Lineare Algebra I. Prof. Dr. Daniel Roggenkamp Vorlesung -

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1 Lineare Algebra I Prof. Dr. Daniel Roggenkamp - 22.Vorlesung -

2 Aus der letzten Vorlesung: Polynome K[t] (p 0, p,, p i K mit p i = 0 i > i 0 für ein i 0 = i 0 p i t i = p 0 + p t + p 2 t p i0 t i 0 Grad deg(p = max{i N 0 p i 0} Z.B.: = p(t = 9 t7 2 t 3 + t Q[t], deg(p = Polynome

3 Der Grad deg(p eines von Null verschiedenen Polynoms (p i i i=0ist z.b. i=0 2 K[t] ist das gro ßte Vektorraum. Eine Basis 2 N0 mit pi 6= 0. Den Grad des. 2 3 Null-Polynoms definieren wir als {, t, t, t,...}. Ringstruktur: ng 7.3. In Polynome kanno ge man Elemente in K einsetzen: sei p 2 K[t], k 2 K, so emerkung 7.2. Verm K[t] ist K-Vektorraum: 2 K[t] Weise kann man jedem Polynom eine Abbildung K! K zuordnen: K[t] ein K-Vektorraum. ist z.b. deg(q} K[t] +Eine!q Abb(K, K deg(p Basis max{deg(p, p 7! (k 7! p(k deg(p + q = max{deg(p, deg(p deg(q {, t, t2, t3,deg(q}...}. } Übungsaufgabe X i (pp(k + (q = (p + q, (p, (q i i=0= i i=0 i i=0 i i=0 pii ki=02 K. i i=0 k (pi = (k p, (p i i=0 i i=0 2 K[t], k 2 K i=0 Polynome aber nicht einfach als Abbildungen K! K au assen, denn es gibt von hiedenen Polynome, deren zugeh Abbildung deg(k p o rige = deg(p 0K! k K Kverschwindet. Z.B. ist emerkung kann man das Polynom7.3. p(t =Int2 Polynome + t 2 F2 [t] ungleich Null,Elemente aber p(k =in0 K fu reinsetzen: alle k 2 F2. sei p 2 K[t], k 2 K, so (pi i=0, q ng 7.4. Polynome u ber einem Ko rper kann man multiplizieren: fu r p = X Multiplikation K[t] K[t] K[t] niere p(k = pi k i 2 K. i X i=0 p q = (ri, mit r = p qi j. i j deg(p q i=0 = {bem:polyring} = deg(p + deg(q = j=0 uf diese Weise kann man jedem Polynom eine Abbildung K! K zuordnen: q p deg(p q = deg(p deg(q!. (7. {eq:degmult} K[t] Abb(K, K leicht nach, dass K[t] mitkommutativer dieser Operation ein ist, mit p Ring 7!kommutativer (k7! p(kring (mit Körper K[t] ist (7. folgt ausserdem, dass der Ring nullteilerfrei ist, ohne Division ion 3.2. Aus Gleichung q = 0 folgt p = 0 _ q = 0.nullteilerfrei an kann Polynome aber nicht einfach als Abbildungen K! K au assen, denn es gibt von erschied zu Ko rpern kann man in Ringen nicht dividieren. In Polynomringen (wie ull deren...zugeh o rige Abbildung K! K verschwindet. Z.B. ist n Zverschiedenen kann man aber Polynome, mit Rest dividieren. r K = F2 das Polynom p(t = t2 + t 2 F2 [t] ungleich Null, aber p(k = 0 fu r alle k 2 F Polynome {

4 Division mit Rest: Satz 7.5. Seien p, q 2 K[t] undq 6= 0.Danngibteseindeutigbestimmtex, r 2 K[t], sodass p = x q + r, und deg(r < deg(q, falls r 6= Polynome

5 Nullstellen: Definition 7.6. k 2 K nennt man eine Nullstelle des Polynoms p 2 K[t] falls p(k = Korollar 7.7. Falls a 2 K eine Nullstelle von p 2 K[t] ist, so teilt (t Polynom p (ohne Rest, d.h. es gibt ein q 2 K[t] mit a 2 K[t] das 2 0 p(t =(t a q(t. Proposition 7.8. Jedes Polynom p 2 K[t] kann auf eindeutige Weise dargestellt werden als p(t = my (t x i i q(t, i=0 wobei x,...,x m die Nullstellen von p sind, und q(x 6= 0für alle x 2 K. i 2 N nennt man die Multiplizität der Nullstelle x i. Wir schreiben dafür auch i =: µ xi (p. 7.. Polynome

6 Korollar 7.9. Ein Polynom 0 6= p 2 K[t] kann höchstens deg(p viele Nullstellen besitzen. Korollar 7.0. Falls K unendlich ist, so bestimmt für p 2 K[t] die Abbildung K! K k 7! p(k das Polynom p eindeutig. 7.. Polynome

7 Definition 7.. Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes nicht-konstante Polynom in K[t] eine Nullstelle in K besitzt. Algebraisch abgeschlossenen Körper: Bemerkung 7.3. Ist K algebraisch abgeschlossen, so zerfällt jedes Polynom p 2 K[t] in Linearfaktoren my p(t =q (t x i i, q,x,...,x m 2 K. i= Fundamentalsatz der Algebra Y Satz 7.4. C ist algebraisch abgeschlossen. 7.. Polynome

8 7.2. Eigenvektoren und Eigenwerte Mat AB (f = Ik Eigenvektoren und Eigenwerte

9 Invariante Unterräume: Invarianter Unterraum: nicht-trivialer Untervektorraum Block-obere-Dreiecksform: Mat AA (f = A B 0 C 2 Basis von W -dimensionale invariante Unterräume 7.2. Eigenvektoren und Eigenwerte

10 Eigenräume und Eigenwerte: Definition 7.5. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und f 2 Hom(V,V ein Endomorphismus von V. ( Für 2 K nennen wir den Untervektorraum V (f :={v 2 V f(v = v} =ker(f id V V den zu gehörigen Eigenraum von f. (2 2 K nennen wir einen Eigenwert von f, falls V (f 6= {0}. (3 Sei 2 K ein Eigenwert von f. Dann nennen wir dim(v (f diemultiplizität des Eigenwerts. (4 Sei 2 K ein Eigenwert von f. Dann nennen wir die von 0 verschiedenen Elemente in V (f dieeigenvektoren von f zum Eigenwert. Den zu 2 K gehörigen Eigenraum einer quadratischen Matrix A 2 Mat(n, n; K definiert man als den zu gehörigen Eigenraum des Endomorphismus A : Mat(n, ; K! Mat(n, ; K: V (A :={v 2 Mat(n, ; K A v = v} Mat(n, ; K. Vektoren 0 erzeugen -dim. invariante Unterräume Analog definiert man Eigenwerte, deren Multiplizitäten und Eigenvektoren von A. {ew 7.2. Eigenvektoren und Eigenwerte

11 Bestimmung von Eigenräumen: Nach Basiswahl kann man jeden Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums als Matrix darstellen. Betrachte Eigenräume von Matrizen A Mat(n,n;K Eigenwert λ bekannt dazugehöriger Eigenraum kann leicht bestimmt werden dim(v λ (A = n Rang(A λi n Problem: Finde die Eigenwerte! Proposition 7.7. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, f 2 Hom(V,V. Sei ferner A = Mat AA (f Matrixdarstellungvonf bzgl. einer beliebigen geordneten Basis A von V.Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: ( ist Eigenwert von f. (2 det( id V f=0 (3 det( I n A=0 Mit hilfe der Determinante können Eigenwerte bestimmt werden Eigenvektoren und Eigenwerte

12 7.3. Das charakteristische Polynom Definition 7.8. ( Sei A 2 Mat(n, n; K. Das charakteristische Polynom von A ist das Polynom A(t :=det(t I n A 2 K[t]. (2 Sei f : V 2 Hom(V,V Endomorphismuseinesendlich-dimensionalenK-Vektorraums. Das charakteristische Polynom von f definieren wir als das charakteristische Polynom f(t := MatAA (f(t einer Matrixdarstellung Mat AA (f vonf. (Es hängt nicht von der gewählten Basis ab. Verwende: Determinaten auch von Matrizen definiert, die Einträgen in kommutativem Ring (K[t] haben! (Leibniz-Formel 7.3. Das charakteristische Polynom

13 Bemerkung 7.9. (2 Das charakteristische Polynom ist in der Tat ein Polynom: A(t 2 K[t]. Anhand der Leibniz-Formel (6.3 siehtmanleicht,dass A(t =p n t n + p n t n p t + p 0, wobei die p i 2 K Ausdrücke in den Matrixeinträgen a ij sind. (3 Die Koe zienten p 0,...,p n kann man berechnen. Z.B. sieht man leicht, dass sowohl zu p n als auch zu p n nur Terme aus dem = id-summanden (t a (t a 22 (t a nn in der Leibniz-Formel beitragen. Insbesondere folgt, p n =und p n = (a + a a nn. wichtige Größe: Spur Spur eines Endomorphismus Spur seiner Matrixdarstellung unabhängig von der Basiswahl, denn 7.3. Das charakteristische Polynom

14 Bemerkung 7.9. (4 Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus f 2 Hom(V,V hängt nicht von der Wahl der Basis ab, denn seien A und B zwei Basen von V,danngilt det t I n Mat BB (f = det Mat AB (id V (t I n Mat AA (f Mat BA (id V = det Mat AB (id V det (t I n Mat AA (f det = det t I n Mat AA (f, Mat BA (id V denn die Basiswechsel-Matrizen sind invertierbar mit Mat AB (id V =(Mat BA (id V, vgl. Proposition Insbesondere gilt nach Proposition 6.6 det Mat AB (id V det Mat BA (id V =. Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms! 7.3. Das charakteristische Polynom