5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0).

Transkript

1 5 Quadriken Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist eine Teilmenge K R 2, welche durch eine quadratische Gleichung in zwei Unbestimmten beschrieben werden kann: x K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} y wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit a, b, c 0, 0, 0. Beispiele: 1

2 Quadriken Ein quadratisches Polynom in n Unbestimmten ist eine Funktion p : R n R der Gestalt px = α ij x i x j + b i x i + c 1 i j n 1 i n mit reellen Zahlen α ij, b i, c, wobei nicht alle α ij gleich Null sein dürfen. Definition: Eine Quadrik Q im R n ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms wie oben, d.h. Andere Schreibweise: Q : px = 0. Q = {x R n px = 0}. Matrizenschreibweise für quadratische Polynome i Funktionen der Gestalt qx = α ij x i x j nennt man auch quadratische Formen. 1 i j n Setze a ij := α ii und a ij = a ji := 1 2 α ij für i < j. Dann ist A = a ij i,j=1,...,n eine symmetrische n n Matrix und es gilt qx = n x 1 a ij x i x j = x t Ax für x =. R n. i,j=1 Also ist q die zur Bilinearform sx, y = x t Ay gehörige quadratische Form. x1 Beispiel: q = x x x 1 x 2 + 2x 2 2 = x x 1 x 2 + x 2 x 1 + 2x 2 2 = x1 x 1, x x 2 ii Eine Linearform auf dem R n ist eine Funktion l : R n R der Gestalt lx = b 1 x b n x n = b t x, wobei b =. R n. 2 b 1 b n x n

3 Somit ist jedes quadratische Polynom px von der Form px = qx+ lx + c, wobei qx eine quadratische Form, lx eine Linearform und c R eine Konstante ist. Jede Quadrik Q R n hat also eine Darstellung Beispiele: 1 Q = n a ij x i x j + i,j=1 n b k x k + c = 0 k=1 mit einer symmetrischen Matrix A = a ij 0. In Matrizenschreibweise: 1 Q : x t Ax + b t x + c = 0 a Q : x x2 2 = r2, r > 0 Kreis Q : x t E 2 x r 2 = 0A = E 2, b = 0, c = r 2 b Q : x 2 = ax 2 1, a 0 Parabel a 0 Q : x t x1 x + 0, 1 = 0A = 0 0 c Q : x 2 1 x 2 2 = r 2, r > 0 Hyperbel Q : x t x r = 0A = 0 1 x 2 Affine Klassifikation der Quadriken a 0 0, b =, c = , b = 0, c = r Bemerkung: Ist Q R n eine Quadrik und f : R n R n eine Affinität, so ist auch fq eine Quadrik. Beweis: Sei Q : x t Ax + b t x + c = 0 wie oben. Jede Affinität f : R n R n ist von der Form fx = S x + v, wobei S eine invertierbare n n Matrix ist und v R n. f setzt sich also zusammen aus i einen Vektorraum Isomorphismus x Sx und ii einer Translation x x + v. Es genügt also, 5.1 in den Fällen i und ii zu zeigen. 3

4 Zu i Setze ϕ := f 1 : R n R n, x S 1 x x fq ϕx Q ϕx t Aϕx + b t ϕx + c = 0 x t S 1 t AS 1 x + b t S 1 x + c = 0 x t A y + b t y + c = 0 wobei A = S 1 t AS 1, b = S 1 t b. Also ist fq : x t A y + b t x + c = 0 eine Quadrik. Zu ii Setze ϕ := f 1 : R n R n, x x v x fq ϕx Q x v t Ax v + b t x v + c = 0 x t Ax + b t y + c = 0, b = b 2Av und c = v t Av b t v + c, also ist fq : x t Ax + b t x + c = 0 eine Quadrik. Beispiel: Q : x x 2 = 0 Parabel f : R 2 R 2 x1 2x1 + 3x = x 2 5x 1 + x mit S = und b =. fx = y mit Koordinaten y1 y 2 = Sx + b y 2 = 5x 1 + x 2 ergibt die Umkehrung Gauß Algorithmus: y 1 = 2x 1 + 3x 2 } + 1 Auflösen nach x1 und x 2 x 1 = 1 y y 2 1 x 2 = 1 5y y Es ist also f 1 y1 = 1 y 1 3y y 1 + 2y y1 y 2 y 2 fq x1 x 2 = f 1 y1 y 2 x1 = x 2 Q. Einsetzen ergibt 1 y y y y = 0 y1 2 6y 1 y 2 + 9y2 2 2y 1 + 6y y 1 52y = 0 y y2 2 }{{ 6y 1y } y 1 46y = 0. }{{} q y l y fq : q X + l X 129 = 0 Definition: Zwei Quadriken Q und Q im R n heißen affin äquivalent, wenn es eine Affinität f gibt mit fq = Q. Schreibe dafür Q Q. 5.2 Bemerkung: Affine Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation, d.h. : i Q Q; ii Aus Q Q folgt Q Q; iii Aus Q Q und Q Q folgt Q Q. 4

5 Beweis: Dies gilt, weil id R n, die Inverse eine Affinität und die Komposition von zwei Affinitäten wieder Afffinitäten sind. Es soll nun gezeigt werden, dass es nur endlich viele affine Äquivalenzklassen von Quadriken im R n gibt. 5.3 Satz: Affine Klassifikation der Quadriken. Jede Quadrik Q R n ist affin äquivalent zu einer Quadrik Q mit einer Gleichung der folgenden Gestalt: 1 x x2 r x2 r+1... x2 r+s = 0; r > 0, x 0, 0 < r + s n, oder 2 x x2 r x2 r+1... x2 r+s = 1; 0 < r + s n, oder 3 x x 2 r x 2 r+1... x 2 r+s = x r+s+1 ; r > 0, s 0, r + s < n. Die Quadriken mit Gleichungen 1, 2 oder 3 heißen Quadriken in affiner Normalform oder Hauptachsenform. Ist Q Q und Q von in affiner Normalform, so heißt Q der affine Typ oder die affine Normalform von Q. Beweis I. Vereinfachung des quadratischen Anteils. Sei Q : px = qx + lx + c = 0 wie oben. Nach IV 3.6 gibt es eine Basis B = w 1,...,w n des R n und natürliche Zahlen r, s mit 0 < r + s n, so dass qx 1 w x n w n = x x 2 r x 2 r+1... x 2 r+s =: q x lϕx = d 1 x d n x n = l X Linearform mit d i = lw i. Setze f := ϕ 1. Dann gilt x fq genau dann wenn ϕx Q, d.h. fq : q x + l x + c = 0. Also ist Q = fq : p x = x x2 r x2 r+1... x2 r+s +d 1x d n x n +c = 0. Es ist Q Q und Q hat keine gemischt-quadratischen Terme. II. Vereinfachung des linearen Anteils von p. 1 Eliminiere die Terme d 1 x 1,...,d r+s x r+s : Ergänze x 2 i ± d i x i jeweils durch d i 2 2 zu vollständigen Quadraten: p x = x 1 + d x r + dr 2 2 x r+1 d r x r+s d r+s +d r+s+1 x r+s d n x n + e mit e = c r d i s d i+r 2 2. Setze i=1 i=

6 p x = x x2 r x2 r+1... x2 r+s + d r+s+1x r+s d n x n + e. Mit v := 1 2 d 1,...,d r, d r+1,..., d r+s, 0,...,0 t ist dann p x + v = p x. Fazit: Ist τ v : R n R n, x x + v, die Translation um den Vektor v, so ist p x = 0 p τ v x = 0. Somit ist τ v Q = Q, wobei Q : p x = 0, und Q Q. Zwischenergebnis: Q Q mit Q : x x 2 r x 2 r+1... x 2 r+s + d r+s+1 x r+s d n x n + e = 0. 1 Unterscheide drei Fälle: a d r+s+1 =... = d n = e = 0: Es liegt Typ 1 vor. b d r+s+1 =... = d n = 0, e 0. Nach Multiplikation mit 1, falls e > 0 und Änderung der Reihenfolge kann man annehmen: Q : x x2 r x2 r+1... x2 r+s +d r+s+1x r+s d n x n +e = 0 und e < 0. Ersetze x i durch ex i für i = 1,...,r + s. Erhalte die Gleichung ex x 2 r x 2 r+1... x 2 r+s+e = 0. Dividiere durch e, erhalte: p x = x x2 r x2 r+1... x2 r+s 1 = 0 ist die Gleichung der Quadrik Q = fq mit fx = 1 1 e x 1,..., e x r+s, x r+s+1,...,x n t. Also ist Q Q und Q : x x 2 r x 2 r+1... x 2 r+s 1 = 0 ist vom Typ 2. c d r+s+1 x r+s d n x n 0 : O.E. sei d r+s+1 0. Setze fx = y 1,..., y n t mit y i = x i für i r + s + 1 und y r+s+1 = d r+s+1 x r+s d n x n + e. Dann ist x Q fx Q, wobei Q : p x = x x 2 r x 2 r+1... x 2 r+s x r+s+1 = 0 vom Typ 3 ist. Praktisches Verfahren zur Bestimmung der affinen Normalform einer Quadrik Beispiele: 6

7 a I. Q : px = x x2 2 6x 1x x x = 0. Ergänze x 2 1 6x 1x 2 quadratisch durch 3x 2 2, erhalte px = x 1 3x 2 2 9x x x 1 3x 2 + 3x x = x 1 3x 2 2 x x 1 3x x x = x 1 3x 2 2 x x 1 3x x Also ist Q Q mit Gleichung Q : x 2 1 x x x = 0 II. x = x x x = x x , also x 2 1 x x x = x x = x x Division durch ergibt das Polynom 2 2 x x = 0 und Q Q Q. Q : x 2 1 x 2 2 = 1 Typ 2 b Q : x 1 x 2 x 3 = 0. Ersetze x 1 durch x 1 + x 2 und x 2 durch x 1 x 2 : x 1 + x 2 x 1 x 2 x 3 = x 2 1 x2 2 x 3. Also hat A die Normalform x 2 1 x 2 2 x 3 = 0 Typ Schritt: Eliminiere die gemischten Terme x i x j, i j aus px. Unterscheide zwei Fälle: a Es kommt ein reiner Term ax 2 i, a 0 vor o.e. i = 1. In px ersetze man x 1 durch x 1 und man erhält ein Polynom der Form a ±x a 2x a n x n x 1 + qx 2,...,x n + lx + c mit einer quadratischen Form q in x 2,...,x n. In der neuen Gleichung ersetze man x 1 durch x 1 a 2 x a n x n und erhält ein Polynom der Form ±x q x 2,...,x n + l x 1,..., x n + c wobei q eine quadratische Form in x 2,...,x n ist. 7

8 b Die Terme x 2 1,...,x2 n kommen in qx nicht vor: Dann kommt etwa ax 1 x 2 vor mit a 0. In px ersetze man x 1 durch x 1 + x 2 und x 2 durch x 1 x 2, also ax 1 x 2 durch ax 2 1 ax 2 2. Fahre nun fort wie in a. In beiden Fällen gelangt man schließlich zu einer Gleichung der Form ±x 2 1+ q x 2,...,x n + l x 1,..., x n + c mit einer quadratischen Form q und einer Linearform l. Verfahre nun mit q so wie vorher mit q. Nach endlich vielen Schritten sind die Terme x i x j eliminiert. 2. Schritt: Vereinfache die linearen Terme durch quadratische Ergänzung wie im Beweis des Satzes beschrieben. 5.4 Bemerkung: Sind Q : x t Ax + b t x + c = 0 und Q : x t A x + b t x + c = 0 affin äquivalente Quadriken, so ist Rang A = Rang A. Beweis: Sei f : R n R n, x Sx + v eine Affinität mit fq = Q. Dann ist S invertierbar und A = S 1 t AS 1. Es folgt Rang A = Rang A. Im nächsten Abschnitt werden wir uns mit den Fällen n = 2 und n = 3 genauer beschäftigen. 8