Isometrien

9 1.6. Lemma Sei V euklidischer oder unitärer Vektorraum. Seien f, g : V V Isometrien a f g ist eine Isometrie b f ist injektiv surjektiv, wenn dim V < c Ist f bijektiv, so ist auch f 1 eine Isometrie Insbesondere bilden die Isometrien eine Gruppe, falls dim V < a f g(v = f Isometrie g(v = g Isometrie v b Sei f(v = 0 = v = f(v = 0 = 0 v = 0 c f 1 (v = f ( f 1 (v = v 1.7. Definition (i Sei V eine endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum O(V := {f End(V f Ist Isometrie} heißt die orthogonale Gruppe von V. Die Untergruppe SO(V := {f O(V det f = 1} heißt die spezielle orthogonale Gruppe von V. Ist V = R n mit dem Standard-Skalarprodukt, so schreiben wir auch O(n := O(R n bzw SO(n := SO(R n (ii Sei V eine endlich dimensionaler unitärer Vektorraum U(V := {f End(V f ist Isometrie} heißt die unitäre Gruppe von V. Die Untergruppe SU(V := {f U(V det f = 1} heißt die spezielle unitäre Gruppe von V. Ist V = C n mit dem Standard-Skalarprodukt, so schreiben wir auch U(n := U(C n bzw SU(n := SU(C n 1.8. Bemerkung Wegen 1.3 ist O(n die Menge der Matrizen deren Spalten eine Orthonormalbasis von R n (mit Standardskalarprodukt bilden. U(n ist die Menge der Matrizen deren Spalten eine Orthonormalbasis von C n (mit Standardskalarprodukt bilden Beispiel {( a εb O(2 = a 2 + b 2 = 1, ε {±1}} b εa {( {( a b SO(2 = a 2 + b 2 cos ϕ sin ϕ = 1 a, b R} = ϕ [0, 2π} b a sin ϕ cos ϕ 1. Isometrien 3

10 1.10. Bemerkung ( cos ϕ sin ϕ D(ϕ := wirkt als Drehung um den Winkel ϕ um den Nullpunkt auf R sin ϕ cos ϕ Beispiel Sei S = ( 1 0 O(2 \ SO(2 0 1 S wirkt als Spiegelung an der Achse e 1. Es ist S 2 = I 2. Es gilt O(2 = SO(2 SO(2 S. Jedes Element in SO(2 S ist eine Spiegelung. e 2 Abbildung 1: Veranschaulichung von Elementen in SO(2 S e 2 D(ϕe 1 = (D(ϕSe 1 e 1 = Se 1 e 1 Se 2 = e 2 (D(ϕSe Lemma Sei f : V V eine Isometrie. (i Ist λ ein Eigenwert von f so gilt λ = 1 (ii Ist U V mit f(u = U so gilt f(u U (i Sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Dann v = f(v = λ v = λ v v 0 v 0. Also λ = 1. (ii Sei v U. Zu zeigen: u U : f(v u = 0. Sei u U. Da U = f(u gibt es u U mit f(u = u. Also f(v u = f(v f(u = (1.2 v u = v U Isometrien

11 1.13. Satz Sei V ein endlichen dimensionaler unitärer Vektorraum. Dann sind alle f U(V diagonalisierbar 1. (vgl LinA I Induktion nach n := dim V. Induktionsanfang: n = 0 Induktionsschritt: n 1 n Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat χ f eine Nullstelle und f damit einen Eigenvektor v. Sei U := v. Dann dim U = n 1. Wegen (1.12 (i ist f(v = v. Aus (1.12 (ii folgt f(u U. Weiter ist f 0 := f U : U U eine Isometrie. Induktionsannahme Basis aus Eigenvektoren B 0 für f 0. Dann ist B = {v} B 0 eine Basis aus Eigenvektoren für f. Bemerkung In (1.13 gibt es sogar eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren für f Bemerkung Ist V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum so sind nicht alle f O(V diagonalisierbar. f O(2 ist genau dann diagonalisierbar wenn f {±I 2 } oder f eine Spiegelung ist. Aber es existiert eine Orthonormalbasis von f mit m B B(f = D(ϕ 1 D(ϕ 2... D(ϕi I n I n 1 Basis B mit m B B (f Diagonalmatrix oder Basis B aus EV von f 1. Isometrien 5

12 2. Volumen und Determinante 2.1. Definition Sei V ein R-Vektorraum, v 1,..., v r V Dann heißt { r } P (v 1,..., v r := t i v i t i [0, 1] i=1 der von v 1,..., v r aufgespannte Parallelotop. Ist v 1,..., v r linear unabhängig, so heißt P (v 1,..., v r r-dimensional Bemerkung P (v 1,..., v r v 1,..., v r = L ( {v 1,..., v r } 2.3. Beispiel (i V = R n, P (e 1,..., e n = t 1 t n t i [0, 1] (ii P (e 1, e 2 Quadrat der Kantenlänge 1. (iii P (e 1, e 2, e 3 Würfel der Kantenlänge 1. Abbildung 2: einfache Parallelotope in R 2 bzw. R 3 (iv P (v 1, v 2 v 2 + v 1 v 1 + v 2 v 2 P (v 1, v 2 v 1 Abbildung 3: Parallelotop von Nicht-Standardvektoren in R Volumen und Determinante

13 2.4. Frage Was ist das Volumen eines n-dimensionalen Parallelotops in R n? In anderen R-Vektorraum? Es sollte gelten: ( (1 Vol R n P (e1,..., e n = 1 ( (2 Vol R n P (λ1 e 1,..., λ n e n = λ 1 λ n (3 v 1,..., v n linear abhängig = Vol R n(v 1,..., v n = 0 (4 Mit U := v 1,..., v n 1 ( Vol R n P (v1,..., v n ( = Vol U P (v1,..., v n 1 v n P U (v n wobei P U : V U die orthogonale Projektion ist. Abbildung 4: Veranschaulichung von 2.4( Beispiel Vol R n (P (v 1,..., v i + v i, v i+1,..., v n =? Vol R 2 (P (v 1, v 2 + Vol R 2 (P (v 1, v 2 = Vol R 2 (P (v 1, v 2 + v 2 Aber: Vol R 2 (P (v 1, v 2 + ˆv 2 = Vol R 2 (P (v 1, v 2 Vol R 2 (P (v 1, ˆv 2 v 2 + v 2 v 2 v 2 v 2 + ˆv 2 v 2 v 1 v 1 ˆv 2 Abbildung 5: Veranschaulichung von Beispiel Definition Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Sei P = P (v 1,..., v n ein n-dimensionales Parallelotop in V. Sei (e 1,..., e n eine Orthonormalbasis von V und f : V V linear mit f(e i = v i. Wir definieren Vol(P := det f Wir werden sehen, dass dies nicht von der Wahl der Orthonormalbasis abhängt. Offensichtlich sind (1 - (3 aus 2.4 erfüllt. 2. Volumen und Determinante 7

14 2.7. Lemma Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Seien v 1,..., v n V und B = (e 1,..., e n und B = (e 1,..., e n zwei Orthonormalbasen. Seien f, f : V V mit f(e i = v i = f (e i. Dann gilt det f = det f Sei ϕ O(V mit ϕ(e i = e i. Dann f = f ϕ. Also det f = det(f ϕ = det f det ϕ Da ϕ eine Isometrie ist, gilt det ϕ = 1. Es folgt det f = det f 2.8. Satz Sei V ein euklidischer Vektorraum, dim V = n. Sei P = P (v 1,..., v n ein n-dimensionaler Parallelotop in V. Sei U := v 1,..., v n 1. Dann ist Vol V (P = Vol U (P (v 1,..., v n 1 v n P U (v n wobei P U : V U die orthogonale Projektion 2 von V auf U ist. Sei B = (e 1,..., e n eine Orthonormalbasis von V so, dass B = (e 1,..., e n 1 eine Orthonormalbasis von U ist. Sei f End(V mit f(e i = v i. Also Vol V (P = det f Vol U (P (v 1,..., v n 1 = det f U Es ist f(e n e 1 m B m B B B(f = (f U f(e n e f(e n e n Also det f = (det f U f(e n e n n n 1 v n P U (v n = v n e i e i v n e i e i = v n e n e n = v n e n = f(e n e n 2.9. Bemerkung i=1 i=1 Sei V ein euklidischer Vektorraum, dim V = n. Sei f End(V. Dann gilt für jeden Parallelotop P = P (v 1,..., v n mit f(p = P ( f(v 1,..., f(v n Vol V ( f(p = det f VolV (P 2 U V, V eukl. VR, dim V <, BildP U = U, P U P U = P U, P U (v ist der Vektor in U mit minimalem Abstand zu V, Formel: P U (v = r i=1 v e i e i wobei e 1,..., e r ONB von U 8 2. Volumen und Determinante

15 3. Quotientenräume 3.1. Lemma Seien f : U V, ϕ : U W lineare Abbildungen wobei f surjektiv sei. Genau dann gibt es eine lineare Abbildung φ : V W mit ϕ = φ f, wenn Kern f Kern ϕ ist. Gilt φ f = ϕ so ist Kern f Kern ϕ. Sei umgekehrt Kern f Kern ϕ. Sei v V. Dann ist ϕ auf den Urbildern von v konstant: Ist f(u = v = f(u so gilt u u Kern f Kern ϕ. Also ϕ(u u = 0 ϕ(u = ϕ(u. Da außerdem f surjektiv ist, gibt es eine eindeutige Abbildung φ : V W mit φ(v = ϕ(u für alle u U, v V mit f(u = v. Insbesondere ϕ = φ f. φ ist linear Seien v, v V. Wähle u, u U mit f(u = v, f(u = v. Dann ist auch f(u + u = v + v. Daher f U V ϕ φ W φ(v + v = ϕ(u + u = ϕ(u + ϕ(u = φ(v + φ(v Genauso φ(λv = λφ(v Bemerkung Sei f : U V linear und surjektiv. Sei L := Kern f. Dann nennen wir f eine Quotientenabbildung zum Unterraum L von U. Durch u u : f(u = f(u wird eine Äquivalenzrelation auf U erklärt; es gilt u u u u Kern f = L Die Äquivalenzklassen sind die Urbilder von Vektoren aus V und haben die Form u + L := {u + l l L} Eine Teilmenge dieser Form heißt ein affiner Unterraum von U mit Richtung L Defintion Sei L ein Unterraum von U. Die Äquivalenzklassen von u u : u u L sind die affinen Unterräume von U mit Richtung L. Die Menge aller Äquivalenzklassen, also die Menge aller affinen Unterräume von U mit Richtung L, bezeichnen wir mit U /L. Sei p : U U /L die Quotientenabbildung mit p(u = u + L Lemma Es gibt genau eine Vektorraumstruktur auf U /L, so dass p : U U /L linear wird. Es gilt dann Da p linear sein soll muss gelten: (u + L + (u + L = (u + u + L λ(u + L = λu + L (u 1 + L + (u 2 + L = (u 1 + u 2 + L ( λ(u + L = (λu + L (# Damit folgt die Eindeutigkeit. Wir müssen zeigen, dass ( und (# wohldefiniert sind. Zu (#: Sei u +L = u+l und λ K. Wir müssen zeigen: λu +L = λu+l. Da u +L = u+l ist u u +L. Also gibt es l L mit u = u + l. Also u u L. Dann auch λu λu L und damit λu + L = λu + L. ( genauso. Die Vektorraumaxiome für U /L folgen leicht aus denen für U. 3. Quotientenräume 9

16 3.5. Definition Mit dieser Vektorraumstruktur heißt U /L der Quotientenvektorraum von U durch L. p(l = 0 + L 3.6. Bemerkung Der Kern der Projektion p : U U /L ist L. Es gibt also zu jedem Unterraum L von U eine surjektive Abbildung mit Kern L. Alternativ könnte man ein Komplement K zu L wählen U = L K und p : U K mit p(l + k = k betrachten. Diese Alternative ist aber nicht kanonisch, sie erfordert die Wahl von K. Ist zum Beispiel f End(U mit f(l L, gibt es nicht immer ein Komplement K von L mit f(k K. Andererseits induziert f mit f(l L eine lineare Abbildung F : U /L U /L mit F (u + L = f(u + L. Wegen f(l L ist diese wohldefiniert Definition Seien L 0 U 0, L 1 U 1 Unterräume und f : U 0 U 1 linear mit f(l 0 L 1. Dann heißt F : U0 /L 0 U1 /L 1 mit F (u + L 0 := f(u + L 1 die von f induzierte Abbildung. F ist wohldefiniert, da f(l 0 L 1 und linear, da f linear ist Lemma Seien L 0 U 0, L 1 U 1 Unterräume, f : U 0 U 1 linear mit f(l 0 L 1 i F ist die eindeutige bestimmte lineare Abbildung F : U0 /L 0 U1 /L 1 für die F p 0 = p 1 f ist, also Abb. 6 kommutiert. f L 0 p 0 L 0 U 0 U 0 /L 0 f p 1 L 1 U 1 U 1 /L 1 F Abbildung 6: Kommutierendes Diagramm zu Lemma 3.8 ii Sind f L0 : L 0 L 1 und F : U0 /L 0 U1 /L 1 bijektiv, so ist auch f bijektiv. i folgt aus (3.1 ii Seien f L0 und F bijektiv. f ist injektiv: Sei f(u = 0. Dann F ( p 0 (u = p 1 ( f(u = p1 (0 = 0 Da F bijektiv ist, ist p 0 (u = 0. Also u Kern p 0 = L 0. Nun ist f L0 (u = f(u = 0. Da f L0 bijektiv ist, folgt u = 0. f ist surjektiv Sei u 1 U 1. Da F surjektiv ist, gibt es u 0 + L 0 U0 /L 0 mit F (u 0 + L 0 = u 1 + L 1. Da F (u 0 + L 0 = f(u 0 + L 1 also u 1 f(u 0 L 1. Da f L0 surjektiv ist, gibt es l 0 L 0 mit f(l 0 = u 1 f(u 0. Es folgt f(l 0 + u 0 = f(l 0 + f(u 0 = u 1 f(u 0 + f(u 0 = u Quotientenräume

17 3.9. Satz Sei f : V W linear. Seien 0 = V 0 V 1... V r = V und 0 = W 0 W 1... W r = W mit f(v i W i für i = 0,..., r. Sei f i : Vi /V i 1 Wi /W i 1 die durch f Vi induzierte Abbildung für i = 1,..., r. Sind alle f i Isomorphismen, so ist auch f ein Isomorphismus. Induktion nach r mittels (3.8 ii Definition Sei f End(U. Ein Unterraum L U mit f(l L heißt f-stabil oder f-invariant. Es wird dann ein Endomorphismus F End( U /L induziert. 3. Quotientenräume 11

18 4. Polynome 4.1. Definition Jannes Bantje Mitschrift Lineare Algebra II Stand: 19. Juli :21 Sei K ein Körper. Ein formaler Ausdruck der Form p = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 mit a n,..., a 0 K heißt ein Polynom mit Koeffizienten in K. Die Menge aller Polynome wird mit K[X] bezeichnet. Ist a n 0 so sagen wir: p hat den Grad d(p := n und den Leitkoeffizienten l(p := a n. Polynome mit a i = 0 für i 1 heißen konstant. Für das Nullpolynom 0 := (0 x n setzen wir d(0 := und l(0 := 0. Ist l(p = 1 so heißt p normiert Bemerkung Durch λ p(λ := a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 wird eine Abbildung f p : K K definiert. Es gibt aber Beispiele (K = F 2, p = X 2 + X in denen p 0 aber f p = 0. Also sollte man zwischen dem Polynom p und der zugehörigen Funktion f p unterscheiden Bemerkung 4.4. Bemerkung Durch und 0 X n = 0 ( n ( n a k X k + b k X k := k=0 k=0 ( n ( m a k X k b l X l := k=0 l=0 n (a k + b k X k k=0 n+m j=0 k+l=j a k b l X j wird K[X] zu einem kommutativen Ring. Das Einselement ist das konstante Polynom 1, das Nullelement ist das Nullpolynom 0. Beispiel K = Q Bemerkung Es gelten: (x 2 + x + 4 (x + 3 = x 3 + 4x 2 + 7x + 12 d(p q = d(p + d(q (sogar für p = 0 oder q = 0 l(p q = l(p l(q d(p + q max{d(p, d(q} Polynome

19 4.6. Lemma K[X] ist nullteilerfrei, d.h. aus p q = 0 folgt p = 0 oder q = 0. p q = 0 = = d(p q = d(p + d(q d(p = oder d(q = p = 0 oder q = Division mit Rest Für f, g K[X], g 0 gibt es eine eindeutige Darstellung f = q g + r mit d(r < d(g. Eindeutigkeit: Sei f = q 0 g + r 0 = q 1 g + r 1, d(r 0, d(r 1 < d(g. (q 0 q 1 g = r 1 r 0 d(r 1 r 0 < d(g Es folgt d(q 0 q 1 = d(r 1 r 0 =, da d(g 0. Also q 0 = q 1 und r 1 = r 0. Existenz: Per Induktion nach d(f. Ist d(f < d(g so setze q = 0, r = f. Sei also f = ax n+k +..., g = bx n +... mit k 0. Dann hat f a b Xk g einen kleineren Grad als f und es gibt per Induktion q 0, r 0 mit d(r 0 < d(g und ( f a b xk g = q 0 g + r 0 Dann Also f = q g + r Beispiel schriftliche Division f = (q 0 + a b xk g + r 0 }{{} :=q 4.9. Korollar (x 3 2x 2 4x + 8 = (x 2 + x 2 (x 3 + (x + 2 Ist α K eine Nullstelle von p K[X], d.h. p(α = 0, so gilt p = q (X α mit q K[X] Division mit Rest: p = q(x α + r mit d(r < 1, also r K konstant. Mit Einsetzen folgt Beispiele: 0 = p(α = q(α (α α + r = r α = 2 ist Nullstelle von x 3 2x 2 4x + 8 = (x + 2(x 2 2 (x 3 2x 2 4x + 8 : (x 2 = x 2 4 = (x + 2(x 2 α = 2 ist Nullstelle von x 3 + x 2 2x 2 R[K] 4. Polynome 13

20 4.10. Bemerkung Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht konstante Polynom p K[X] eine Nullstelle in K hat. Es folgt dann, dass jedes Polynom ein Produkt von Linearfaktoren (x α i und einem konstanten Polynom ist: p = l(p(x α 1... (X α n wobei α i die Nullstellen von p (mit Vielfachheit! sind. Man sagt p zerfällt in Linearfaktoren Der Euklid sche Algorithmus Seien f 1, f 2 K[X], beide ungleich 0, mit d(f 2 d(f 1. Wiederholte Division mit Rest liefert: f 1 = q 1 f 2 + f 3 d(f 3 < d(f 2 f 2 = q 2 f 3 + f 4 d(f 4 < d(f 3 f n 1 = q n 1 f n Da d(f i fällt, muss irgendwann der Rest Null auftreten und der Algorithmus endet = = = = = x 3 2x 2 4x + 8 = ( x 2 + x 2 (x 3 + (x 2 x 2 + x 2 = (x + 2 (x Definition Sei R ein kommutativer Ring. Seien r, s R. Wir sagen r teilt s (in Zeichen: r s, wenn es q R gibt mit q r = s Satz Seien f 1, f 2 und d := f n wie in (4.11. Dann gelten: a d f 1 und d f 2 b Gilt für g K[X] g f 1 und g f 2, so gilt auch g d c Es gibt p 1, p 2 K[X] mit d = p 1 f 1 + p 2 f 2 a Es gilt d f k, d f k 1 d f k 2. Induktiv folgt, (4.11 aufsteigend, d f 1 und d f 2 b Es gilt g f k und g f k+1 = g f k+2. Induktiv folgt, (4.11 absteigend, g f n = d Polynome

21 c Sei f k = v k f 1 + u k f 2 und f k+1 = v k+1 f 1 + u k+1 f 2. Dann folgt f k+2 = f k q k f k+1 = v k f 1 + u k f 2 q k v k+1 f 1 q k u k+1 f 2 = (v k q k v k+1 f 1 + (u k q k u k+1 f 2 Induktiv, (4.11 absteigend, folgt die Behauptung: d = f n = p 1 f 1 + p 2 f 2 p 1 = v n 2 q n 2 v n 1 p 2 = u n 2 q n 2 u n Bemerkung Wegen a und b nennen wir d einen größten gemeinsamen Teiler(ggT von f 1 und f 2. Er ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einem konstanten Polynom ungleich Definition Ein nichtkonstantes Polynom f heißt irreduzibel, wenn für jede Faktorisierung f = g h in K[X] gilt g oder h ist konstant Satz Sei f irreduzibel und es gelte f g h. Dann gilt f g oder f h. Angenommen f g. Da f irreduzibel ist, ist dann 1 der ggt von f und g. Mit (4.13 c p, q K[X] mit 1 = p f + q g Dann 1 h = h p f + h q g. Da f h p f und f h q g = q g h folgt f h. die konstanten Polonome sind die Einheiten des Polynomrings Bemerkung In nullteilerfreien kommutativen Ringen heißen Elemente p R, p 0, p R = { v R v 1 R : 1 = v v 1} mit der Eigenschaft (p a b p a p b auch prim. (R ist die Menge aller Einheiten auf R Wegen (4.16 sind irreduzible Polynome prim Primfaktorzerlegung in K[X] Jedes nichtkonstante Polynom f besitzt eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Produktzerlegung als f = a p 1... p k a = l(f, l(p i = 1, p 1,..., p k irreduzibel Existenz: Eine Produktzerlegung von f kann nicht mehr als d(f nicht-konstante Faktoren haben. In einer Zerlegung mit maximaler Faktorzahl sind daher alle nichtkonstanten Faktoren irreduzibel. Durch Multiplikation geeigneter Konstanten erreichen wir, dass sie alle normiert sind. Eindeutigkeit Seien f = a p 1... p k = a q 1... q l zwei solche Zerlegungen. Da p 1 f folgt mit (4.13, dass es ein j gibt mit p 1 q j. Da q j irreduzibel ist und p 1 und q j normiert sind, folgt p 1 = q j. Die Eindeutigkeit folgt nun per Induktion. 4. Polynome 15

22 4.19. Definition Sei f End K (V und p = a n X n + a n 1 X n a 0 = Dann setzen wir n a k X k K[X] k=0 p(f := a n f n + a n 1 f n a 1 f + a 0 id V = Bemerkung n a k f k End K (V k=0 (p + q(f = p(f + q(f (p q(f = p(f q(f (c(f = c id V c K[X] konstant (da f 0 = id V Definition Sei R ein Ring. { n } R[X] := r k X k n N, r 0,..., r n R k=0 { } R X := r k X k r 0,..., r n R k=0 { n } R[X, X 1 ] := r k X k n, m N, r m, r m+1,..., r n R k= m { } R X [X 1 ] := r k X k m N, r m, r m+1,..., r n R k= m werden durch die Multiplikation und Addition aus (4.4 zu Ringen. R[X] R X R[X, X 1 ] R X [X 1 ] Polynomring über R Ring der formalen Potenzreihen Ring der Laurent-Polynome Ring der formalen Laurent-Reihen Bemerkung { } r k x k r k R für k Z k= wird nicht durch (4.4 zu einem Ring. Die Multiplikation aus (4.4 ist nicht sinnvoll Polynome

23 5. Normalformen 5.1. Erinnerung Jannes Bantje Mitschrift Lineare Algebra II Stand: 19. Juli :21 Matrizen A 1, A 2 K n n heißen ähnlich (bzw. konjugiert, wenn es S GL(n, K gibt mit A 1 = SA 2 S 1. Endomorphismen f 1, f 2 End(V heißen konjugiert, wenn es ϕ GL(V gibt mit f 1 = ϕf 2 ϕ 1. Sind B 1 und B 2 zwei endliche Basen von V, so sind f 1 und f 2 genau dann konjugiert, wenn A 1 := m B1 B 1 (f 1 und A 2 := m B2 B 2 (f 2 konjugiert sind. Insbesondere sind m B1 B 1 (f 1 und m B2 B 2 (f 2 konjugiert Normalformenproblem Für Matrizen bezüglich Konjugation: (1 Bestimmung aller Äquivalenzklassen bezüglich Konjugation (=Konjugationsklassen auf K n n. (2 Bestimmung eines ausgezeichneten (möglichst einfachen Elements in jeder Konjugationsklasse. Ein solches Element nennen wir dann die Normalform für die Konjugationsklasse. (3 Bestimmung von Invarianten für Konjugationsklassen. (im Bezug auf die Äquivalenz von Matrizen ist dies recht simpel 5.3. Beispiel i det : K n n K und Sp : K n n K und rg : K n n N sind Invarianten für Konjugationsklassen: Sind A und B konjugiert, so gilt det A = det B und Sp A = Sp B. ii Die Menge der Eigenwerte ist ebenfalls invariant unter Konjugation: Ist A 1 konjugiert zu A 2, so gilt {λ λ ist Eigenwert zu A 1 } = {λ λ ist Eigenwert zu A 2 } 5.4. Bemerkung Die Invarianten aus (5.3 sind nicht stark genug, um alle Konjugationsklassen zu unterscheiden: 0 = ( und N = ( sind nicht konjugiert, obwohl Sp 0 = Sp N = 0, det 0 = det N = 0 und sowohl 0 als auch N nur 0 als Eigenwert haben. (Aber: rg = 0 1 = rg N 5.5. Konjugationsklassen in C 2 2 Sei A C 2 2. Da C algebraisch abgeschlossen ist, besitzt A mindestens einen Eigenwert λ. Wir unterscheiden zwei Fälle: 1 A besitzt zwei verschiedene Eigenwerte λ µ. Dann ist A diagonalisierbar und damit konjugiert zu ( λ 0 0 µ. In diesem Fall bestimmt die Menge der Eigenwerte die Konjugationsklasse von A. 2 A besitzt nur λ als Eigenwert: Ergänze einen Eigenvektor v zu einer Basis B = (v, w von C 2 2. Dann ist A konjugiert zu A := m B B (A = ( λ α 0 β. Da β eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, ist β ein Eigenwert. Also β = λ. Also auch A = ( λ α 0 λ. Es ergeben sich zwei Unterfälle: a α = 0. Dann A = ( λ 0 0 λ = λ I2. Da λ I 2 = S(λ I 2 S 1 für alle S GL(2, C folgt A = λ I 2 und die Konjugationsklasse von A besteht genau aus A. 5. Normalformen 17

24 b α 0. Ist λ 0, so sei w = w α λ v. Ist λ = 0, so sei w = w α. Mit B = (v, w gilt: Also ist A konjugiert zu ( λ 1 0 λ Bemerkung ( λ 1 m B B (A = 0 λ Man kann (5.5 so zusammenfassen: A, B C 2 2 sind genau dann konjugiert wenn: (i Eigenwert A = Eigenwert B (ii A ist genau dann diagonalisierbar, wenn B diagonalisierbar ist. Die Matrizen ( ( λ 0 0 µ und λ 1 0 λ mit λ, µ C sind die Normalformen für Konjugationsklassen in C 2 2. Im ersten Fall ist diese Normalform für λ µ nicht ganz eindeutig da ( λ µ ( µ 5.7. Beispiel ( ( det = 1 = det ( ( Sp = 2 = Sp ( ( rg = 2 = rg ( ( EW von = {1} = EW von Aber ( und ( sind nicht konjugiert. (warum? λ Normalformen

25 6. Charakteristisches Polynom 6.1. Bemerkung Die Determinante det : K n n K lässt sich durch dieselbe Formel wie über einen Körper auch für Matrizen über einen kommutativen Ring erklären: det R R n n R. Es gilt: (i det R (I n = 1 (ii det R (A B = det R A det R B (iii A R n n ist invertierbar det R A R ist invertierbar. analog: det A ist eine Einheit 6.2. Definition Sei A K n n. Dann ist (X I n A K[X] n n. Das Polynom χ A := det K[X] (X I n A K[X] heißt das charakteristische Polynom von A. χ A ist ein normiertes Polynom vom Grad n Bemerkung Es gilt für λ K χ A (λ = det K (λ I n A K Insbesondere gilt: Die Eigenwerte von A sind genau die Nullstellen von χ A Bemerkung Sei A K n n, S GL(n, K. Die charakteristischen Polynome konjugierter Matrizen stimmen überein: χ SAS 1 ( = det X In SAS 1 ( = det SXIn S 1 SAS 1 ( = det S (X In AS 1 K[X] K[X] K[X] = det S det (X I n A det K K[X] K = det K[X] (X I n A = χ A S Definition Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Sei f End(V und B eine Basis von V. Dann hängt χ f := χ m B B (f nur von f und nicht von der Wahl von B ab und heißt das charakteristische Polynom von f Bemerkung Die Nullstellen von χ f sind genau die Eigenwerte von f. 6. Charakteristisches Polynom 19

26 6.7. Bemerkung Ist A = diag(λ 1,..., λ n, so (x λ 1 χ A = det (x λ 2 = (x λ 1... (x λ n K[X] (x λ n Insbesondere zerfällt χ A in Linearfaktoren. Es gilt: Die Dimension von V (λ = {v K n A v = λ v} (Eigenraum zum Eigenwert λ ist genau die Vielfachheit von (x λ in χ A Satz Sei A K n n. Dann sind äquivalent: (1 A ist diagonalisierbar. (2 χ A = (x λ 1 n1... (x λ k n k, λ i λ j für i j, zerfällt in Linearfaktoren und es gilt: dim V (λ i = n i für i = 1,..., k. (1 (2 folgt aus (6.7 und (6.4 (2 (1 3 Es ist n = Grad χ A = k i=1 n i. Es ist immer V (λ V (λ k = V (λ 1... V (λ k. Also dim (V (λ 1... V (λ k = k i=1 n i = n = dim V. Es folgt V = V (λ 1... V (λ k 6.9. Beispiel Sei A = ( λ 1 0 λ n eine untere Dreiecksmatrix. Dann ist χa = (x λ 1... (x λ n Satz Sei f End(V, dim(v <. Dann sind äquivalent: (1 χ f zerfällt in Linearfaktoren (2 Es existiert eine Basis B, so dass m B B (f eine untere Dreieckmatrix ist. (2 (1 siehe (6.9 (1 (2 Sei χ f = (x λ 1... (x λ n. Sei b ein Eigenvektor zum Eigenwert λ 1. Dann ist U := b f-invariant. Sei F : V /U V /U von f induziert. Dann zerfällt auch χ F als Faktor von χ f auch in Linearfaktoren. Per Induktion nach dim V gibt es eine Basis B = (b 1 + U,..., b n 1 + U von V /U, so dass m B B (F eine untere Dreiecksmatrix ist. Dann ist B = (b 1,..., b n 1, b die gesuchte Basis: ( m B m B(f = B(F 0 B λ 3 Wiederholung LA I: End(V f diagonalisierbar λ Λ V (λ = V Charakteristisches Polynom

27 6.11. Satz Sei f End(V, dim(v <. Sei U ein f-invarianter Unterraum von V. Sei f U Einschränkung von f auf U und F : V /U V /U durch f induziert. Dann gilt: : U U die χ f = χ f U χ F Wir ergänzen eine Basis B 0 = (b 1,..., b k von U zu einer Basis B = (b 1,..., b k, b k+1,..., b n von V. Dann ( m m B B 0 B B(f = 0 (f U 0 m B1 B 1 (F wobei B 1 = (b k+1 + U,..., b n + U die von b k+1,..., b n induzierte Basis von V /U ist. Es folgt χ f = det ( X I n m B B(f ( X Ik m B0 B = det 0 (f U 0 X I n k m B1 B 1 (F ( ( = det X I k m B0 B K[X] 0 (f U det X I n k m B1 B K[X] 1 (F = χ f U χ F Lemma Sei f End(V und v V. Dann ist der Unterraum L(v, f := v, f(v, f 2 (v,... f-invariant. Für w = n i=0 λ if i (v L(v, f ist ( n f(w = f λ i f i (v = i=0 n λ i f i+1 (v L(v, f i= Definition f End(V heißt zyklisch, falls es v V gibt mit V = L(v, f Lemma Sei f End(V und v V. Sei n = dim L(v, f <. Dann gilt: (1 B = ( v, f(v,..., f n 1 (v ist eine Basis von L(v, f. (2 Ist f n (v = n 1 i=0 λ if i (v, so ist 0 λ 0. m B B(f L(v,f = 1.. λ λ n 1 und χ f = X n λ n 1 X n 1... λ 1 X λ 0 (1 Sei k minimal mit f k (v v,..., f k 1 (v =: U. Dann ist U f-invariant und daher f l (v U für alle l. Also L(v, f = U. Da k minimal ist, ist v, f 1,..., f k 1 linear unabhängig. Es folgt k = n und die Behhauptung. 6. Charakteristisches Polynom 21

28 (2 Die behauptete Gestalt von m B B (f L(v,f folgt direkt aus der Definition. Die Formel für χ f folgt mit der Entwicklung der ersten Spalte und Induktion Definition Ein Endomorphismus f End(V heißt nilpotent, wenn es N N gibt mit f N = Bemerkung Ist in (6.14(2 V = L(v, f und f n (v = 0, dann ist f nilpotent (mit n = N und χ f = x n Beispiel A K n n A N =0 (1 A = 0 N = 1 (2 ( ( 0 0 = ( n 0 0 = 0 0 untere (bzw. obere Dreiecksmatrizen mit 0 auf der Diagonalen sind nilpotent. (3 A nilpotent, S GL(n, k und A N = 0. Dann Definition (SAS 1 N = SAS 1 SAS 1... SAS 1 = SA N S 1 = 0 Sei f End(V nilpotent. Das kleinste k N mit f k (v = 0 heißt die Stufe von v bezüglich f Lemma Sei f End(V nilpotent und v V von maximaler Stufe bezüglich f. Ist V L(v, f so gibt es u V \ L(v, f mit f(u = 0. Sei x V \ L(v, f. Da f nilpotent ist, gibt es ein minimales k mit f k (x L(v, f. Indem wir x durch f k 1 (x ersetzen, erhalten wir x V \ L(v, f mit f(x L(v, f. Da L(v, f = v, f(v, f 2 (v,... gibt es λ K und y L(v, f mit f(x = λv + f(y. Es folgt f k (x = λf k 1 (v + f k (y. Sei nun k die Stufe von v. Da k die maximale Stufe ist, folgt f k (x = 0 = f k (y. Es folgt λf k 1 (v = 0. Da k die Stufe von v ist, ist f k 1 (v 0. Also λ = 0. Es folgt f(x = f(y, also u = x y Kern f. Da x L(v, f, y L(v, f folgt u = x y L(v, f Satz Sei dim V <, f End(V nilpotent. Sei v V von maximaler Stufe bezüglich f. Dann besitzt L(v, f ein f-invariantes Komplement. Sei U ein maximaler f-invarianter Unterraum von V mit U L(v, f = {0}. Sei F End( V /U mit F (v + U = f(v + U. Dann ist v := v + U ein Vektor maximaler Stufe bezüglich F Charakteristisches Polynom

29 Annahme: L(v, F V /U. Dann gibt es nach (6.18 u V /U mit u V /U \ L(v, F mit F (u = 0. Sei u V mit u = u + U. Dann f(u U, da F (u = 0. Insbesondere ist U + := U, u f-invariant. Wegen u V /U \ L(v, F und U L(v, f = 0 ist auch U + L(v, f = 0 (Denn: λu + ũ L(v, f, λ K, ũ U λu L(v, F λ = 0 ũ L(v, f U = 0 zur Maximalität von U. Es folgt L(v, F = V /U(. Wir müssen nur zeigen: V = U + L(v, f Sei nun w V. Wegen ( gibt es λ 0,..., λ n K mit w + U = (λ 0 v + U + (λ 1 f(v + U (λ n f n (v + U ( = λ 0 v + λ 1 f(v λ n f n (v +U } {{ } =:x L(v,f Aus w + U = x + U folgt w x U. Also w = (w x + x U + L(v, f Satz Sei f End(V nilpotent und dim V <. Dann gibt es eine Zerlegung V = V 1... V r in f-invariante zyklische Unterräume V i = L(v i, f. Induktion nach dim V. Induktionsschritt: ( Lemma Sei f End(V nilpotent und dim V = n. Dann gilt f n = 0. Sei N minimal mit f N = 0. Betrachte 0 = Kern f 0 Kern f 1 Kern f 2... Kern f N = V Wegen de Minimalität von N ist Kern f N 1 Kern f N. Angenommen: Kern f i = Kern f i+1. Dann folgt auch Kern f i+1 = Kern f i+2 : Sei v Kern f i+2 = f(v Kern f i+1 = Kern f i. Also Da Kern f N 1 Kern f N folgt: f i+1 (v = f i (f(v = 0 v Kern f i+1 0 = Kern f 0 Kern f 1 Kern f 2... Kern f N = V Es folgt 0 < dim Kern f < dim Kern f 2 <... < dim Kern f N = dim V = n. Daher N n Bemerkung i Sei f End(V nilpotent und zyklisch mit V = L(v, f und dim V = n. Für die Basis B = (v, f(v,..., f n 1 (v gilt dann 0. m B B(f = Charakteristisches Polynom 23

30 ii Sei f End(V nilpotent, dim V <. Mit (6.20 folgt: Basis B mit m B B(f = Die Kästen heißen Jordankästen. Sie entsprechen genau den V i aus (6.20.!!! Definition Eine Matrix A = (a ij K n n heißt eine strikte obere Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für i j Bemerkung Ist A K n n eine strikte obere Dreiecksmatrix, so gilt A n = 0 (siehe auch 6.16 Beispiel Satz Sei f End(V, dim V = n <. Dann sind äquivalent: (1 f ist nilpotent (2 Basis B, so dass m B B (f eine strikte untere Dreiecksmatrix ist. (3 χ f = X n (1 (2: ( ii (2 (1: (6.23 (2 (3: Sei m B B (f eine strikte untere Dreiecksmatrix. Dann χ f = det K[X] ( X In m B B (f = X n (3 (2: Ist χ f = X n, so zerfällt χ f insbesondere in Linearfaktoren. Nach (6.10 gibt es eine Basis B so dass m B B (f = ( λ 1 0 λ n eine untere Dreiecksmatrix ist. Es ist X n = χ f = χ m B B (f = det K[X] x λ 1 0 = (x λ 1... (x λ n x λ n Also ist λ 1 = λ 2 =... = λ n = Charakteristisches Polynom

31 x x x x x x x x x x x x Abbildung 7: Beispiel eines nilpotenten Endomorphimus Kern f = Eigenraum zum Eigenwert 0 = xxxxx Kern f 2 = xxxxxxxx Kern f 3 = xxxxxxxxxxx Kern f 4 = xxxxxxxxxxxx 7. Die Jordansche Normalform 7.1. Bemerkung Sei f End(V und λ K ein Eigenwert von f. Für t N sei V t (λ := Kern(f λ id t. Dann ist 0 = V 0 (λ V 1 (λ V 2 (λ V 3 (λ... W λ := V t (λ t=0 heißt der verallgemeinerte Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Ist dim V <, so gibt es ein minimales k 1 mit V l (λ = V k (λ für alle l k. Dann W λ = V k (λ Lemma W λ ist f-invariant. λ ist der einzige Eigenwert von f wλ Da (f λ f = f (f λ ist auch (f λ t f = f (f λ t. Ist v V t (λ, so ist (f λ t( f(v = f ( (f λ t (v = 0 = f(v V t (λ }{{} =0 da v V t (λ Es sind also sogar alle V t (λ f-invariant. Sei nun µ ein Eigenwert von f Wλ, also f(w = µ w mit w W λ, w 0. Dann (f λ(w = (µ λ w und damit (f λ t (w = (µ λ t w. Da w W λ gibt es k mit (f λ k (w = 0. Es folgt 0 = (µ λ k (w w 0 = (µ λ k = 0 µ λ = 0 µ = λ 7. Die Jordansche Normalform 25

32 7.3. Satz Sei f End(V, dim V <, λ ein Eigenwert von f. Sei f λ := f Wλ. Dann existiert eine Basis B von W λ mit λ 1 1 λ m B B(f λ = λ 1 1 λ g := (f λ λ ist auf W λ nilpotent, da W λ = Kern(f λ k für ein geeignet großes k. Nach ( (i gibt es eine Basis B, so dass m B B (g die obige Form mit λ = 0 hat. Nun ist mb B (f λ = m B B (g + λ = m B B (g + mb B (λ = mb B (g + λ I n mit n = dim W λ. Also m B B(f λ = λ + = λ λ 1 1 λ λ 1 1 λ 7.4. Lemma Sei f End(V, dim V <. Sei λ ein Eigenwert von f. Dann teilt (X λ k charakteristische Polynom χ f, wenn k dim W λ. genau dann das Sei F : V /W λ V /W λ von f induziert. Nach (6.11 gilt: χ f = χ f Wλ χ F. Wegen (7.3 ist χ f Wλ = (X λ n mit n = dim W λ. Insbesondere gilt χ f = (X λ n χ F. Es bleibt zu zeigen: (X λ χ F, also χ F (λ 0. Angenommen doch: χ F (λ = 0. Dann ist λ Eigenwert von F. Sei v = v + W λ V /W λ ein zugehöriger Eigenvektor. Also f(v + W λ = F (v = λv = λv + W λ. Also auch w := f(v λv W λ. Sei nun k N mit (f λ k (w = 0 w W λ. Insbesondere (f λ k (w = 0. Dann ist (f λ id k+1 (v = (f λ id k (w = 0 also v W λ Es folgt v = v + W λ = 0 zu v ist Eigenvektor (also Lemma Sei f End(V, dim V <. Sei Λ die Menge der Eigenwerte von f. Für alle λ Λ gilt dann: W λ W µ = 0 µ Λ µ λ Die Jordansche Normalform