1. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2010/11. j!(k j)!(n k)!(n j)! = n! j!(n j)! (k j)!(n j (k j))! = n! (n k)!

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1 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Binomialkoeffizienten Beweisen Sie die folgenden Aussagen: ( ( ( ( n k n n j (a = k j j k j ( ( ( ( n n k n n j (b = k j j k n ( n (c n N: ( j = j j= Lösungshinweise hierzu: (a ( ( n k n! k! = k j k!(n k! j!(k j! = = n!(n j! j!(k j!(n k!(n j! = n! (n j! j!(n j! (k j!(n j (k j! = ( n j ( n j k j (b ( n k ( n k j = n! (n k! k!(n k! j!(n k j! = = n! (n j! j!(n j! k!(n j k! = ( n j ( n j k (c Erinneren Sie sich, dass (a + b n = n j= ( n j a n j b j. Mit a = und b = bekommen wir n ( n n ( n ( j = j j j= j= ( n j ( j = ( n =.

2 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H. Summen Entscheiden Sie, welche der folgenden Ausdrücke gleich sind. ( n + ( l+ n (a a l+ a l (b (c (d l= n+5 a k 9 k=5 n+ k= n+ a k k= cos(π + πka k Lösungshinweise hierzu: ( + ( l+ (a Da (b l= { für l ungerade =, bekommen wir für l gerade ( n { + ( l+ a + a 7 + a a n+, n ungerade a l+ = a + a + a a (n +, n gerade l= Insgesamt ergibt sich somit ( n + ( l+ n a l+ a l = l= l= { a + a a n+ a a 4... a n, a + a a n a a 4... a n, n+5 a k 9 = a ( a ( a ( (n+5 9 = a + a + a a n+. k=5 Alternativ kann man auch eine Indexverschiebung benutzen. Mit l = k 4 erhalten wir n+5 n+5 n+ a k 9 = a (k 4 = a l. k=5 k=5 Damit ergibt sich der gleiche Ausdruck wie in Teil (d. (c Wegen ergibt sich n+ k= cos(π + πk = { l= für k ungerade für k gerade cos(π + πka k = a a + a a a n a n + a n+.. n ungerade n gerade.

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik (d n+ a k = a + a + a a (n+ = a + a + a a n+. k= Aufgabe H. (a Skizzieren Sie die folgenden Mengen: M := { (x, y R } x <, M := { (x, y R } y < x, M := { (x, y R (x + (y + 4 }. (b Skizzieren Sie nun die Menge M 4 := { (x, y R (x + (y (x + (y + }, und die Schnittmenge von M und M. Lösungshinweise hierzu: (a Die Menge M ist der Streifen, wobei der Rand x = ± nicht zu der Menge gehört. y M x M ist die graue Halbebene, wobei die Gerade y = x nicht zu der Menge gehört.

4 . Gruppenübung Höhere Mathematik y 4 M 4 4 x Die Menge M ist eine Kreisscheibe mit Radius und dem Mittelpunkt (,, wobei der Rand Bestandteil der Menge ist. y M x (b Die Menge M 4 besteht aus zwei Kreisscheiben mit Radius und den Mittelpunkten (, und (,, wobei der Rand Bestandteil der Menge ist.

5 . Gruppenübung Höhere Mathematik y 4 M M 4 x Die Schnittmenge von M und M ist die folgende Menge: y x M M 4

6 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erfüllen: (a x + > x (x + (b x + x 4 + < x x x (c x Lösungshinweise hierzu: (a. Fall: x <. Man kann in diesem Fall auf beiden Seiten durch den Faktor x + teilen. Da dieser Faktor negativ ist, dreht sich dabei das Ungleichheitszeichen um: Dies gilt für alle x <.. Fall: x =. Dies ist ein Widerspruch.. Fall: x > x + > x (x + < x < x x + > x (x + > x + > x (x + > x > x Die Lösungsmenge ist daher gegeben durch {x R : x < < x < }. (b Die Nullstellen von x + x 4 sind 4 und, wobei x + x 4 für 4 < x < negativ ist, sonst positiv (oder gleich Null an den Nullstellen.. Fall: x < 4. x + x 4 + < x 4 x + x + 5x < 5 <x < ( x < 4 nach Voraussetzung

7 . Gruppenübung Höhere Mathematik. Fall: x = 4.. Fall: 4 < x <. < 5 x x < x + 4 x + x x < x < x > ( 4 < x < nach Voraussetzung 4. Fall: x =. < 5 5. Fall: x >. x + x 4 + < x x x + x 6 < <x < ( x > nach Voraussetzung Die Lösungsmenge ist daher gegeben durch {x R : 5 < x < < x < }. (c Für x = ist der Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung nicht definiert. Ansonsten gilt folgende Äquivalenz:. Fall: x <. x x x x. x x Dies ist erfüllt für alle x < (sogar für alle x R.. Fall: x =.. Fall: < x <. 4. Fall: x =. Siehe oben. x x x x ( < x <

8 . Gruppenübung Höhere Mathematik 5. Fall: x >. x x Dies ist für kein x R erfüllt. Die Lösungsmenge ist daher gegeben durch {x R : x }. Aufgabe H 5. Ungleichungen, Vollständige Induktion Beweisen Sie folgende Formeln für n N mit Hilfe der vollständigen Induktion: (a n > n, n > 4 (b > n, n > n (c cos(x cos(x cos(4x...cos( n x = sin (n+ x n+ sin(x Dabei dürfen Sie die folgende Gleichung, die für alle x,y R gilt, ohne Beweis benutzen: sin(x + y = sin(x cos(y + sin(y cos(x. Lösungshinweise hierzu: (a IA n = 5: 5 > 5. Wegen > 5 ist die Behauptung für n = 5 wahr. IS n (n + : n+ = n > n = n + n > n + (n + = (n +. Hier wurde benutzt, dass n > n + für alle n. Dass diese Ungleichung gilt ist leicht einzusehen, denn sie ist äquivalent zu n n + >, was wegen n n + = (n für alle n erfüllt ist. (b IA n = : + > + >. Die Behauptung für n = ist wahr. IS > n+ > ( n n+ + n = n +. n n + n +

9 . Gruppenübung Höhere Mathematik Hier haben wir die Ungleichung n + > n + n benutzt, deren Gültigkeit nach einer Multiplikation mit n + + n offensichtlich wird, denn man erhält n + n + >. (c IA n = : cos(x = sin(x sin(x. Wegen sin(x = sin(x cos(x ist die Behauptung für n = wahr. IS n (n + : cos(x cos(x cos(4x cos ( n x cos ( n+ x = sin (n+ x n+ sin(x cos ( n+ x = sin ( n+ x cos ( n+ x n+ sin(x = sin ( n+ x n+ sin(x Deshalb ist die Behauptung für alle n N wahr. = sin (n+ x n+ sin(x. Aufgabe H 6. Betrag Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen: (a x 6 x + 5 = (b x = x (c x x + x a =, a R Lösungshinweise hierzu: (a Lösung I. Fall: x. Wir erhalten die Gleichung x 6x + 5 =, die die folgenden Nullstellen x = und x = 5 hat. Fall: x <. Wir erhalten x + 6x + 5 = mit den Nullstellen x = und x 4 = 5.

10 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b Lösung II. Mit z = x erhalten wir die Gleichung z 6z + 5 = mit den Nullstellen z = und z = 5. Da z = x, gilt x = ±z. Deshalb haben wir Fall: x. x =, x = 5, x =, x 4 = 5. x = x ( x = 4x x x + = 4x 9 x + 4x x + = 4x 5 6x = x. 5 6x = x x =.5. Da.5, ist x =.5 eine Lösung. Fall: x <. Da >, ist x = keine Lösung. 5 6x = + x x =. (c Da z folgt aus x x + x a =, dass ( x x = ( x a =. Also erhalten wir (x(x = (x = a. Deshalb gilt ist a =, so lautet die Lösung x =, ist a =, so lautet die Lösung x =, ist a R {, }, so existiert keine Lösung.

11 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I. Rybak, M. Kutter, J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Eigenschaften von Abbildungen Untersuchen Sie, ob folgenden Abbildungen surjektiv, injektiv oder bijektiv sind: (a f : R R + : x x Lösungshinweise hierzu: f ist nicht injektiv, da z.b. f ( = = f ( ist. Also ist f auch nicht bijektiv. Wir zeigen, dass f surjektiv ist. Dazu betrachten wir ein Element x aus der Bildmenge R +. Offensichtlich ist x ein Element des Definitionsbereichs R und es gilt f (x = x. Wir haben also ein Element gefunden, das auf x R + abgebildet wird. f ist surjektiv. (b f : R R + : x e x Lösungshinweise hierzu: Für x,y R mit x < y gilt e x < e y. Also ist f injektiv. Aus der Tatsache, dass f stetig ist und der Asymptotik lim x e x = und lim x + e x = + folgt außerdem, dass f surjektiv ist (man erkennt das auch sehr gut an einer Skizze des Funktionsgraphen. Damit ist f bijektiv. (c f : R R: x sin x Lösungshinweise hierzu: Es ist sin(x = sin(x + π für alle x R. Außerdem ist sin(x < für alle x R. Es gibt also kein x im Definitionsbereich so, dass f (x = ist. Daher ist f weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv. [ (d f 4 : π, π ] R: x cosx Lösungshinweise hierzu: Es ist cos( x = cos(x für alle x R. Außerdem ist cos(x < für alle x R. Es gibt also kein x im Definitionsbereich so, dass f 4 (x = ist. Daher ist f 4 weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv. (e f 5 : R R + : x x 4 + Lösungshinweise hierzu: Es ist x 4 = ( x 4 und damit auch f 5 (x = f 5 ( x für alle x R. Da x 4 ist, gibt es kein x im Definitionsbereich so, dass f 5 (x = ist. Daher ist f 5 weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv. Aufgabe H 8. Komplexe Zahlen, Wurzelziehen im Komplexen Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi mit a, b R an: (a z = ( + i( i (b z = 4 i 4 + i (c z = ( + i (d Bestimmen Sie alle Wurzeln z 4,5,6 = i. Geben Sie das Ergebnis in der Form a + bi mit a,b R an.

12 . Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: (a Es gilt (b Wir berechnen z = ( + i( i = ( + i( + i = 6 + 9i + 4i 6 = i. z = 4 i 4 + i = z = (4 i(4 i (4 + i(4 i (c Es ist ( + i = i. Weiter ergibt sich (4 i 6 4i 9 = = 4 (i z = ( + i = (i 5 = 5 i i i = ( ( i = i. = i. (d Zuerst berechnen wir das Argument und den Betrag von i und erhalten damit die Darstellung ( ( π ( π i = cos + i sin. Damit erhalten wir für die -ten Wurzeln gerade die Darstellung ( ( π ( π z 4 = cos + i sin = i, z 5 = ( ( π cos z 6 = 6 + π ( ( π cos 6 + 4π ( π + i sin 6 + π + i sin ( π 6 + 4π = + i, = i. Aufgabe H 9. Komplexe Einheitswurzeln Zeigen Sie, dass die n ten komplexen Einheitswurzeln z,z,...,z n eine abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation bilden. ÁÑ Þµ Þ ½ Þ ¾ Þ ¼ Ê Þµ Þ Ò ¾ Þ Ò ½

13 . Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: Sei G n = {z k z k = cos ( ( πk n + i sin πk n,k =,,...,n }. Abgeschlossenheit: Für z k,z l G n gilt: [ ( ( ][ ( ( ] πk πk πl πl z k z l = cos + i sin cos + i sin n n n n ( ( ( ( πk πl πk πl = cos cos sin sin + n n n n ( ( ( ( ( πk πl πl πk + i cos sin + cos sin n n n n ( ( π(k + l π(k + l = cos + i sin n n Also ist das Produkt z k z l auch eine Einheitswurzel und liegt somit in G n. Neutralelement: Es ist z k z = z k = z k für k =,,...,n. Also enthält G n auch das Neutralelememt bezüglich der Multiplikation. Inverse: Für k =,,...,n und l = n k ist z l G n und ( ( π(k + l π(k + l z k z l = cos + i sin =. n n Also ist z l das inverse Element von z k. Da (C, +, ein Körper ist, ist die Multiplikation in C und damit auch in G n assoziativ und kommutativ. Damit ist gezeigt, dass (G n, eine abelsche (kommutative Gruppe ist. Bemerkung: Man kann die n ten komplexen Einheitswurzeln auch in der Form z k = e iπk n darstellen. Obige Rechnungen sind dann noch einfacher.

14 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Komplexe Zahlen (a Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gaußschen Zahlenebene: Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig M = {z C : z i = z + i } und M = {z C : Re ( z = }. Lösungshinweise hierzu: Zuerst skizzieren wir die Menge M = {z C : z i = z + i }. Wir schreiben die komplexe Zahl als z = x + iy und somit z i = x + (y i und z + i = x + (y + i. Damit lässt sich die Gleichung z i = z + i wie folgt schreiben: x + (y = x + (y +. Durch Quadrieren und anschließendes Umformen erhalten wir x + y y + = 4(x + y + y + = x + y + y + = x + y + y +. Es handelt sich dabei um eine Kreisgleichung. Durch quadratische Ergänzung erhält man die Normalform. = x + y + y = x + ( y ( 6 9 = x + y + 5. Die Menge M ist also ein Kreis mit dem Radius r = 4 und den Mittelpunkt M( 5: y 4 4 x 5

15 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Um die Menge M = {z C : Re( = } skizzieren zu können, bestimmen wir z zuerst Re ( z. Es gilt z = x + iy = Damit erhalten wir also die Gleichung x iy (x + iy(x iy = x iy x + y = = x x + y. Multiplikation der Gleichung mit x + y ergibt x = x + y = x x + y = x x y ( = x + y 4 ( 4 = x + y. x x + y y x + y i. Man erhält eine Kreisgleichung mit dem Radius r = und dem Mittelpunkt M(, wobei jedoch z = aufgrund der Bedingung Re( = ausgeschlossen ist (Division z durch Null. y x (b Bestimmen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: (i z z z = Lösungshinweise hierzu: Man erkennt durch Raten, dass z = die Gleichung löst. Polynomdivision durch den Faktor (z liefert z z z = (z + z + (z. Die quadratische Lösungsformel liefert dann die restlichen Lösungen: z = + i = π ei, z = i = 4π ei

16 4. Gruppenübung Höhere Mathematik (ii z + z z = Lösungshinweise hierzu: Es ist Für z = a + bi gilt also z + z z = z (z + z. }{{} = Re(z (a + bia =. Es folgt, dass a und b = ist, da die rechte Seite der Gleichung ungleich Null und reell ist. Damit erhält man Die Lösungen der Gleichung sind also a = a = ±. z =, z =. Aufgabe H. Vektorrechnung Gegeben ist ein regelmäßiges Sechseck mit den Eckpunkten P,...,P 6, die in mathematisch positiver Richtung (also gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Vom Zentrum des Sechsecks aus wirken Kräfte F,..., F 6, wobei die Kraft F k zum Eckpunkt P k gerichtet ist für k =,...,6. Die Beträge der Kräfte sind gegeben durch F =, F =, F = 5, F 4 = 7, F 5 = 9 und F 6 =. Skizzieren Sie ein solches Sechseck mit den dazugehörigen Kräften! Berechnen Sie den Betrag und die Richtung der resultierenden Kraft. Lösungshinweise hierzu: Um die Rechnungen zu vereinfachen, können wir das Koordinatensystem so auswählen, dass das Zentrum des Sechecks im Ursprung liegt und F in Richtung der positiven x-achse wirkt. Die restlichen Kräfte werden der Reihe nach in der positiven Umlaufrichtung eingetragen. y F F F 4 π F x F 5 F6

17 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Zuerst können wir die Kräfte zusammenrechnen, die in entgegengesetzte Richtungen wirken. Wir erhalten das folgende Bild: y F 4 x F 5 F 6 mit F 4 = F 5 = F 6 = 6. Wie man jetzt erkennen kann, spannen die beiden Vektoren F 4 und F 6 ein Parallelogramm mit der Diagonale F 5 = F 4 + F 6. Für die resultierende Kraft gilt also und damit auch F res =. F res = F 4 + F 6 + F 5 = F 5 Die Richtung von F res können wir mit Hilfe der folgenden Skizze auch schnell bestimmen: y x F res F res sin ( π π Es gilt F res = ( F res cos ( π F res cos ( π, Fres sin ( ( π = 6, 6.

18 4. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H. Geraden und Ebenen Gegeben sind die Punkte P = (,,, P = (,,, P = (, 4,, P 4 = (, 4, 9, P 5 = (, 4, und P 6 = (,,α. (a Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E, die die Punkte P, P und P beinhaltet. Lösungshinweise hierzu: E : + λ 4 (b Liegt der Punkt P 4 auf der Ebene E? Lösungshinweise hierzu: Es gilt + ( 4 + µ also liegt der Punkt P 4 auf der Ebene E , λ,µ R = (c Bestimmen Sie α so, dass die Gerade g durch die Punkte P 5 und P 6 parallel zu der Ebene E verläuft. Lösungshinweise hierzu: Die Gerade g ist genau dann parallel zu der Ebene E, wenn der Richtungsvektor P 5 P 6 linear abhängig von den Spannvektoren der Ebene E ist. Es gilt also λ + µ 5 = 5 4 α = µ = = λ = = α = ,

19 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Kosinussatz, Vektorprodukt (a Geben Sie einen elementargeometrischen Beweis des Kosinussatzes an: Für zwei Vektoren v = (v,v,w = (w,w R gilt v w = v + w v w cos(α, wobei α der Winkel ist, den die beiden Vektoren einschließen. Lösungshinweise hierzu: Ohne Einschränkung nehmen wir v und w ungleich Null an (ansonsten ist die Aussage trivial. Zunächst setzen wir < α π voraus und betrachten folgendes Dreieck: w h v w α a. v Der Winkel α liegt zwischen den Seiten mit Längen v und w, die Seite mit Länge v w liegt dem Winkel α gegenüber. Wir fällen die Höhe senkrecht auf die Seite mit Länge v und teilen diese Seite damit in zwei Strecken der Länge a bzw. b. Falls die Höhe die untere Seite nicht trifft, dann vertauschen wir die Rollen von v und w. Der Satz des Pythagoras liefert Für den Kosinus von α gilt: Außerdem gilt nach Konstruktion Die Behauptung folgt durch Einsetzen: w a = h = v w b. cos(α = Ankathete Hypotenuse = a w. b = v a, b = v a v + a. v w = w a + b = w a + v a v + a = w + v v w cos(α. b Es bleibt noch der Fall, dass π < α < π, siehe die folgende Skizze:

20 5. Gruppenübung Höhere Mathematik h w v w d π α α v Es folgt durch analoge Überlegungen, dass und v w ( v + d = h = w d cos(π α = d w. Aus der Eigenschaft cos(π α = cos(α erhält man durch Zusammensetzen obiger Gleichungen: (b Für welche Vektoren a,b,c R gilt v w = w d + v + d v + d = w + v v w cos(α. a (b c = (a b c? Lösungshinweise hierzu: Man kann direkt überprüfen, dass folgende Gleichheit gilt: (a b c = a,c b b,c a Probiere es aus! Jetzt können wir die Gleichung umschreiben: (a b c = a,c b b,c a a (b c = (b c a = b,a c + c,a b = a,c b b,a c Also gilt die Gleichung a (b c = (a b c dann und nur dann, wenn a,c b b,a c = a,c b b,c a und damit b,a c = b,c a. Die letzte Gleichung gilt, wenn

21 5. Gruppenübung Höhere Mathematik b ist senkrecht sowohl zu a als auch zu c (d.h. b,a = b,c = a und c sind parallel (d.h. c = αa für ein α R Einer der Vektoren ist der Nullvektor Aufgabe H 4. Orthogonalität, Winkel Gegeben sei das Dreieck ABC mit Ecken A = (,,, B = (,, und C = (,, 5. Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks, die Länge der Seiten, die Höhe des Dreiecks ausgehend vom Punkt A und die Fläche des Dreiecks. Lösungshinweise hierzu: A Wir berechnen AB = B, H AC =, C BC = 4. Die Längen der Seiten sind Da AB = AB = ( + + ( =, AB AC BC = BC = ( + ( + 4 =. AC = AC = ( + + =, =, stehen die Vektoren AB und AC senkrecht aufeinander. Folglich ist der Innenwinkel gleich ( AB, AC = π. Der Innenwinkel ( BA, BC zwischen den Vektoren BA und BC berechnen wir mit Hilfe des Skalarprodukts, ( cos ( BA, BC = BA BC BA = BC 4 + ( + ( + ( + 4 =. Also ist ( BA, π BC =. Da die Summe alle Innenwinkel des Dreiecks gleich π ist, ist der 4 Winkel ( CA, π CB = 4.

22 5. Gruppenübung Höhere Mathematik Die Höhe des Dreiecks ausgehend vom Punkt A berechnen wir mit dem Sinus, AH ( π AB = sin = 4. Wir erhalten AH =. Die Fläche des Dreiecks ist S ABS = BC AH = 9. Aufgabe H 5. Geraden und Ebenen, Vektorprodukt Gegeben sei in R das gleichseitige Tetraeder mit den Ecken A = (,,, B = (,,, C = (c,c,, c >, und D = (d,d,d, d >. (a Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von C und D. Lösungshinweise hierzu: AC = BC = c = = c =, da c > (c + + c = (c + c c + 4c + 4 = c 4c + 4 AC = AB 4 + c = 6 AD = BD = d = = d = (d + + d + d = (d + d + d d + 4d + 4 = d 4d + 4 AD = CD 4 + d + d = (d + d 4 + d = d 4 d + AD = AB d = 6 d = = d = 4 6, da d > Also insgesamt C = (,, und D = (,, 4 6.

23 5. Gruppenübung Höhere Mathematik (b Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g durch A und D sowie den Abstand des Punktes B zur Geraden g. Lösungshinweise hierzu: g : + λ = 4 6 Der Abstand von B zu g ergibt sich als λ = = Alternativ: Ebene durch B mit Richtungsvektor von g als Normalenvektor; Schnitt dieser Ebene mit g; Abstand dieses Schnittpunkts zu B. (c Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung und die Hesse-Normalform der Ebene durch die Punkte A,B,D. Unter welchem Winkel schneiden sich diese Ebene und die Ebene durch die Punkte A,B,C? Lösungshinweise hierzu: Ebene durch A, B und D: E : λ + µ 6 mit Normalenvektor ñ = 6 = 6 damit lautet die Hessesche Normalform von E : Ebene durch A, B und C: E : ν + ξ E : ( x + x =, n = = ν + ξ

24 5. Gruppenübung Höhere Mathematik mit Normalenvektor n = Winkel α zwischen den Ebenen (entspricht Winkel zwischen n und n : cos(α = n n = = α 7.5 (d Berechnen Sie die Oberfläche des Tetraeders mit Hilfe des Vektorprodukts. Lösungshinweise hierzu: AB AC = 4 = Damit ist die gesamte Oberfläche des Tetraeders 6. 8 = 4

25 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 6. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Matrizenmultiplikationen Gegeben seien die Matrizen Q = Berechnen Sie: (a Q Q, , A =, S = Lösungshinweise hierzu: I (b Q A, Lösungshinweise hierzu: R := Q A = (c Q AS, Lösungshinweise hierzu: I (d SQ AS Q A S S A QQ A Lösungshinweise hierzu: SQ ASQ A SS A QQ A = S oder ( Q AS S A Q Q A = S (I IQ A = SQ ASQ A SS A QQ A = SQ A SQ A = I I = Hinweis: Für beliebige Matrizen M und N, für die das Produkt MN definiert ist, gilt: (MN = N M. Aufgabe H 7. Lineare Gleichungssysteme Geben Sie für die folgenden Gleichungssysteme jeweils die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite an und bestimmen Sie die Lösungsmenge L. Machen Sie eine Probe.

26 6. Gruppenübung Höhere Mathematik (a x 6x + x = x x + 4x = x + x x = Lösungshinweise hierzu: Das LGS ist Ax = b mit der Koeffizientenmatrix A und der rechte Seite b: 6 A = 4, b =. Dies führt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix 6 [A b] = 4. Wir berechnen Z + Z : 6 4 Nach Satz.7., ist dieses LGS nicht lösbar, da x + x + x, das heißt L = {}. (b x + x x = 4 x x 4x = x x + 4x = 5 Lösungshinweise hierzu: Das LGS führt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix Vertauschen der ersten und dritten Zeile liefert Z Z : Weiter berechnen wir Z Z : Z Z : Z Z : ,,

27 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Z 7 : Z : Z 4Z : Z + Z : Z + Z : Daraus erhalten wir die Lösung zu x =, x =, x =, also die Lösungsmenge L =. Probe: Wir setzen x =, x =, x = in die ursprüngliche Gleichung ein. (c ( + iz + z = 4 ( iz + z = Lösungshinweise hierzu: Das LGS führt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix [ ] + i 4. i Aus der zweiten Zeile des LGS erhalten wir Substitution in die erste Zeile ergibt woraus sofort folgt. Wir berechnen ( + i,,. z = i z. ( + i( i z + z = 4, z = i z = i z = Damit erhalten wir die Lösungsmenge L = ( i( i {( } i. i = i. Probe: Ob das Element von L tatsächlich die Lösung ist, überprüft man durch Einsetzen.

28 6. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 8. Lineare Gleichungssysteme Jeden Montag um halb sieben liefert Bauer Klaus Kartoffeln, Zwiebeln und Tomaten an die Gemüsehändler in der Nordbahnhofstraße. Diese Woche sind es folgende Mengen (in kg: Kartoffeln Zwiebeln Tomaten Händler Händler Händler 8 5 Der erste Händler bezahlt 6 Euro, der zweite 45 Euro und der dritte 75 Euro. Wieviel kostet also jeweils kg Kartoffeln, Zwiebeln oder Tomaten? Die Preise sind natürlich für alle Händler gleich. Lösungshinweise hierzu: Wir bezeichnen die Kilopreise für Kartoffeln, Zwiebeln oder Tomaten mit x,x bzw. x. Man erhält folgendes lineares Gleichungssystem: x + x + x = 6 ( 5x + 5x + 8x = 45 ( 8x + 5x + x = 75 ( Zunächst multiplizieren wir Gleichung ( mit bzw. und subtrahieren dies dann von ( bzw. ( und erhalten Subtraktion vom dreifachen von (4 von (5 liefert x 4x = (4 7x x = 495 (5 x = 95 x =. Einsetzen in (4 ergibt x =. Durch erneutes Einsetzen in ( bekommen wir x = 5. Ein Kilogramm Kartoffeln kostet also,5 Euro, ein Kilogramm Zwiebeln,6 Euro und ein Kilogramm Tomaten Euro.

29 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 7. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 9. Lineare Abbildungen Es sei ϕ: R R eine lineare Abbildung mit ϕ(,, = 7, ϕ(,, = 9, ϕ(,, = 4. 6 Außerdem seien B = {(,,, (,,, (,, } und C = {(,,, (,,, (,, } jeweils eine Basis des R. (a Berechnen Sie die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung ϕ. Lösungshinweise hierzu: Man erkennt, dass =. Es gilt also (da ϕ linear ist ϕ(,, = ϕ(,, ϕ(,, = 9 4 =. Weiter ist = und daher ϕ(,, = ϕ(,, ϕ(,, = 7 = 6. 6 (b Geben Sie die Matrizen B ϕ B und B ϕ C an, die obige Abbildung in den jeweiligen Basen beschreiben. Lösungshinweise hierzu: Die Spalten der Matrizen B ϕ B bzw. B ϕ C sind gegeben durch die Bilder der Basisvektoren von B bzw. C, dargestellt in der Basis B. Aus (a folgt also ϕ = 6 4 B B

30 7. Gruppenübung Höhere Mathematik und ϕ = B C 6 (c Bestimmen Sie Kern(ϕ und Bild(ϕ. Lösungshinweise hierzu: Wir verwenden im Folgenden die Standardbasis B sowohl im Urbild-, als auch im Bildraum. Für einen Vektor x Kern ϕ gilt nach Definition x ϕ(x = B ϕ B x = 6 4 x =. x Der Lösungsraum dieses homogenen LGS ist der Kern von ϕ, d.h. hier: Kern(ϕ = x R : x = λ, λ R. Das Bild von ϕ wird durch die Bilder der drei Basisvektoren von B (oder alternativ von C erzeugt. Aus der Dimensionsformel dim(bild(ϕ = dim(r dim(kern(ϕ = = wissen wir aber, dass wir nur zwei Vektoren brauchen um Bild(ϕ aufzuspannen (d.h. die Bilder der drei Basisvektoren müssen linear abhängig sein. Wir nehmen z.b. die Vektoren ϕ(,, und ϕ(,, und erkennen, dass diese linear unabhängig sind.es folgt, dass Bild(ϕ = x R : x = λ + µ 6, λ,µ R. Aufgabe H. Gauss/LGS Gegeben sei das LGS x x x x 4 x 5 =

31 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (a Transformieren Sie das LGS auf ein LGS der Gestalt à x = b wobei Ã, x und b definiert sind wie in Satz.7.. Lösungshinweise hierzu: Das LGS führt auf die erweiterte Koeffizientenmatrix [A b] = Z Z : Z + Z : Z 4 + Z : Z 5 7Z : Z 6 6Z : Z 7 + Z : Z 8 + 5Z : Z : Z Z : Z 6Z : Z 4 6Z : Z 5 Z : (Z 6 Z : Z 7 7Z : Z 8 + Z :

32 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Z + 9Z 6 : 9 4 Z 4 Z 6 : 67 6 Z 5 + 5Z 6 : 7 7 Z 7 + 4Z 6 : Z 8 Z 6 : Z 5 /7 : Z Z 6 : Z 4 + Z 5 : 6 6 Z 6 9Z 5 : 4 4 Z 7 4Z 5 : 5 5 Z 8 + Z 5 : Z 4 /6 : Z 6 /4 : Z 7 /5 : Z 8 /8 : Z 5 Z 4 :

33 7. Gruppenübung Höhere Mathematik Wir erhalten Probe: Z 6 Z 5 : Z 7 Z 5 : Z 8 Z 5 : Z + Z 4Z + 4Z 4 4Z 5 : Z 5Z + 4Z 4 8Z 5 : Z Z 4 Z 5 : Z 4 + Z 5 : Ã =, b = (b Begründen Sie, warum das LGS lösbar ist. = Lösungshinweise hierzu: Es gilt für alle j > 5, dass b j null ist. Aufgabe H. Lineares Gleichungssystem Gegeben ist das reelle, lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = α, b = β..

34 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (a Für welche α,β R besitzt das System eine eindeutige Lösung? Berechnen Sie diese Lösung. (b Für welche α,β R besitzt das System unendlich viele Lösungen? Berechnen Sie die Lösungsmenge. (c Für welche α,β R besitzt das System keine Lösungen? Lösungshinweise hierzu: (a Ein LGS mit quadratischer Koeffizientenmatrix hat eine eindeutige Lösung genau dann, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht verschwindet. Wir berechnen deta = + 5α. Also besitzt das LGS eine eindeutige Lösung, falls deta α 5. Um die Lösung in diesem Fall zu berechnen betrachtet man das augmentierte System [A b] = α β und vereinfacht es mit Gauss-Algoritmus zu [Ã b] = α 5α β 4 Aus dieser Schreibweise kann man die Lösung dann ablesen und erhält x 5α β 8 x = 5β α x 5α β 4 (b Aus (a weiß man, dass die Matrix nur für den Fall α = unendlich viele Lösungen 5 haben kann. Betrachtet man die letzte Zeile von [Ã b], so erhält man für die Lösbarkeit auch noch die Bedingung β =. Wir setzen nun α = 5 und β = in die augmentierte Matrix [Ã b] ein und erhalten 5 5. Die Lösung kann man daraus ablesen, man erhält die Lösungsmenge 4 L = 5 + t 5 t R.

35 7. Gruppenübung Höhere Mathematik (c Aus (b erhält man, dass für α = 5 Lösung besitzt. und β das lineare Gleichungssystem keine

36 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 8. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Inverse Gegeben ist die Matrix (a Berechnen Sie die Inverse A. A = 4 4. (b Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme Ax = b i für die Vektoren b = (,,,, b = (,,,, b = (4,,,, b 4 = (,, 5,. Hinweis: Benutzen Sie die oben berechnete Inverse. Lösungshinweise hierzu: (a A = (b Wir berechnen x i = A b i, i =,,, 4: x = 6, x = 4, x = , x 4 = Aufgabe H. Volumen Gegeben ist die Pyramide ABCD mit den Ecken A = (,,, B = (, 5,, C = (,,, D = (,,. (a Bestimmen Sie die Höhe h der Pyramide über der Grundfläche mit den Eckpunkten A,B und C. Lösungshinweise hierzu: Die Höhe h ist gleich dem Abstand des Punktes D von der Ebene E durch A, B und C. Die Ebene E ist gegeben durch die Parameterdarstellung E : x = + t 5 + s.

37 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Daraus ergibt sich die Hesse-Normalform E : 59 (5x + x + 5x = Damit ist h = ( = 59. (b Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide mit Hilfe von Teil (a. Benutzen Sie dazu die Formel V = G h mit G = Inhalt der Grundfläche, h = Höhe über dieser Grundfläche. Lösungshinweise hierzu: Zuerst bestimmen wir den Inhalt der Grundfläche (ABC. Es gilt G (ABC = AB AC = 5 = = = 59. Mit der Höhe h aus Teil (a erhalten wir dann V = G (ABC h = 59 = 59. Aufgabe H 4. Inverse Blockmatrizen (a Seien M,N R n n invertierbar. Das Produkt MN ist dann auch invertierbar. Zeigen Sie, dass die Inverse durch (MN = N M gegeben ist. Lösungshinweise hierzu: Eine einfache Rechung zeigt: Dies war zu zeigen. (MN(N M = I = (N M (MN. (b Sei wieder M R n n und I die Einheitsmatrix in R n n. Zeigen Sie, dass ( ( ( ( I M I M I I = und =. I I M I M I Dabei ist mit die Nullmatrix in R n n gemeint. Lösungshinweise hierzu: Unter Verwendung der Rechenregeln aus Aufgabe P8 bekommt man ( ( ( ( I M I M I M + M I = = = I I I I..... R n n

38 8. Gruppenübung Höhere Mathematik und Daraus folgt, dass Analog ergibt sich ( I M I ( I M = I ( I M = I ( I = M I ( I M M = I ( I M. I ( I. M I ( I. I (c Es seien nun A,B,C,D R n n, wobei A,D sowie (A BD C invertierbar vorausgesetzt werden. Rechnen Sie nach, dass ( ( ( ( A B I BD A BD = C I C D I D D. C I Lösungshinweise hierzu: Verwende die Rechenregeln aus Aufgabe P8! Dann gilt: ( ( ( ( ( I BD A BD C I I BD A BD I D D = C C I I DD C D ( A BD = C + BD C BD D C D ( A B = C D (d Benutzen Sie nun die Ergebnisse aus den Teilaufgaben (a-(b, um ( A B C D zu berechnen. Was ergibt sich im Fall n =? Lösungshinweise hierzu: Es folgt aus (a und (b, dass ( ( ( A B I A BD = ( C I BD C D D. C I D I Für den Moment führen wir die Abkürzung X := A BD C ein. Wir wissen aus (b bzw. durch kurze Überlegung, dass ( ( I I D = C I D, C I ( ( X X = D D, ( I BD ( I BD =. I I

39 8. Gruppenübung Höhere Mathematik Der Rest ist einfache Matrizenmultiplikation: ( ( ( ( A B I X I BD = C D D C I D I ( ( ( I X I BD = D C I D I ( ( X = I BD D CX D I ( X = X BD D CX D CX BD + D ( (A BD = C (A BD C BD D C(A BD C D [C(A BD C BD + I] Für n = kann man dieses Ergebnis noch vereinfachen: Die Einträge sind nun reelle Zahlen, die hier der Übersichtlichkeit halber mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden. Es ergibt sich ( a b = c d a bc d [ c d(a bc d d ( d b = bc+ad bc ad bc c d ( d b = (( a b c a det c d b d(a bc d ] bc d(a bc d +

40 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 5. Determinante, Entwicklungssatz Berechnen Sie die Determinante der Matrix A, die gegeben ist durch A = 4. 5 Lösungshinweise hierzu: Um die Determinante von A zu berechnen, entwickeln wir dreimal jeweils nach der ersten Zeile (siehe..4 und erhalten deta = ( 4 = ( = ( 5 = Für die übrigbleibende -Matrix verwenden wir die Regel von Sarrus (siehe..5, wir erhalten als Ergebnis 4 deta = 6 = 6 ( = 6. 5 Aufgabe H 6. Orthonormalbasis, affine Abbildungen (a In R sind die Vektoren v = (, 4, 4, v = (,, 4, v = (,, 4 gegeben. Zeigen Sie, dass B = {v,v,v } eine Basis des R ist und wandeln Sie B mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens in eine Orthonormalbasis um. Lösungshinweise hierzu: Es gilt Rg 4 = Rg = Rg

41 9. Gruppenübung Höhere Mathematik = Rg =. Also ist B eine Basis der R. Nun können wir die Orthonormalbasis {f,f,f } bestimmen. Wir erhalten f = v v =, und schließlich f = v v f f = f = f f = f = v v f f v f f = = 4 f = f f =. = 6 6 (b Gegeben sei die affine Abbildung α: R R : ( x y ( x A y + ( t t mit Fixpunktgerade y = x + und α((, = (,. Bestimmen Sie die Matrix A und den Translationsanteil t = (t,t von α. Lösungshinweise hierzu: Aus α((x,x + = (x,x + für alle x R und α((, = (, erhält man jeweils eine Gleichung:

42 9. Gruppenübung Höhere Mathematik ( ( x x (i A + t = x + x + ( ( (ii A + t =. Kombination der beiden Gleichungen ergibt eine Bestimmungsgleichung für A: ( ( x x A =. x x Diese Gleichung gilt für alle x R. Also insbesondere gilt diese für x = und x =. Daraus findet man relativ rasch die Matrix A: ( A = Der Verschiebungsvektor t wird nun bestimmt indem man α((, = (, benutzt. Man erhält: ( t =. Aufgabe H 7. Eigentlich und uneigentlich orthogonale Matrizen Gegeben seien die Matrizen A = (,A = sowie die Abbildungen (,B =,B = α : v A v, α : v A v, β : w B w, β : w B w. (a Welche der obigen Abbildungen sind Isometrien? Welche von diesen sind eigentlich und welche uneigentlich? Lösungshinweise hierzu: Alle obigen Abbildungen sind Isometrien, weil alle vier Matrizen orthogonal sind, d.h. es gilt A A = A A = I und entsprechendes für die anderen drei Matrizen. Um zu entscheiden, welche Abbildungen eigentlich und welche uneigentlich sind, müssen die Determinanten der Matrizen berechnet werden. Es ergibt sich det(a = det(b =, det(a = det(b =. Also sind α und β eigentliche, α und β uneigentliche Isometrien.,

43 9. Gruppenübung Höhere Mathematik (b Eigentlich orthogonale Matrizen beschreiben Drehungen. Bestimmen Sie für alle eigentlich orthogonalen Matrizen aus der Menge {A,A,B,B } den Drehwinkel und gegebenenfalls die Drehachse. Lösungshinweise hierzu: Jede eigentlich orthogonale -Matrix hat die Form ( cos ϕ sin ϕ. sin ϕ cos ϕ Also gilt für die Drehung, die durch A beschrieben wird: cos ϕ = Sp (A =, ϕ = π 6. Eine Drehachse gibt es in diesem Fall nicht. Für die -Matrix B können wir die Formel aus verwenden: cos ϕ = Sp (B = 5 =, ϕ,. Die Drehachse ist die Menge aller Fixpunkte von β, d.h. alle Vektoren w für die β (w = w gilt. Dazu lösen wir das homogene lineare Gleichungssystem (B Iw = und erhalten für die Drehachse: D = w R : w = λ, λ R. (c Jede uneigentlich orthogonale Matrix beschreibt eine Komposition aus einer Drehung und einer Spiegelung. Geben Sie für alle uneigentlich orthogonalen Matrizen aus der Menge {A,A,B,B } eine solche Drehung sowie Spiegelung an. Bestimmen Sie zu diesen den Drehwinkel und gegebenenfalls die Drehachse, sowie die Spiegelungsachse bzw. -ebene. Lösungshinweise hierzu: Wir beginnen mit der Matrix A. Es sei gesagt, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, die dadurch beschriebene Drehspiegelung in eine Drehung und eine Spiegelung zu zerlegen. Eine einfache ergibt sich aus folgender Gleichheit: A = A ( π Wir wissen bereits, dass A eine Drehung ( mit Drehwinkel beschreibt. Überzeugen 6 wir uns, dass die orthogonale Matrix zu einer Spiegelung gehört: Sei (x,y eine beliebiger Vektor in R, dann gilt ( ( ( x x =. y y.

44 9. Gruppenübung Höhere Mathematik (x,y wurde offensichtlich an der x-achse gespiegelt. Damit haben wir für A eine Drehung und eine Spiegelung gefunden, deren Komposition die von A beschriebene Drehspiegelung ist. Analog verfahren wir mit B : Die Matrix beschreibt eine Spiegelung an der x-y-ebene. Aus B = B folgt, dass die von B beschriebene Drehspiegelung eine Komposition aus der Spiegelung an der x-y-ebene und der durch B beschriebenen Drehung mit Drehwinkel,... und Drehachse D ist.

45 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 8. Cofaktor-Matrix und Hauptinvarianten Gegeben sei eine quadratische Matrix A R. Wir bezeichnen mit Cof (A die Cofaktor- Matrix von A (siehe Def.... und setzen ι(a := ( (Sp (A Sp (A. Zeigen Sie: (a Es gilt ι(a = Sp (Cof (A. Lösungshinweise hierzu: Wir bezeichnen im Folgenden die Einträge von A mit a ij, i,j =,...,. Die Eintrag an der Stelle (i,j der Cofaktor-Matrix von A ist die (i,j-adjunkte von A: Sei Cof (A = (d ij i,j=,...,, dann ist d ij = ( i+j detãij, wobei à ij die -Matrix ist, die entsteht, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte von A streicht. Damit bekommen wir Sp (Cof (A = detã + detã + detã = a a a a + a a a a + a a a a. Weiterhin gilt: und Sp (A = a + a + a Sp (A = a + a a + a a + a a + a + a a + a a + a a + a. Es folgt (Sp (A [ Sp (A ] = [ a + a + a + a a + a a + a a (a + a + a + a a + a a + a a ] = a a + a a + a a a a a a a a = Sp (Cof (A. (b ι(a ist eine Invariante von A, d.h. für jede invertierbare Matrix B R gilt ι(bab = ι(a. Lösungshinweise hierzu: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Spur eine Invariante ist, d.h. für jede beliebige -Matrix M und jede invertierbare -Matrix B gilt: Sp (M = Sp (BMB. (Dies gilt sogar für n n-matrizen!

46 . Gruppenübung Höhere Mathematik Da sowohl A als auch A -Matrizen sind, gilt: Aus der Gleichheit folgt damit Sp (A = Sp (BAB, Sp (A = Sp (BA B. (BAB = BAB BAB = BA B ι(bab = ι(a. Bemerkung: ι(a ist neben der Spur und der Determinante die dritte Hauptinvariante der -Matrix A und tritt als Koeffizient im charakteristischen Polynom auf (siehe das Kapitel über Eigenwerte. Aufgabe H 9. Gegeben sind das Standard-Koordinatensystem E und das affine Koordinatensystem F = ;,,, im R 4 sowie die lineare Abbildung α : R 4 R 4 : v Av mit A =. Geben Sie die Koordinatentransformationen E κ F und F κ E sowie die Beschreibung der Abbildung α bzgl. des Koordinatensystems F an. Lösungshinweise hierzu: Man erhält mit der Formel E κ F (v = Fv + P aus der Vorlesung direkt κ : v E F v + und mit der Formel F κ E (v = F (v P für die Umkehrabbildung 5 4 κ : v 4 F E 5 v = v

47 . Gruppenübung Höhere Mathematik Nach Satz 4.7. wird die Abbildung α bzgl. des Koordinatensystems F durch 5 7 v F AFv + F (AP P + t = v + mit t = beschrieben. Aufgabe H. Spiegelung Gegeben ist im R die Ebene, die beschrieben wird durch die Gleichung x x + x = Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die Spiegelung an der Ebene beschrieben wird durch die affine Abbildung x Ax + t. Lösungshinweise hierzu: Um die Spiegelung an der Ebene zu beschreiben, bilden wir zu jedem Punkt ( x, x, x R den Spiegelpunkt (ˆx, ˆx, ˆx. Der Vektor n = (,, steht orthogonal auf der Ebene (Satz.9.5, folglich ist die folgende Gerade orthogonal zur Ebene und geht durch den Punkt ( x, x, x. h = x x x R x x x x = x + t x, t R. Um den Schnittpunkt der Geraden h mit der Ebene zu erhalten setzen wir die Punkte von h in die Ebenengleichung ein: x + 9t x + 9t + x + t =, daher liegt der Schnittpunkt mit der Ebene bei Der Spiegelpunkt (ˆx, ˆx, ˆx liegt also bei t = x + x x. 9 t = 6 x + 6 x x, 9 und ist durch die folgenden Koordinaten gegeben: ˆx = 9 ( x + 8 x 6 x, ˆx = 9 (8 x + x + 6 x,

48 . Gruppenübung Höhere Mathematik Also erhalten wir ˆx ˆx ˆx ˆx = 9 ( 6 x + 6 x + 7 x. = Matrix A und Vektor t sind durch A = , t = gegeben. x x x.

49 M. Borgart, M. Kutter, Dr. I Rybak, J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H. Im R gegeben seien ein Rechtssystem Q mit Orthonormalbasis {v,v,v } sowie die Winkel α, β, γ. (a Geben Sie die Matrizen R α, R β und R γ an, die eine Drehung des Rechtssystems Q um die Achse v, v bzw. v um den jeweiligen Winkel beschreiben. Lösungshinweise hierzu: R α = cos α sin α, R β = sin α cosα R γ = cos γ sin γ sin γ cos γ cosβ sinβ sin β cosβ (b Geben Sie mindestens zwei mögliche Matrixdarstellungen für eine beliebige Drehung von Q um die Ursprung an. Berechnen Sie für eine dieser Darstellungen die Determinante und die Inverse. Lösungshinweise hierzu: R α, R β und R γ können in beliebiger Reihenfolge multipliziert werden. Z.B: R := R α R β R γ oder R := R γ R β R α. det(r = det(r =. R = R T, R = R T. (c Betrachten Sie den Vektor v = (,,. Nehmen Sie an, dass α = π, β = π, 6 4 γ = π und berechnen Sie die neuen Koordinaten von v um den Ursprung gedrehten Rechtssystem mit Hilfe von Teil (b.., Lösungshinweise hierzu: ( π ( π ( π R (α,β,γv = R α R β R γ 6 4 = = v Aufgabe H. Diagonalisierbarkeit

50 . Gruppenübung Höhere Mathematik Gegeben sind die Matrizen A =, B = 4 4 6, C = (a Bestimmen Sie alle Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume von den Matrizen A, B und C. Lösungshinweise hierzu: Matrix A Das charakteristische Polynom der Matrix A lautet χ A = det(a λe = λ(λ. Die Nullstellen dieses Polynoms (die Eigenwerte von A sind λ = und λ = mit e = und e =. Die Eigenvektoren v k zu diesen Eigenwerten erhält man durch Lösen des entsprechenden LGS (A λ k E v k =, k =,. Für λ = erhalten wir v =,. woraus sofort folgt Als Eigenraum erhalten wir v = t V (λ = L, t C.. Analog ergeben sich für λ = : v =. Wir erhalten v = s + t, s,t C.

51 . Gruppenübung Höhere Mathematik Als Eigenraum erhalten wir V (λ = L,. Matrix B Die Eigenwerte der Matrix B berechnen wir als Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ B = (λ + (λ, also woraus (λ + (λ =, λ = und λ = mit e = und e =. folgt. Als Eigenräume erhalten wir 6 (A λ E = V (λ = s 4 6 (A λ E = 4 6 V (λ = s s C, s C. Matrix C Das charakteristische Polynom der Matrix C ist χ C = (λ + (λ + 4 und die Eigenwerte sind damit Eigenräume: (A λ E = λ =, λ = i, und λ = i. V (λ = s 5 6 s C, i i (A λ E = + i V (λ = s i s C, i i (A λ E = i V (λ = s i s C.

52 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b Geben Sie in den diagonalisierbaren Fällen jeweils eine Transformationsmatrix T an, die die entsprechende Matrix in Diagonalgestalt transformiert. Bestimmen Sie die dazugehörige Diagonalmatrix D. Lösungshinweise hierzu: Matrix A Der Eigenwert λ = hat algebraische Vielfachheit e = und geometrische Vielfachheit d =. Der Eigenwert λ = hat algebraische und geometrische Vielfachheit. Nach der Folgerung 5..5 ist die Matrix A diagonalisierbar. Eine mögliche Transformationsmatrix T A ist durch T A = gegeben. Die zugehörige Diagonalmatrix D A hat die Form D A = T A AT A =. Matrix B Die Matrix B ist nicht diagonalisierbar, weil die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ = (e = nicht gleich der geometrischen Vielfachheit von λ = (d = ist (Folgerung Matrix C Die Matrix C ist komplex diagonalisierbar, weil sie verschiedene Eigenwerte λ λ λ hat (Folgerung 5... Eine mögliche Transformationsmatrix T C ist durch T C = (v, v, v = i i 5 6 gegeben. Die zugehörige Diagonalmatrix D C hat die Form D C = T C CT C = i. i (c Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrizen A, A, B und C. Lösungshinweise hierzu: Matrix A Aus D A = T A AT A erhalten wir A = T A D A T A, woraus sofort A = T A D A T A T AD A T A = T ADAT A

53 . Gruppenübung Höhere Mathematik folgt, d.h. A und DA sind konjugiert zueinander und haben die gleichen Eigenwerte (Satz 5... Wir berechnen DA = 4, 4 und erhalten die Eigenwerte von A : Analog berechnen wir µ =, µ = µ = 4. D A = und erhalten die Eigenwerte von A :, ν =, ν = ν =. Matrix B Die Matrix B ist nicht diagonalisierbar. Deshalb berechnen wir B = = und erhalten die Eigenwerte von B als Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(b µe =. Wir erhalten die folgenden Eigenwerte von B : µ = 4, µ = µ =. Matrix C Aus D C = T C CT C erhalten wir C = T C D C T C, woraus sofort C = C C...C }{{} folgt. Wir berechnen D C = = T C D C T C T CD C T C...T CD C T C }{{} ( ( i (i und erhalten die Eigenwerte von C = µ =, µ = µ =. = T C D C T C,

54 . Gruppenübung Höhere Mathematik Alternative Wenn λ ein Eigenwert von C ist, existiert v R mit Damit erhalten wir Cv = λv. C } C {{...C } v = λ C } C {{...C } v = λ C } C {{...C } v = λ v Also ist µ = λ ein Eigenwert von C zum Eigenvektor v. In unserem Fall sind die Eigenwerte von C µ = ( =, µ = ( i = (i =, µ =. Bemerkung Mit der gleichen Argumentation wie eben kann man für beliebige Matrizen folgenden Schluss ziehen: Wenn λ ein Eigenwert einer Matrix M C n n ist, dann ist λ k ein Eigenwert von M k. Wenn λ ein mehrfacher Eigenwert von M ist, dann weiß man allerdings dadurch noch nicht, dass λ k ein mehrfacher Eigenwert von M k mit gleicher algebraischer Vielfachheit ist. Es stimmt trotzdem (siehe z.b. die Matrix B und den Eigenwert, man kann dies selbst für nicht diagonalisierbare Matrizen beweisen. Der Beweis ist für diese Übungsaufgabe aber zu umfangreich. Aufgabe H. Eigenwerte, Eigenräume Gegeben ist die Matrix A =. (a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A Lösungshinweise hierzu: Für das charakteristische Polynom der Matrix A erhalten wir nach dem Anwenden des Entwicklungssatzes: χ A (λ = λ 4 4λ + 5λ 4λ + 4 = λ 4 + λ 4λ + 4λ 4λ + 4 = λ (λ + 4λ (λ 4(λ = λ (λ + 4(λ (λ + = (λ + (λ 4λ + 4 = (λ + (λ. Damit erhalten wir die Eigenwerte λ =,λ = i,λ = i.

55 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b Geben Sie die zugehörigen Eigenräume an. Lösungshinweise hierzu: Die Eigenvektoren v k zu diesen Eigenwerten erhält man durch Lösen des entsprechendes LGS (A λ k E 4 v k =, k =,,. Für λ = erhalten wir v =, woraus folgt v = t Als Eigenraum erhalten wir daher, V ( = L t C\{}.. Analoge Berechnung für den Eigenwert λ = i führt zu: i i 7 4 i v = = V (i = L 5 4 i i + i Der Eigenraum von λ = i lässt sich aus demjenigen von λ = i herleiten: Av = iv Av = iv A v = i v. Und damit folgt für den Eigenraum von λ = i i + V ( i = L i (c Geben sie zu allen Eigenwerten jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit an. Existiert eine Basis des C 4 aus Eigenvektoren von A?

56 . Gruppenübung Höhere Mathematik Lösungshinweise hierzu: Die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheitder Eigenwerte lauten somit: e i =, e i =, e = d i =, d i =, d = Es lässt sich keine Basis für C 4 bilden, da e und d nicht den gleichen Wert haben.

57 M. Borgart M. Kutter Dr. I Rybak J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Quadriken Gegeben sind die folgenden Quadriken { } Q := (x,x R x + 4x x =, Q := { } (x,x,x R x x + x + 4 =. (a Geben Sie für jede Quadrik die Matrixbeschreibung an. Lösungshinweise hierzu: Quadrik Q Die Gleichung der Quadrik Q lautet x Ax + a x + c = mit ( ( A =, a =, c =. 4 Quadrik Q Für die Quadrik Q gilt A =, a =, c = 4. (b Entscheiden Sie, ob Q i, i =, eine kegelige, eine parabolische oder eine Mittelpunktsquadrik ist. Lösungshinweise hierzu: Quadrik Q Um den Typ der Quadrik Q zu bestimmen, berechnen wir ( r = Rg A = Rg =, 4 r erw = Rg A erw = Rg 4 =. Es gilt r erw = r + und es liegt eine Mittelpunktsquadrik vor.

58 . Gruppenübung Höhere Mathematik Quadrik Q Analog berechnen wir für die Quadrik Q : r = Rg A = Rg r erw = Rg A erw = Rg =, 4 Also, ergibt sich r erw = r + : parabolische Quadrik. (c Skizzieren Sie die Quadrik Q. = 4. Lösungshinweise hierzu: Durch quadratische Ergänzung beseitigen wir den linearen Term in x : x + 4x x =, ( x x + + 4x =, (x + 4x = 4, (x + x =. 4 Das ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (, und den Halbachsen und.. x.5 x.5. (d Schneiden Sie die Quadrik Q mit den Ebenen x =, x =, x = 4, x =. Geben Sie jeweils eine Gleichung für den Schnitt, die Gestalt des Schnitts an, und skizzieren Sie den Schnitt. Lösungshinweise hierzu: x = : Gleichung für den Schnitt: x + x = 4. Gestalt des Schnitts: Kreis um (, mit Radius.

59 . Gruppenübung Höhere Mathematik x x x = : Gleichung für den Schnitt: x + x =. Gestalt des Schnitts: Punkt (,. x x.5 x = 4: Gleichung für den Schnitt: x + x = 4. Gestalt des Schnitts: leere Menge (kein Punkt. x = : Gleichung für den Schnitt: x + x + 4 =. Gestalt des Schnitts: Parabel.. x x

60 . Gruppenübung Höhere Mathematik (e Skizzieren Sie nun die Quadrik Q. Lösungshinweise hierzu: x x x Aufgabe H 5. Quadratische Form Für welche Werte von a,b R ist die quadratische Form q(x = a(x + x + bx x positiv definit, negativ definit beziehungsweise indefinit? Lösungshinweise hierzu: Die quadratische Form q(x lässt sich in Matrixform umschreiben: ( q(x = a(x + x + bx x = x a b b x a Um heraus zu finden ob diese quadratische Form positiv definit, negativ definit oder indefinit ist, werden die Eigenwerte betrachtet (Lemma Es gilt nun Sp(A = λ +λ und det(a = λ λ. Daraus lässt sich folgendes über die Matrix sagen: det(a > Sp(A > λ,λ > A positiv definit det(a > Sp(A < λ,λ < A negativ definit det(a < λ <,λ > λ >,λ < A indefinit Auf die Aufgabe angewandt heisst das nun det(a = a b 4 a > b a > A positiv definit a > b a < A negativ definit a < b A indefinit und Sp(A = a. Also:

61 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 6. Symmetrische Matrizen, Positiv/Negativ definite Matrizen Seien A,B R n n symmetrische Matrizen. Wir sagen, dass A, wenn A positiv definit ist, und A B, wenn A B. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Begründen Sie Ihre Antworten. (a Es sei T R n n eine beliebige Matrix. A genau dann, wenn T T AT. Lösungshinweise hierzu: Dies stimmt im Allgemeinen nicht. Es gilt nur wenn Rg(T = n. Genau dann ist die Abbildung x Tx bijektiv und für x R n {} gilt x T ATx = y Ay >, mit y = Tx. (b Es gilt ( (. Lösungshinweise hierzu: Nein! Die Matrix ( ( hat die Eigenwerte λ = und λ =. = ( (c Es seien λ max (A bzw. λ max (B die größten Eigenwerte von A bzw. B. Aus A B folgt λ max (A + B > λ max (A + λ max (B. Lösungshinweise hierzu: Nein! Ein Gegenbeispiel ist ( ( A = und B = Man sieht, dass λ max (A =, λ max (B = und λ max (A + B =. (d Wir betrachten ( eine symmetrische Matrix A R n n, die Blockstruktur besitzt, d.h. Q S A = S T. Dann gilt: R A genau dann, wenn Q und R S T Q S. A genau dann, wenn R und Q SR S T. Hinweis: Sehen Sie sich die Aufgabe H4 an. Lösungshinweise hierzu: Stimmt! Wir können A faktorisieren als ( I Q A = T T D T := T ( ( S Q I Q S I R S T Q S I. und ( I A = T T D T := RS T I T ( Q SR S T R ( I RS T I Dabei sind T und T reguläre Matrizen. Die Behauptung folgt dann wie in Teil (a.

62 Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 7. Bestimmen Sie eine euklidische Normalform der Quadrik Q := { x R x x x + x + x 4x + = } und ermitteln Sie die zugehörigen Koordinatentransformationen. Bestimmen Sie anhand der Normalform die Gestalt der Quadrik und fertigen Sie eine Skizze der Quadrik in Standardkoordinaten an. Zeichnen Sie in Ihre Skizze auch das Koordinatensystem ein, bezüglich dessen die Quadrik Normalform hat. Lösungshinweise hierzu: Die Gleichung der Quadrik lautet x Ax + a x + c = mit ( ( 6 A =, a =, c =. Das charakteristische Polynom der Matrix A lautet χ A (λ = ( λ und die Eigenwerte sind damit λ = 4 und λ =. Zur Bestimmung der Eigenvektoren ergeben sich die Gleichungssysteme ( ( ( ( v =, v = und daraus die Eigenvektoren v = ( (, v =. Die Matrix der orthogonalen Transformation y = F x lautet also F = ( und diese transformiert den linearen Anteil der Gleichung auf ã = F a = ( 8. 4 Dies ergibt die transformierte Gleichung 4y + y + 8 y + 4 y + =.