Lineare Algebra II Klausur

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1 Prof. Dr. W. Bley Wintersemester 2011/12 Dr. D. Macias Castillo 21. April 2012 Lineare Algebra II Klausur Nachname: Vorname: Matrikelnr.: Fachsemester: Abschluss: Bachelor PO 2007 PO 2010 Lehramt Gymnasium modularisiert nicht modularisiert Master Diplom Hauptfach: Mathematik Wirtschaftsm. Inf. Phys. Stat. Nebenfach: Mathematik Wirtschaftsm. Inf. Phys. Stat. Anrechnung der Credit Points für das Hauptfach Nebenfach (Bachelor / Master) Bitte schalten Sie Ihr Mobiltelefon aus und legen es nicht auf den Tisch; legen Sie bitte Ihren Lichtbild- und Studienausweis sichtbar auf den Tisch. Bitte überprüfen Sie, ob Sie fünf Aufgaben erhalten haben. Schreiben Sie bitte nicht in den Farben rot oder grün. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Nachnamen und Vornamen. Lösen Sie bitte jede Aufgabe auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Falls der Platz nicht ausreicht, verwenden Sie bitte die leeren Seiten am Ende und vermerken dies auf dem Angabenblatt der entsprechenden Aufgabe. Bitte achten Sie darauf, dass Sie zu jeder Aufgabe nur eine Lösung abgeben; streichen Sie deutlich durch, was nicht gewertet werden soll. Falls Sie einen Übungsschein benötigen, füllen Sie bitte das Formular auf der folgenden Seite aus. Sie haben 120 Minuten Zeit, um die Klausur zu bearbeiten. Viel Erfolg! /8 /7 /10 /7 /10 /42

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3 UNIVERSITÄT MÜNCHEN ZEUGNIS Dieser Leistungsnachweis entspricht auch den Anforderungen nach Abs. Nr. Buchstabe LPO I nach Abs. Nr. Buchstabe LPO I Der / Die Studierende der Herr / Frau aus geboren am in hat im WS 2011/12 meine Vorlesung Lineare Algebra II besucht. Er / Sie hat an der die Klausur vom 4.Februar 2012 mit Erfolg teilgenommen und die erreicht. MÜNCHEN, den Note:

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5 Aufgabe 1. [3+5 Punkte] Sei K ein Körper und V = K[X] der K-Vektorraum aller Polynome mit Koeffizienten in K. a) Sei U := {p(x) V p(1) = 0}. Zeigen Sie, daß U ein linearer Unterraum von V ist. b) Zeigen Sie, daß V/U und K isomorphe K-Vektorräume sind. Geben Sie dazu explizit einen Isomorphismus an. Lösung: a) Seien p,q U,λ K. Dann gilt (p+q)(1) = p(1)+q(1) = 0+0 = 0 und (λp)(1) = λp(1) = λ 0 = 0. Also sind auch p+q und λp in U enthalten. b) Man betrachte ϕ: V K, p p(1). Wegen ϕ(λp+µq) = (λp+µq)(1) = λp(1)+µq(1) = λϕ(p)+µϕ(q) ist ϕ eine lineare Abbildung. Hierbei sind natürlich p,q V und λ,µ K. Betrachte für a K das Polynom p a (x) = a (konstantes Polynom). Dann gilt ϕ(p a ) = a. Also ist ϕ surjektiv. Nach Definition von U gilt ker(ϕ) = U. Somit können wir den Isomorphiesatz anwenden und erhalten einen Isomorphismus ϕ: V/U K,p(x)+U p(1).

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7 Aufgabe 2. a) Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen aus M 3 (R) positiv definit sind: A 1 = 1 5 1, A 2 = [3+4 Punkte] Geben Sie für diejenigen A i, die nicht positiv definit sind, einen Vektor v R 3,v 0, an, so daß v t A i v 0 gilt. b) Sei nun B eine n m-matrix mit Koeffizienten in R. Dann wird durch β(x,y) := x t B t By eine Bilinearform β: R m R m R definiert. (Dies brauchen Sie nicht zu beweisen.) Zeigen Sie: β ist nicht ausgeartet ker(b) = {0}. Lösung: a) Mit ( dem) Determinantenkriterium beweist man leicht die positive Definitheit vom A 1. Wegen 3 2 det = 1 < 0 ist A nicht positiv definit. Für v = ( 1,2,0) t gilt v t A 2 v = 1 < 0. b) Sei v ker(b). Dann gilt für alle y R m β(v,y) = v t B t By = (Bv) t By = 0. Da β nicht ausgeartet ist, folgt v = 0. Sei umgekehrt v R 3,v 0, beliebig. Da ker(b) {0}, ist y := Bv nicht der Nullvektor. Also gilt β(v,v) = (Bv) t (Bv) = y t y > 0. Insbesondere ist also β nicht ausgeartet.

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9 Aufgabe 3. [ Punkte] Sei A M n (C) eine Matrix über den komplexen Zahlen. Die Matrix A habe genau einen Eigenwert λ C. a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A. b) Bestimmen Sie im Fall n = 4 die sämtlichen Möglichkeiten für die Elementarteiler von A. c) Sein nun n wieder beliebig. Zeigen Sie, daß es eine natürliche Zahl m gibt, so daß (A λe) m = 0 gilt. Hierbei bezeichnet E die n n Einheitsmatrix. d) Bestimmen Sie im Fall n = 4 jeweils das minimale m, so daß (A λe) m = 0 gilt, in Abhängigkeit von den Elementarteilern. Lösung: a) Da C algebraisch abgeschlossen ist, zerfällt des charakteristische Polynom χ A (X) vollständig in Linearfaktoren. Da die Nullstellen von χ A (X) genau die Eigenwerte sind und deg(χ A ) = n, folgt χ A (X) = (X λ) n. b) Das Produkt der der Invariantenteiler c 1 (X),...,c n (X) ergibt das charakterisitische Polynom. Ferner gilt c 1 c 2... c n. Damit ergeben sich für die Invariantenteiler die folgenden Möglichkeiten. In Klammern führen wir die entsprechenden Elementarteiler auf. (i) X λ,x λ,x λ,x λ (Elementarteiler: X λ,x λ,x λ,x λ) (ii) 1,X λ,x λ,(x λ) 2 (Elementarteiler: X λ,x λ,(x λ) 2 ) (iii) 1,1,(X λ) 2,(X λ) 2 (Elementarteiler: (X λ) 2,(X λ) 2 ) (iv) 1,1,X λ,(x λ) 3 (Elementarteiler: X λ,(x λ) 3 ) (v) 1,1,1,(X λ) 4 (Elementarteiler: (X λ) 4 ) c) Dies folgt zum Beispiel aus dem Satz von Cayley-Hamilton. Alternativ kann man die Jordansche Normalform von A betrachten (in Abhängigkeit von der Reihe der Elementarteiler), und sieht damit leicht, daß A λe eine echte obere Dreiecksmatrix ist. Es folgt aus der Definition der Matrixmultiplikation, daß (A λe) n = 0. d) Der letzte Elementarteiler ist gerade das Minimalpolynom. Daher ist das minimale m in den Fällen (i) - (v) gegeben durch 1,2,2,3,,4.

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11 Aufgabe 4. [7 Punkte] Gegeben seien die Gerade g und der Punkt p im R 3, 1 1 g = 1 +R 2, p = 0 1 Bestimmen Sie den Abstand d(g,p) von g zu P. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise Lösung: Es gilt: d(g,p) = d Man berechnet leicht (durch Hinsehen): U = R,U mit U := R R Schreibe nun (1,1,1) t = u+v mit u U,v U. Dann gilt: d(g,p) = v. Der Ansatz = a 2 +b 1 +c führt zu einem linearen Gleichungssystem mit der Lösung a = 2/3,b = 1/3,c = 1/3. Für v ergibt sich v = (1/3, 1/3,1/3) t, und damit d(g,p) = v = 1/9+1/9+1/9 = 1/

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13 Aufgabe 5. [6+4 Punkte] Es seien die folgenden Matrizen mit Einträgen in Z gegeben: ( ) ( A =, B = ) Mit A, bzw. B, bezeichnen wir den Z-Teilmodul des Z 3, der von den Spalten der Matrix A, bzw. B, aufgespannt wird. a) Untersuchen Sie, ob die Z-Moduln Z 3 / A und Z 3 / B zueinander isomorph sind. b) Sei nun C M n (Z). Zeigen Sie: Z n / C < det(c) 0. Lösung: a) Mit dem verallgemeinerten Gaußschen Verfahren berechnet man die Invariantenteiler von A und erhält c 1 = 2,c 2 = 0. Also ist Z 3 / A Z/2Z Z. Durch elementare Spaltenumformumgen sieht man zunächst, daß B = B 1 mit ( ) 8 6 B 1 =. 6 3 Mit dem verallgemeinerten Gaußschen Verfahren berechnet man wiederum die Invariantenteiler von B 1 und erhält c 1 = 1,c 2 = 6. Also ist Z 3 / B Z/6Z. Die Moduln Z 3 / A und Z 3 / B sind also nicht isomorph. b) Es gibt U,V Gl n (Z), so daß UCV = diag(c 1,...,c n ) mit c 1 c 2... c n. Es gilt dann Z n / C n Z/c i Z. i=1 Offensichtlicht gilt also: Z n / C < c i 0 für i = 1,...,n. Da det(u) = ±1,det(V) = ±1, ist det(c) = ±det(ucv) = ±c 1 c n. Hieraus folgt die Behauptung.

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